关于MATLAB的电力系统潮流计算程序设计

摘 要潮流计算的目的在于:确定是电力系统的运行方式；检查系统中的各元件是否过压或过载；为电力系统继电保护的整定提供依据；为电力系统的稳定计算提供初值，为电力系统规划和经济运行提供分析的基础。因此，电力系统潮流计算是电力系统中一项最基本的计算，既具有一定的独立性，又是研究其他问题的基础。 传统的潮流计算程序缺乏图形用户界面，结果显示不直观，难于与其他分析功能集成。本文以潮流计算软件的开发设计为重点,阐述了该软件图形用户界面的实现和所具备的功能和特点,软件采用MATELAB实现，设计分别采用牛顿-拉扶逊法；P-Q分解法。本软件的主要特点是:（1） 操作简单;（2） 图形界面直观;（3） 运行稳定.计算准确;关键词：潮流计算；牛顿-拉扶逊法；P-Q分解法; MATLAB; ABSTRACTThe purpose of power-flow calculation is：To make sure the Power System Operation Mode; Inspect components of system Whether excessive voltage or overload . Provide data for the power system relay setting ；Provide initial value for Power system stability calculation; For the power system planning and economic operation to provide the basis analysis;So, power flow calculation of the electricity system is a basic calculation , it has some independence, and its basis of study other kinds of issues .Traditional flow caculation program has few of the graphic used in interface,and dont displays results intuitionistic and intergrats difficulty with the other analysis function. This paper mainly to show the software development and design with the implementation of the user interface and its functions and features .We use the MATELAB to produce this software. Our design made by Newton-Laphson method and P-Q decomposition method.The mian features of the software are:(1) easy operation;(2) GUI used interface;(3) high levels of stabilization,and exactitude of results; Key word: power-flow calculation; Newton-Laphson method ; P-Q decomposition method; MATLAB 目 录摘 要 1Abstract 2第一章 绪论 1. 1 潮流计算概述 41. 2 Matlab概述 6第二章 电力系统各元件的特性和数学模型 2. 1变压器的参数和数学模型 72. 2电力线路的参数和数学模型 9第三章 电力系统的网络模型 3. 1电力网络的基本方式113. 2节点导纳矩阵及其算法123. 3节点阻抗矩阵及其算法18第四章 电力系统的潮流计算 4. 1概述314. 2潮流计算的基本方程314. 3牛顿拉夫逊法潮流计算344. 4 PQ分解法潮流计算 46第五章 潮流计算的界面设计介绍5. 1制作方法说明605. 2各界面功能介绍625. 2设计验证66参考文献 69外文资料翻译 72致 谢 81附 录 82第一章 电力系统及其发展概述11潮流计算概述电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各母线的电压，各元件中流过的功率，系统的功率损耗等等。在电力系统规划的设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性.可靠性和经济性。此外，电力系统潮流计算也是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。所以潮流计算是研究电力系统的一种很重要和很基础的计算。 电力系统潮流计算也分为离线计算和在线计算两种，前者主要用于系统规划设计和安排系统的运行方式，后者则用于正在运行系统的经常监视及实时控制。 利用电子数字计算机进行电力系统潮流计算从50年代中期就已经开始。在这20年内，潮流计算曾采用了各种不同的方法，这些方法的发展主要围绕着对潮流计算的一些基本要求进行的。对潮流计算的要求可以归纳为下面几点：（1）计算方法的可靠性或收敛性；（2）对计算机内存量的要求；（3）计算速度；（4）计算的方便性和灵活性。 电力系统潮流计算问题在数学上是一组多元非线性方程式求解问题，其解法都离不开迭代。因此，对潮流计算方法，首先要求它能可靠地收敛，并给出正确答案。由于电力系统结构及参数的一些特点，并且随着电力系统不断扩大，潮流问题的方程式阶数越来越高，对这样的方程式并不是任何数学方法都能保证给出正确答案的。这种情况成为促使电力系统计算人员不断寻求新的更可靠方法的重要因素。 在用数字计算机解电力系统潮流问题的开始阶段，普遍采取以节点导纳矩阵为基础的逐次代入法。这个方法的原理比较简单，要求的数字计算机内存量比较下，适应50年代电子计算机制造水平和当时电力系统理论水平。但它的收敛性较差，当系统规模变大时，迭代次数急剧上升，在计算中往往出现迭代不收敛的情况。这就迫使电力系统计算人员转向以阻抗矩阵为基础的逐次代入法。 60年代初，数字计算机已发展到第二代，计算机的内存和速度发生了很大的飞跃，从而为阻抗法的采用创造了条件。阻抗法要求数字计算机储存表征系统接线和参数的阻抗矩阵，这就需要较大的内存量。而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩阵中的每一个元素进行运算，因此，每次迭代的运算量很大。这两种情况是过去电子管数字计算机无法适应的。阻抗法改善了系统潮流计算问题的收敛性，解决了导纳法无法求解的一些系统的潮流计算，在60年代获得了广泛的应用，曾为我国电力系统设计.运行和研究作出了很大的贡献。目前，我国电力工业中仍有一些单位采用阻抗法计算潮流。阻抗法的主要缺点是占用计算机内存大，每次迭代的计算量大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。一个内存16K的计算机在采用阻抗法时只能计算100以下的系统，32K内存的计算机也只能计算150个节点以下的系统。这样，我国很多电力系统为了采用阻抗法计算潮流就不得不予先对系统进行相当的简化工作。为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，60年代中期发展了以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只需要存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间联络线的阻抗，这样不仅大幅度地节省了内存容量，同时也提高了计算速度。克服阻抗法缺点的饿另一途径是采用牛顿-拉夫逊法。这是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。在解决电力系统潮流计算问题时，是以导纳矩阵为基础的，因此，只要我们能在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的效率。自从60年代中期，在牛顿法中利用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性.内存要求.速度方面都超过了阻抗法，成为60年代末期以后广泛采用的优秀方法。与此同时，为了保证可靠的收敛，在我国还进行了网流法潮流计算的研究。随着电力系统的日益扩大和复杂化，特别是电力系统逐步实现自动控制的需要，对系统潮流计算在速度.内存以及收敛性方面都提出了更高的要求。70年代以来，潮流计算方法通过不同的途径继续向前发展，其中比较成功的一个昂法就是P-Q分解法。这个方法，根据电力系统的退热点，抓住主要矛盾，对纯数学的牛顿法进行了改进，从而在内存容量及计算速度方面都大大向前迈进内了一步。使一个32K内存容量的数字计算机可以计算1000个节点系统的潮流问题，此法计算速度已能用于在线计算 ，作系统静态安全监视。目前，我国很多电力系统都采用了P-Q分解法潮流程序。潮流计算灵活性和方便性的要求，对数字计算机的应用也是一个很关键的问题。过去在很长时间内，电力系统潮流计算是借助于交流台进行的。交流台模拟了电力系统，因此在交流计算台上计算潮流时，计算人员可以随时监视系统各部分运行状态是否满足要求，如发现某些部分运行不合理，则可以立即进行调整。这样，计算的过程就相当于运算人员丢系统进行操作.调整的过程，非常直观，物理概念也很清楚。当利用数字计算机进行潮流计算时，就失去了这种直观性。为了弥补这个缺点，潮流程序的编制必须尽可能使计算人员在计算机计算的过程中加强对计算机过程的监视和控制，并便于作各种修改和调整。电力系统潮流计算问题并不是单纯的计算问题，把它当作一个运行方式的调整问题可能更为确切。为了得到一个合理的运行方式，往往需要不断根据计算结果，修改原始数据。在这个意义上，我们在编制潮流计算程序时，对使用的方便性和灵活性必须予以足够的重视。因此，除了要求计算方法尽可能适应各种修改.调整以外，还要注意输入和输出的方便性和灵活性，加强人机联系，以便使计算人员能及时监视计算过程并适当地控制计算的进行。电力系统潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，是对复杂电力系统正常和故障条件下稳态运行状态的计算。潮流计算的目标是求取电力系统在给定运行状态的计算。即节点电压和功率分布，用以检查系统各元件是否过负荷.各点电压是否满足要求，功率的分布和分配是否合理以及功率损耗等。对现有电力系统的运行和扩建，对新的电力系统进行规划设计以及对电力系统进行静态和暂态稳定分析都是以潮流计算为基础。潮流计算结果可用如电力系统稳态研究，安全估计或最优潮流等对潮流计算的模型和方法有直接影响。实际电力系统的潮流技术那主要采用牛顿-拉夫逊法。在运行方式管理中，潮流是确定电网运行方式的基本出发点；在规划领域，需要进行潮流分析验证规划方案的合理性；在实时运行环境，调度员潮流提供了电完个在预想操作情况下电网的潮流分布以校验运行可靠性。在电力系统调度运行的多个领域都涉及到电网潮流计算。潮流是确定电力网络运行状态的基本因素，潮流问题是研究电力系统稳态问题的基础和前提。牛顿-拉夫逊法早在50年代末就已应用于求解电力系统潮流问题，但作为一种实用的，有竞争力的电力系统潮流计算方法，则是在应用了稀疏矩阵技巧和高斯消去法求修正方程后。牛顿-拉夫逊法是求解非线性代数方程有效的迭代计算。1.2 MATLAB概述目前电子计算机已广泛应用于电力系统的分析计算，潮流计算是其基本应用软件之一。现有很多潮流计算方法。对潮流计算方法有五方面的要求：（1）计算速度快（2）内存需要少（3）计算结果有良好的可靠性和可信性（4）适应性好，亦即能处理变压器变比调整、系统元件的不同描述和与其它程序配合的能力强（5）简单。 MATLAB是一种交互式、面向对象的程序设计语言，广泛应用于工业界与学术界，主要用于矩阵运算，同时在数值分析、自动控制模拟、数字信号处理、动态分析、绘图等方面也具有强大的功能。MATLAB程序设计语言结构完整，且具有优良的移植性，它的基本数据元素是不需要定义的数组。它可以高效率地解决工业计算问题，特别是关于矩阵和矢量的计算。MATLAB与C语言和FORTRAN语言相比更容易被掌握。通过M语言，可以用类似数学公式的方式来编写算法，大大降低了程序所需的难度并节省了时间，从而可把主要的精力集中在算法的构思而不是编程上。另外，MATLAB提供了一种特殊的工具：工具箱（TOOLBOXES）.这些工具箱主要包括：信号处理（SIGNAL PROCESSING）、控制系统（CONTROL SYSTEMS）、神经网络（NEURAL NETWORKS）、模糊逻辑(FUZZY LOGIC)、小波(WAVELETS)和模拟（SIMULATION）等等。不同领域、不同层次的用户通过相应工具的学习和应用，可以方便地进行计算、分析及设计工作。MATLAB设计中，原始数据的填写格式是很关键的一个环节，它与程序使用的方便性和灵活性有着直接的关系。原始数据输入格式的设计，主要应从使用的角度出发，原则是简单明了，便于修改。第二章 电力系统各元件的特性和数学模型2.1变压器的参数和数学模型2.1.1双绕组变压器的参数和数学模型:1电阻变压器的电阻是通过变压器的短路损耗，其近似等于额定总铜耗。 我们通过如下公式来求解变压器电阻： 2电抗 在电力系统计算中认为，大容量变压器的电抗和阻抗在数值上接近相等，可近似如下求解： 3.导纳（1）电导 变压器电导对应的是变压器的铁耗，近似等于变压器的空载损耗，因此变压器的电导可如下求解：（2）电纳 在变压器中，流经电纳的电流和空载电流在数值上接近相等，其求解如下： 2.1.2三绕组变压器的参数和数学模型:按三个绕组容量比的不同有三种不同的类型： 100/100/100、100/50/100、100/100/50按三个绕组排列方式的不同有两种不同的结构：升压结构：中压内，低压中，高压外 降压结构：低压内，中压中，高压外（1）电阻:由于容量的不同，对所提供的短路损耗要做些处理对于100/100/100然后按双绕组变压器相似的公式计算各绕组电阻:对于100/50/100或100/100/50 首先，将含有不同容量绕组的短路损耗数据归算为额 定电流下的值。例如：对于100/50/100然后，按照100/100/100计算电阻的公式计算各绕组电阻。 按最大短路损耗求解（与变压器容量比无关） 指两个100%容量绕组中流过额定电流，另一个100%或50%容量绕组空载时的损耗。根据“按同一电流密度选择各绕组导线截面积”的变压器的设计原则： （2）电抗根据变压器排列不同，对所提供的短路电压做些处理：然后按双绕组变压器相似的公式计算各绕组电阻:一般来说，所提供的短路电压百分比都是经过归算的22电力线路的参数和数学模型电力线路的数学模型是以电阻、电抗、电纳和电导来表示线路的等值电路。一般线路：中等及中等以下长度线路，对架空线为300km；对电缆为100km。不考虑线路的分布参数特性，只用将线路参数简单地集中起来的电路表示。1电力线路结构简述电力线路按结构可分为:架空线：导线、避雷线、杆塔、绝缘子和金具等电 缆：导线、绝缘层、保护层等电力线路的阻抗:其中： 铝的电阻率为31.5 铜的电阻率为18.8考虑温度的影响则：2有色金属导线三相架空线路的电抗最常用的电抗计算公式：进一步可得到：还可以进一步改写为：在近似计算中，可以取架空线路的电抗为:3分裂导线三相架空线路的电抗分裂导线采用了改变导线周围的磁场分布，等效地增加了导线半径，从而减少了导线电抗。可以证明： 第三章 电力网络的数学模型3.1 电力网络的基本方程组电力系统最主要的运行方式是稳态运行方式。在这种运行条件下，所有发电机可以用等值电源来表示，负荷可以用恒定功率或等值阻抗来表示。这样，整个电力系统就可以看作是母线、变压器和输电线路所构成的有源电力网络。它的数学模型便成为计算和研究电力系统潮流、短路和稳定问题的基础。电力网络可以用节点方程式或回路方程式表示出来。在节点方程式中表示网络状态的变量是各节点的电压，在回路方程式中是各回路中的回路电流。一般若给出的网络的支路数b，节点数n，则回路方程式数m为 m = b n + 1节点方程式数m为 m=n-1因此，回路方程式数比节点方程式数多在一般电力系统中，各节点和大地间有发电机负荷线路电容等对地支路，还有节点和节点之间也有输电线路和变压器支路，一般用节点方程式表示比用回路方程式表示方程式数目要多。而且如以下所示，用节点方程式表示容易建立直观的方程式，输电线的连接状态等变化时也很容易变更网络方程式。基于上述理由，电力系统的基础网络方程式一般都用节点方程式表示。如图32所示，把电力系统的发电机端子和负荷端子抽出来，剩下的输电线路及其他输电系统概括为网络Net表示，在发电机节点和负荷节点上标出任意顺序的记号：1，2，。，I,n。在输电系统Net的内部不包含电源，并且各节点和大地间连接的线路对地电容电力电容器等都作为负荷来处理。图3.1 简化的有源电力网络连接图令端子1,2,n的对地电压分别为，由各端子流向输电系统Net的电流相应为，则此网络方程组可以表示为 （3.01）式（3.01）可以简单写成 （3.02）或者写成 （3.03）其中 （3.04）式（3.16）的Y称为节点导纳矩阵。因输电系统Net只是由无源元件构成的，而导纳矩阵是对称矩阵，于是有以下关系 （3.05）电压U和电流I的关系用式（3.01）式（3.04）表示时，则式（3.05）转化为 （3.06）其中 式（3.18）称为节点阻抗矩阵方程式，当然，阻抗矩阵也是对称矩阵。3.2 节点导纳矩阵及其算法3.2.1节点导纳矩阵1 自导纳节点i的自导纳是当节点i以外的所有节点都接地，由节点i向整个网络看而得到的导纳。总之，在式（3.01）中令，而在节点i加上单位大小的电压时，由节点i流向网络的电流就等于节点i的自导纳 （3.07）更具体的说，就等于与节点i连接的所有支路导纳的和。例如图3.3节点和邻接节点间输电线路的阻抗是，节点和大地间有4阻抗的情况下，节点的自导纳为 （3.08）2 互导纳互导纳可由式（3.01）得到 （3.09）即把节点j以外的节点全接地，而在节点j加以单位电压时，由节点i流向j的电流加上负号就是互导纳更。更具体的说，是连接节点j和节点i支路的导纳再加上负号而得。在图3.2中节点、间的互导纳为 (3.10)图3.2 电力网络接线图还有如图3.3所示，节点I,j间有阻抗分别为和的两条并联输电线时，互导纳为 (3.11)图3.3 电力网络接线图3 非标准变比变压器在包括变压器的输电线路中，变压器线圈匝数比为标准变比时，变压器的高、低压两侧的电压和电流值用线圈匝数比来换算是不成问题的。但是变压器的线圈匝数比不等于标准变比时必须加以注意。图3.4（a）所示的网络表示具有非标准变比的变压器，变压器的一端接节点，另一端经过输电线连接节点。在图中是按标准变比换算出来的变压器低高压侧的电压和电流，理想变压器的线圈匝数比1：k表示变压器的线圈匝数比对标准变比的比值。Z是变压器的漏抗和线路阻抗之比。对于图3.4（a）所示的网络，以下的方程组成立 （3.12）由式（3.24）解出 （3.13）或者 （3.14）上面电压和电流的关系在图3.4（b）中用形等值网络表示出来。图3.4（c）将阻抗换算为导纳。在图3.4（c）中由节点，即变压器的接入端来看自导纳为 （3.15）是标准变比时导纳Y的倍，而由节点2，即变压器接入端的对侧来看的自导纳为 （3.16）和K=1时相同。节点间的互导纳为 （3.17）是k=1时的K倍 （a） (c)由以上可见，当有非标准变比变压器时，可按如下次序形成导纳矩阵。（1） 先不考虑非标准变比（认为K=1），求导纳矩阵。（2） 再把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上，其中Y是从变压器相连接的另一端接来看变压器的漏抗与两节点输电线的阻抗之和的倒数。（3） 由接入非标准变比变压器的对端节点来看自导纳不变。（4） 变压器两节点间的互导纳加上。4 系统变更时的修正系统变更时，即系统的连接状态和线路参数变化时，可以很简单的变更节点导纳矩阵。下面举出系统变更的主要情况（1） 从原有的节点上引出新的支路，在这一支路另一端设新的节点。（2） 在原有的支路上并联新的支路。（3） 在没有支路直接连接的两个原有节点间附加新的支路。（4） 原有变压器的变比或者分接头位置变化时。下面分别讨论这几种变更情况。（1） 增加新的节点和新的支路时，向量I，U和导纳矩阵Y的阶次分别增加一阶。如图3.4（a）所示，新节点编号为j，此节点电压为，节点电流为时，新增加的方程式如下： （3.18）其中 （z是节点I,j间支路阻抗，是节点j对地阻抗）除节点i以外的原有节点和新增节点间互导纳为零，没有变化，只是节点i方程由变成 节点i的自导纳由变成，还要新增加互导纳 (a) (b) (c) (d)图3.4 系统变更的几种情况（2） 在原有节点i和j间增加阻抗为Z的新支路时，向量I，U和导纳矩阵Y阶次不变，节点的自导纳，和互导纳分别变化为 （3.19）（3） 在式（3.19）中把前面的互导纳置零，就是附加的新支路，如图3.5（c）所示。（4） 下面讨论变压器变比由K变成时如图3.5（d）所示，用前面所介绍的非标准变比变压器的处理方法，进行如下变化 5.消去浮动节点系统中有既不接负荷也不接发电机的节点，这样的节点称为浮动节点。这样的节点既可以作为节点注入电流为零节点来处理，也可以不作为节点来处理，而归并到图3.2所示的输电系统Net中。如果不作为节点来处理，则节点导纳矩阵可降低阶次。现假设节点K为浮动节点，因则下式成立。或者 （3.20）对一般的节点i （3.21）把式（3.20）代入式（3.21）的，则可得到这里导纳矩阵的元素用下式来代替 （3.22）3.2.2节点导纳矩阵的计算方法根据以上的讨论，导纳矩阵的计算归结如下：（1）导纳矩阵的阶数等于电力系统网络的节点数。（2）导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数。（3）导纳矩阵的对角元素，即各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导纳之和。 （3.23）式中，为节点i与j接间支路阻抗的倒数，符号，表示j属于i或与i相连的j，即内只包括与节点i直接相连的节点j。当节点i有接地支路时，还应包括j=0的情况。（4）导纳矩阵非对角元素等于节点i与节点j的导纳的负数 (3.24)当i、j之间有多条并联支路时，求时应求所有并联支路导纳的代数和的负数 (3.25)式中，L表示i、j之间并联支路的条数。按照以上计算式，对于实际网络均可以根据给定的支路参数和连接情况，直观而简单地求出导纳矩阵。可以看出，用以上计算公式求得的导纳矩阵与根据定义得到的导纳矩阵是完全一致的。3.2.3形成节点导纳矩阵的程序前面介绍了根据系统网络的接线和参数形成节点导纳矩阵的方法。尽管形成节点导纳矩阵的原理是简单的，但如果采用手算的方法，即使节点数不多的系统也仍然有相当大的工作量。因此只有应用计算机才能快速而准确的完成这些计算任务。本节介绍形成系统节点导纳句镇的实用程序。1形成节点导纳矩阵的原始数据为了形成节点导纳矩阵，必须知道电力系统的接线图。从前面的讨论知道，网络接线由节点及连接两个节点的支路确定，实际上，只要输入了各支路两端的节点号，就相当于输入了系统的接线图。除了系统接线图以外，还要知道系统中各支路的阻抗值，如果线路有对地电容则需输入电纳。此外，对变压器支路还应知道它的变比及变比在哪一侧。这样，一条支路的一般需要输入6个数据，即i,j,z,bc,t,it,其中i,j是支路两端节点号，z为支路的阻抗，bc为线路电纳,t为变压器支路的变比。在程序中用矩阵B来进行输入。当支路为变压器支路时，t填实际的变比值，当支路为线路时t为1，当支路为接地支路时，t为0。程序根据t是否为零作为区分接地支路与不接地支路的标志，或者把接地支路作为节点注入电流源的已知量来输入。矩阵X是否由各节点的节点号与该节点的接地阻抗构成。2形成节点导纳矩阵程序框图及清单，如图3.5所示。开机输入节点数n支路数n1数组BK=1 k1=B(k,1) k2=B(k,2)Y(k1,k2)=Y(k1,k2)-1./B(k,3)*B(k,5);Y(k2,k1)=Y(k1,k2);Y(k2,k2)=Y(k2,k2)+1./(B(k,3)*B(k,5)2)+B(k,4)./2;Y(k1,k1)=Y(k1,k1)+1./B(k,3)+B(k,4)./2;k=n1?输出结果k=k+1图3.5 形成节点导纳矩阵的程序框图由框图可编写程序如下：%本程序的功能是形成节点导纳矩阵n=input(请输入节点数：n=);nl=input(请输入支路数：nl=);B=input(请输入由支路参数形成的矩阵：B=);X=input(请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵：X=);Y=zeros(n)for i=1:n if X(i,2)=0; p=X(i,1); Y(p,p)=1./X(i,2); endendfor i=1:nl if B(i,6)= =0 p=B(i,1);q=B(i,2); else p=B(i,2);q=B(i,1); end Y(p,q)=Y(p,q)-1./(B(i,3)*B(i,5); Y(p,q)=Y(p,q);Y(p,q)=Y(q,q)+1./( B(i,3)*B(i,5)2)+B(i,4)./2;Y(p,p)=Y(p,p)+1./B(i,3)+B(i,4)./2;enddisp(导纳矩阵Y=)；disp(Y)3.3 节点阻抗矩阵及其算法3.3.1.节点阻抗矩阵如上所述，节点导纳矩阵的最大优点容易根据网络接线和各支路参数，直接写出矩阵的各元素。同时导纳矩阵的稀疏性很大，可以大量的节省电子计算机的内存容量。如果已经知道各节点的电压，应用式（3.03）只需要进行一次矩阵乘法运算，即可求出各节点的注入电流。但是，在电力系统实际运行中，节点电压往往是未知的待求量，如果已知节点电流，用式（3.03）求解节点电压时需要进行求解方程式的运算。电力系统计算中有时也用式（3.06），即节点阻抗方程式进行计算。本节介绍节点阻抗矩阵的计算方法。将式（3.06）展开写成 （3.26）或缩写为 （3.27）式（3.26）中系数矩阵为 （3.28）这里Z即节点阻抗矩阵。它是节点导纳矩阵的逆矩阵。同样具有对称性，即 （3.29）3.3.2自阻抗和互阻抗阻抗矩阵中的主对角元素i叫节点i的自阻抗或输入阻抗,非对角元素叫节点i和节点j之间的自阻抗和互阻抗根据定义可以用如下方法来确定。如果在节点i注入一单位电流，而其余的各节点均开路，即 代入式（3.26），则有 由此可见，当在节点i上注入一单位电流，而其他各节点均开路（即注入电流为零）时，节点i上的电压即是自阻抗的值，而节点j（j=1，2，3，4，n,j=i）上的电压即是节点j和节点i之间的互阻抗。即 (3.30)因此,可以看成是由节点i向整个网络看进去对地的总阻抗，因为除节点i外其余各节点的注入电流均为零。这样，在一般情况下，其他节点上测出的电压都将小于节点i的电压，即。关于自阻抗和互阻抗之间的关系，可以形象的用图3.11来表示。把总阻抗看成是，而互阻抗则是其中抽出的一部分。图3.6 自阻抗和互阻抗的关系同时，在一个网络内各节点之间总是有一定的电和磁的联系。这样在节点i注入单位电流时，其他任一节点j上总有电压出现。也就是说，在一般情况互阻抗并不等于零，因而阻抗矩阵是一个满矩阵，这是一个很重要的特点。由于网络结构复杂，直接应用式（3.30）计算和是很困难的。综合以上所述，阻抗矩阵具有以下特点：（1） 和导纳矩阵一样，阻抗矩阵也是对称矩阵。（2） 在一般情况下，阻抗矩阵不是稀疏矩阵而是满矩阵。矩阵的元素与节点数n的平方成正比，这就是要求更多的计算机内存容量。对于节点数目多的复杂系统，问题就更显得突出。（3） 由于阻抗矩阵中的自阻抗一般是大于互阻抗，即矩阵的对角元素大于非对角元素。具有对角线占优势的性质，用于迭代计算时收敛性能较好。（4） 阻抗矩阵不能从系统网络接线图直观地求出。因此必须寻找其他求阻抗矩阵的方法。 3.3.3.阻抗矩阵的计算方法目前求节点阻抗矩阵的方法，归纳起来主要有两种：一种是用导纳矩阵求逆，间接求出阻抗矩阵；另一种是用支路追加法，直接形成节点阻抗矩阵。导纳矩阵求逆略去。1.支路追加法支路追加法形成节点阻抗矩阵可以从网络的接线图中直接形成。它是从某一个与地相连的支路开始，以后每次追加一条支路，直至形成整个网络的节点阻抗矩阵。该方法的特点是：矩阵形成的规律性很强，易于理解和记忆，且编程方便。用支路追加法形成节点阻抗矩阵时，所追加的支路可以分为4类，即追加接地树支，追加树支，追加接地连支，追加连支。假设网络有3个独立节点，如图3.7所示。节点的电压、电流关系为 图3.7 原始网络图 图3.8 追加接地树支 下面分别就上述4种情况阐述节点阻抗矩阵的形成。(1)追加接地树支（0，4）如图3.8所示，由于网络增加了一个节点，所以原网络矩阵增加一阶，但由于新增节点与原网络的3个节点、无电气直接联系，所以原来3个方程不受影响，只是新增了一个方程，其中z是新增支路的阻抗。这样，节点方程修改为式（3.31），即节点阻抗原有的各元素均不变，新增的行、列元素均为零，只有新增的对角元素为z。 （3.31）（2）追加树支（2，4）如图3.9所示。由于网络增加了一个节点，所以矩阵增加了一阶，设节点的注入电流为，从原网络看进去，节点的注入电流变为，而其他节点注入电流不变，且新增了一个方程：，所以节点方程改为：写成矩阵形式为式（3.32）。 （3.32）从式（3.32）可见，追加树支时，矩阵增加一阶，新增的行，列元素分别等于树支所接的原网络节点所对应的行，列元素，新对角元素等于树支所接的节点的对角元素加上新增支路的阻抗值。（3）追加接地连支（0,2）如图3.10所示。图3.9 追加树支 图3.10 追加接地连支由于追加接地连支，网络的节点数没有变化，故矩阵的阶次不变。对原网络来说，节点的注入电流变为其他节点注入电流不变，则各节点电压方程为写成矩阵形式为 （3.33）从式（3.33）可见，矩阵可暂时增加一阶，原矩阵元素不变，新行、列元素分别等于该追加连支的非零节点所对应的行，列元素的负值；新对角线元素等于该点的自阻抗加上连支阻抗z。形成了暂时增加一阶的节点阻抗矩阵以后，用高斯消去法消去矩阵的暂增行与列，原矩阵的元素为 （3.34）（4）追加连支（2，3）如图3.11所示。图3.11 追加连支由于追加连支，所以矩阵阶次不变，与采用追加接地连支同样的处理方法，矩阵可暂增加一阶。设连支电流为，由节点流向节点，从原网络看进去，节点的注入电流变为，节点的注入电流变为，则节点电压方程为（3.35）从式（3.35）可见，追加连支后，原矩阵的元素不变，暂时增加的行，列元素分别等于追加连支的两个节点所对应的行元素之差和列元素之差；新增对角元素为这两个节点的自阻抗之和减去相互间的互阻抗之和再加上该连支阻抗。形成了暂时增加一阶的节点阻抗矩阵之后，用高斯消去法消去暂增行、列，即得追加连支节点阻抗矩阵，消去公式同式（3.36）。2.追加变压器支路用上述支路追加法形成节点阻抗矩阵时，对于变压器支路，若变压器变比等于1，则与一般支路的处理方法相同；若变压器变比不等于1时，如果采用变压器的型等值电路当成3条支路进行追加，显然是增加了运算量。下面讨论一种不用变压器型等值电路，直接追加变压器支路的方法。因为变压器支路不会是接地支路，所以变压器支路的追加只有两种可能，一是做为树支进行追加，一是作为连支进行追加，下面讨论这两种情况。（1）追加变压器树支如图3.17所示，追加变压器树支（2，4）图3.12 追加变压器树支网络增加了一个节点，设其注入电流为，从原网络看节点的注入电流为，所以有另外还有 整理后，有由此可见，追加变压器树支和追加普通树支支路相似，只是在新增行、列的元素分别乘变比K，新对角元素乘以变比K2。（1）追加变压器连支图3.12 追加变压器连支如图3.12所示，追加变压器连支（2，3）。设由节点流入理想变压器的电流为，则由变压器支路流入节点的电流为，从原网络看，节点的注入电流变为，节点 的注入电流变为，则：另有： 即，把、代入整理后得：所以得：前面已经讨论的都是变压器的搂抗归算至低压侧。如果变压器的漏抗归算至高压侧，则只需将变比变为1/K即可，即在程序中令TN=T（K）或令TN=1/T（K）3.程序框图（图3.13）及程序清单。程序中：n独立节点数 nl支路数 p追加支路的起始节点 q追加支路的终止节点 B由支路参数形成的矩阵开机输入N,NL;M=0,矩阵B取线路参数P、Q、I=R+JXP=0?矩阵暂时加一阶，负Q行新行，负Q列新列,Z(P,P)+Z新对角元矩阵暂时加一阶，P行新行，P列新列,Z(P,P)新对角元矩阵暂时加一阶，P行-Q行新行，P列-Q列新列，Z(P,P)+Z(Q,Q)-Z(P,Q)-Z(Q,P)+Z新对角元Z新对角元，矩阵加一阶QM?QM?消元否M=M+1MN?停机消 元图3.13用支路追加法形成节点阻抗矩阵框图由原理框图可编程如下：%本程序的功能是用支路追加法求阻抗矩阵n=input(请输入节点数：n=);nl=input(请输入支路数：nl=);B=input(请输入由支路参数形成的矩阵：B=);m=0;Z=zeros(n);for k1=1:nlp=B(k1,1);q=B(k1,2);if B(k1,6)= =0 1=1./B(k1,5);else 1=B(k1,5);endif p= =0 if qm %追加接地树支 Z(q,q)=B(k1,3);m=m+1; else %追加接地连支 for k=1:m, Z(k,m+1)=-Z(k,q);Z(m+1,k)=-Z(q,k); end Z(m+1,m+1)=Z(q,q)+B(k1,3); for l1=1:m for k=1:m Z(l1,k)=Z(l1,k)-Z(l1,m+1)*Z(m+1,k)./Z(m+1,m+1); end Z(l1,m+1)=0;end for k=1:m+1 Z(m+1,k)=0; endendelse if qm %追加不接地连支 for k=1:m Z(k,q)= Z(k,p)*l;Z(q,k)=Z(p,k)*1; end Z(q,q)=12*Z(p,p)+12*B(k1,3); m=m+1; else for k=1:m %追加不接地连支 Z(k,m+1)=l*Z(k,p)-Z(k,q); Z(m+1,k)= l*Z(p,k)-Z(q,k); end Z(m+1,m+1)= 12*Z(p,p)+ Z(q,q)-2*1*Z(p,q)+ 12*B(k1,3); for l1=1:m for k=1:m Z(l1,k)= Z(l1,k)- Z(l1,m+1) *Z(m+1,k)./Z(m+1,m+1); endZ(l1,m+1)=0;endfor k=1:m+1Z(m+1,k)=0;endendendenddisp(阻抗矩阵Z=)；disp(Z)第四章 电力系统的潮流计算4.1 概述潮流计算在数学上是多元非线性方程组的求解问题，求解的方法有很多种。自从20世纪50年代计算机应用于电力系统以来，当时求解潮流的方法是以节点导纳矩阵为基础的逐次代入法（导纳法），后来为解决导纳法的收敛性较差的问题，出现了以阻抗矩阵为基础的逐次代入法（阻抗法），到20世纪60年代，针对阻抗法占用计算机内存大的问题又出现了分块阻抗法及牛顿拉夫逊法。Newton-Raphson法是数学上解非线性方程式的有效方法，有较好的收敛性，将NR法用于潮流计算是以导纳矩阵为基础的，由于利用了导纳矩阵的对称性、稀疏性及节点编号顺序优化等技巧，使NR法在收敛性、占用内存、计算机速度方面的优点都超过了阻抗法，成为20世纪60年代末期以后普遍采用的方法，同时国内外广泛研究了诸如非线性规划法、直流法、交流法等各种不同的潮流计算方法。20世纪70年代以来，又涌现出了更新的潮流计算方法，其中有1974年由B.Stoot和O.Alsac提出的快速分解法以及1978年由岩本伸一等提出的保留非线性的高速潮流计算法，其中快速分解法从1975年开始已在国内使用，并习惯称之为PQ分解法。由于PQ分解法在计算速度上大大超过了NR法，不但能应用于离线潮流计算，而且也能应用于在线潮流计算。4.2 潮流计算的基本方程4.2.1节点的分类用一般的电路理论求解网络方程，目的是给出电压源（或电流源）研究网络内的电流（或电压）分布，作为基础的方程式，一般用线性代数方程式表示。然而在电力系统中，给出发电机或负荷连接母线上电压或电流（都是向量）的情况是很少的，一般是给出发电机母线上发电机的有功功率（P）和母线电压的幅值（U），给出负荷母线上负荷消耗的有功功率（P）和无功功率（Q）。主要目的是由这些已知量去求电力系统内的各种电气量。所以，根据电力系统中各节点性质的不同，很自然的把节点分成三种类型。1 PQ节点对这一类节点，事先给定的是节点功率（P、Q），待求的未知量是节点电压向量（U、），所以叫“PQ节点”。通常变电所母线都是PQ节点，当某些发电机的输出功率P、Q给定时，也作为PO节点。PO节点上的发电机称之为PO机（或PQ给定型发电机）。在潮流计算中，系统大部分节点属于PQ节点。2 PU节点这类节点给出的参数是该节点的有功功率P及电压幅值U，待求量为该节点的无功功率Q及电压向量的相角。这类节点在运行中往往要有一定可调节的无功电源，用于维持给定的电压值。通常选择有一定无功功率储备的发电机母线或者变电所有无功补偿设备的母线作PU节点处理。PU节点上的发电机称之为PU机。3 平衡节点在潮流计算中，这类节点一般只设一个。对该节点，给定其电压值，并在计算中取该节点电压向量的方向作为参考轴，相当于给定该点电压向量的角度为零。也就是说，对平衡节点给定的运行参数是U和，因此又称为U节点，而待求量是该节点的P，Q，整个系统的功率平衡由这一节点承担。关于平衡节点的选择，一般选择系统中担任调频调压的某一发电厂（或发电机），有时也可能按其他原则选择，例如，为提高计算的收敛性，可以选择出线数多或者靠近电网中心的发电厂母线作平衡节点。以上三类节点4个运行参数P、Q、U、中，已知量都是两个，待求量也是两个，只是类型不同而已。4.2.2基本方程式在潮流计算中任何复杂的电力系统都可以归结为以下元件（参数）组成：（1） 发电机（注入电流或功率）；（2） 负荷（注入负的电流或功率）；（3） 输电线支路（电阻、电抗）；（4） 变压器支路（电阻、电抗、变比）；（5） 母线上对地支路（阻抗和导纳）；（6） 线路上的对地支路（一般为线路充电电容导纳）。集中了以上各种类型的元件的简单网络如图4.1（a）所示。必须指出，如果仅研究稳态情况下的潮流而不涉及暂态过程的计算，则不需要发电机和负荷的阻抗参数，只需要给出发电机和负荷的注入功率和电流，并且规定发电机和负荷的注入功率和电流取正，而负荷取负。将图4.1（a）中的发电机和负荷节点用无阻抗线从网络中抽出（为不失一般性，将既非发电机又非负荷的浮动节点当作零注入功率的母线抽出网络之外），剩下的部分既由接地和不接地支路组成一个无源线性网络如图4.1（b）所示。(a) 潮流计算用的电网结构图(b) 潮流计算等值网络图4.1 潮流计算用的电网结构图和等值网络对于这个无源线性网络可用相应的导纳矩阵（或阻抗矩阵）来描述，采用导纳矩阵时，节点注入电流和节点电压构成以下线性方程组其中 可展开为如下形式： （4.1）若 可展开为如下形式： （4.2）式中n为网络节点数。由于实际电网中测量的节点注入量一般不是电流而是功率，因此必须将式（4.1）中的注入电流用节点注入功率来表示。根据电工理论，节点功率与节点电流之间的关系为 （4.3）式中，因此用导纳矩阵式（4.1）时，PQ节点可以表示为 （4.4）把这个关系式代入式（4.1）中，得 （4.5）比较式（4.1）和（4.5），由于功率代替电流的结果，使式（4.1）电流电压的线性方程组变化为功率和电压的非线性方程组，这个非线性方程组就是潮流计算的基本方程。式（4.5）是一组共有n个非线性方程组组成的复数方程组，如果把实部和虚部分开便得到2n个实数方程，因此由该方程组可解出2n个运行参数。但是已经知道每一个节点都有4个运行变量，即节点的功率、，以及节点电压的幅值和相位（或对应于某一选定参考直角坐标的实部和虚部），记作（、）或（、），当节点数为n时，则共有4n个运行参数。由2n个方程式要求出4n个运行参数是不可能的，只能求出2n个运行参数，而其余2n个参数应作为原始数据事先给定。这就得根据节点的分类，将每一个节点的4个运行参数中的两个作为原始数据，而将另外两个作为待求量。4.3 牛顿拉夫逊法潮流计算4.3.1牛顿拉夫逊法概要首先对一般的牛顿拉夫逊法作一简单说明。已知一个变量X的函数为 （4.6）解此方程时，由适当的近似值出发，根据 （4.7） 反复进行计算，当满足适当的收敛判定条件就是式（4.6）的根。这样的方法就是所谓的牛顿拉夫逊法。式（3.7）就是取第n次近似解在曲线上的点处的切线与X轴的交点作下一次值的方法，参考图（4.2）a，在这一方法中为了能收敛于真解，初值的选取及函数必须满足适当的条件，如图4.2（b）所示的那种情况就不能收敛或收敛到别的根上去。