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第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法则多元复合函数的求导法则 第八章 本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分形式不变性二、多元复合函数的全微分形式不变性一、链式法则一、链式法则),(vvzuuzz证证),()(tttu 则则);()(tttv ，获获得得增增量量设设tt 0)()(22 vu ttvvztuuztz )(,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt utzv上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz )(),(),(tttfz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zyxwuv解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 即即,),(yxyxfz 令令,xv ,yw 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 其中其中,1 xv,0 xw,0 yv.1 yw,xfxuufxz .yfyuufyz 两者的区别两者的区别区别类似区别类似解解令令,zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzfyzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，的函数，它的全微分形式是一样的它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 1 1、链式法则（分三种情况）、链式法则（分三种情况）2 2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 练练 习习 题题)arctan(xyz xey dxdz三、设三、设,而而,求求.),(22xyeyxfz 具具中中fyzxz ,四、设四、设(其其有一阶连续偏数有一阶连续偏数),求求七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数,验证验证:211yzyzyxzx .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ；2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ；3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz .练习题答案练习题答案三、三、xxexxedxdz221)1(.四、四、.2,22121fxef yyzfyefxxzxyxy 五、五、.),(),1(fxyzuxzxfyuyzyfxu 六、六、,12222121122fyfyfxz ,1)1(22221222fyfyfyxyxz .222422322fyxfyxyz 八八、,)1(121122 xz 222111221122)(yz.
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