等差数列知识点及类型题

等差数列知识点及类型题一、数列由与的关系求由求时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。例1 根据下列条件，确定数列的通项公式。分析：将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，第二种是利用等差中项，即。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则是等差数列；（2）前n项和法：若数列的前n项和是的形式（A，B是常数），则是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例2已知数列的前n项和为，且满足（1）求证：是等差数列；（2）求的表达式。【变式】已知数列an的各项均为正数，a11.其前n项和Sn满足2Sn2paanp(pR)，则an的通项公式为_（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为，故数列是等差数列。例3已知数列的首项=3，通项，且，成等差数列。求：（1）的值；（2）数列的前n项和的公式。分析：（1）由=3与，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,d0,且满足，前n项和最大；（2）若a10，且满足，前n项和最小；（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。例4在等差数列中，其前n项和为。（1）求的最小值，并求出取最小值时n的值；（2）求。分析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函数求最值；（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。例5已知数列是等差数列。（1）若（2）若【变式】已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，满足关系式2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是bn，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn0，anan1，于是an是等差数列，故an1(n1).（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为，故数列是等差数列。例3已知数列的首项=3，通项，且，成等差数列。求：（1）的值；（2）数列的前n项和的公式。分析：（1）由=3与，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由=3得又，得由联立得。（2）由（1）得，（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,d0,且满足，前n项和最大；（2）若a10，且满足，前n项和最小；（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。例4在等差数列中，其前n项和为。（1）求的最小值，并求出取最小值时n的值；（2）求。分析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函数求最值；（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答：（1）设等差数列的首项为，公差为，令，当n=20或21时，最小且最小值为-630.（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。例5已知数列是等差数列。（1）若（2）若解答：设首项为，公差为，（1）由，（2）由已知可得解得【变式】已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，满足关系式2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是bn，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn1.(1)解当n1时，由2Sn3an3得，2a13a13，a13.当n2时，由2Sn3an3得，2Sn13an13.两式相减得：2(SnSn1)3an3an1，即2an3an3an1，an3an1，又a130，an是等比数列，an3n.验证：当n1时，a13也适合an3n.an的通项公式为an3n.(2)证明bn，Tnb1b2bn(1)()()11.跟踪训练1. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （）A13项 B14项 C15项 D16项2. 已知等差数列的通项公式为an=-3n+a，a为常数，则公差d= （）3. 在等差数列an 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，则30是这个数列的（）A第22项 B第21项 C第20项 D第19项4. 已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是（）A-5 B0 C5 D105. 已知等差数列an 中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则a1= （）A-1 B-3 C-5 D-76. 已知等差数列an 满足a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是（）7. 已知数列an 是等差数列，且a3+a11=40，则a6+a7+a8等于（）A84 B72 C60 D438. 已知等差数列an 中，a1+a3+a5=3，则a2+a4= （）A3 B2 C1 D-19.已知数列：，则在此数列中应是（）A第21项 B第41项 C第48项 D第49项10.已知数列中，前和（1）求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式（3）设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。