复变函数论主要内容浏览式总复习

第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第二章第二章 解析函数解析函数第四章第四章 级数级数第五章第五章 留数留数第六章第六章 共形映射共形映射第一章、复数与复变函数1.1-1.2 复数复数相等是指?虚数?纯虚数?zyzxIm,Re复数的四则运算:)()()()(21212211bbiaaibaiba)()()(122121212211babaibbaaibaiba22222112222221212211)()(bababaibabbaaibaiba),(:2yxiyxzRC模：非零复数的辐角：22|yxz复数的共轭：),(yx00Arg22zkkyarctgx主值argz=，-0，使得EE.E则称a为的E孤立点（是边界点但不是聚点）；开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；1、任何集合的闭包一定是闭集；2、如果存在r0，使得，),(aEraU则称E是有界集，否则称E是无界集；),0(rUE 对一切r0,集合 称为无穷远点的一个r邻域。类似地，我们可以定义无穷远点为聚点、内点、边界点与孤立点，的开集、闭集等概念。,|CzrzzC 复平面C上的集合D，如果满足：（1）、D是开集；（2）、D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。则称D是一个区域。性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。设已给)(),(btatzz连续曲线,简单连续曲线,简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。内区域光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间a,b上连续，且有连续的导函数，在a,b上，其导函数恒不为零，则称此曲线为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。单连通区域;多连通区域。为单连通的无界区域，其边界为|2|zz 而集合2|z 为多连通的无界区域，其边界为：2|z|2|zz第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 1.4-1.5 复变函数复变函数注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若记 z=x+iy，w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y)。函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。单射，双射，一一对应，反函数。00)(，使得如果存在一个复数AA，都有的一切对满足|)(|)0(|00Azfzzz时的极限。趋于当为函数则称0)(zzzfA)()()(lim00zzAzfAzfzz当或记作0,0,00000),(lim),(lim)(lim,),(),()(00000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz的充要条件是则设函数1、几何意义：2、与重极限的关系：3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）内连续。在一点连续，则称中每在区域如果处连续。在则称成立如果DzfDzfzzfzfzfzz)()()(,)()(lim 000.),(),(),(),(),()(00000续处连在与变函数处连续的充要条件是实在函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf注1、实初等函数在其有定义的地方连续。1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）；2、复合运算；3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、取到极大模和极小模等）。4、同样我们也可以定义非正常极限。上不连续。域上连续，在负实数轴实数轴的区个复平面除去原点和负在整求证：)0(arg)(zzzfzzxzxzzxzarglim,arglim ,z0Im0Im0000有在负实数轴上时解：当在负实数轴上不连续；故zarg第二章第二章 解析函数解析函数 2.1-2.2 解析函数概念及充要条件解析函数概念及充要条件，zzfzzfzfz)()(lim)(0000000()()f zzzf zz如果在 及 的某个邻域内处处可导，则称在 处解析.()(,)(,)f zu x yiv x yzxiy定理在点可导的充要条件是(,),(,)(,)u x y v x yx yCR在点可微，且满足方程：xvyuyvxu .()(,)(,)f zu x yiv x yD定理在区域 内解析的充要条件是:(,)(,)u x yv x yDCR和在区域 内处处可微，而且满足方程.()uvvvxxyxuuvuxyyyffziixii()(,)(,)f zu x yiv x yD推论：设在区域 内有定义，(,)(,)Du x yv x yCR如果在 内和的四个一阶偏导数存在且连续，并且方程成立：,uvuvxyyx 内解析。在则Dzf)(2.3 初等函数初等函数(1)指数函数与对数函数指数函数与对数函数).sin(cosyiyeexzze 在整个复平面解析：zzee)(,2,1,02|kkyArgeeezxz，0.ze 2 i周期为：1212zezzzee。z 2 ieze。称为对数函数，记为，的函数满足方程zwzfwzzewLn)()0(0 iArg|z|lnLnzzz,w,arg|lnlnzizzw,2ln2arg|lnLnikzikzizzw函数单值与多值xlnzLnzln单值多值单值定义域所有正实数所有非零复数所有非零复数注解一个单值时，0 xzxln为zln分支为Ln;wz定义在整个复平面减去原点,多值函数 LnLn)Ln(2121zzzz不成立：LnLn)/Ln(2121zzzznLnzLn.nzln z主值分支在除去原点和负zzz1ddln实轴的复平面上解析，且有 2.3 初等函数初等函数 (2)三角函数与反三角函数三角函数与反三角函数,2sin,2cosieezeeziziziziz则对任何复数z，Euler公式也成立：cosz和sinz是单值函数；cosz偶，sinz奇;,sincoszizeiz所有三角公式也成立.cosz和sinz以 为周期,零点也与实的一样.21|sin|,1|cos|zz不成立:在整个复平面解析：.cos)(sin ,sin)(coszzzz,sin1csc,cos1sec,sincoscot,cossintanzzzzzzzzzz掌握计算表达式的推导方法 2.3az=0)0(Lnzezwzaa.0az,n当 是正整数 时是一个单值函数；,)(31时是正整数、当nn值函数；是一个n等于n次方根.0,当 是 时01;z(0pqpqq当 是有理数时，即与 为互素的整数，）时q是一个 值的函数；当 是 无 理 数 或 非 实 数 的 复 数 时，是 无 穷多 值 函 数；Im0,Re0Czz幂函数在上解析，且1ddaazazz其中 应当理解为某个分支。azzzzzzzzzzzzeeeeth,2eesh,2eechuchz和shz以2i为周期,chz偶,shz奇u(chz)=shz,(shz)=chz3.13.1复积分的概念复积分的概念 Az z1z1z z2z2z z3z3.zk 1z zkzk zkBxyO)1.3()(limd)(,)(,.max,)()(111111 nkkknCnknkkkknkkknkkkknzfzzfCzfSnszzszfzzfSz z z zz z记作记作的积分的积分沿曲线沿曲线则称其为则称其为有唯一极限有唯一极限如如趋于零趋于零无限增加且无限增加且当当的长度的长度记记()d.Cf zz记号设光滑曲线设光滑曲线C C由参数方程由参数方程z z=z z(t t)=)=x x(t t)+)+iyiy(t t),),a a t t b b给出给出,如果如果f f(z z)=)=u u(x x,y y)+)+iviv(x x,y y)在在C C上处处连续上处处连续,则则u u(x x,y y)及及v v(x x,y y)均为均为C C上连续函数上连续函数.1()nkkkfzz1(,)(,)()nkkkkkkkuivxiy11(,)(,)(,)(,)nkkkkkkknkkkkkkkuxvyivxuy)2.3(.ddd)(CCCudyvdxiyvxuzzfi)(),()d.Cf zCf zz当连续,光滑时积分存在ii)()dCf zz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算,即(3.2)式.综上得到综上得到:,:()d (),()()(),()()d (),()()(),()()dCf zzu x t y t x tv x t y t y ttiv x t y t x tu x t y t y tt于是可把参数方程代入(3.2)右端化为定积分来计算 (),()(),()()()d()()d.()d()()d.Cu x ty tiv x ty tx tiy ttf z t z ttf zzf z t z tt所以于是于是,我们得到我们得到iii)iii)计算复积分的直接方法是计算复积分的直接方法是:把参数方程代入把参数方程代入u注注:如果如果C C是由是由C C1 1,C C2 2,.,.,C Cn n等光滑曲线首尾等光滑曲线首尾连接而成连接而成,则我们定义则我们定义12()d()d()d()d.nCCCCf zzf zzf zzf zz()dddCCCf zzuxvyivdxudy左或右端左或右端,化为定积分化为定积分.Czzd112200d(34)d(34)dCzzittitt217(34)1222ii Cnzzz10)(dz z0 0r rq qz-zz-z0 0=r re eiqiqz zO Ox xy y2 11(1)00ded()einni nCzirzzr2 2 00dedeinninniirr2 00,d2 ,nii当时 结果为200,(cossin)0.ninnin dr 当时为所以所以.0,0,0,2)(d|100nnizzzrzzn(牢记此结果牢记此结果!)!)(1)()d()dCCf zzf zz(2)()d()d;()CCkf zzkf zzk为常数(3)()()d()d()dCCCfzg zzfzzg zz(4),()|()|()d|()|dCCCL fzCfzMfzzfzsML设曲线长度为在上满足则u(1)-(3)(1)-(3)由线积分的相应性质得由线积分的相应性质得.u(4)(4)由复积分的定义得到由复积分的定义得到(?).(?).u以上讲了以上讲了复积分定义复积分定义:分割分割,取点取点,求和求和,取极限取极限.直接计算法直接计算法:把曲线参数方程代入化把曲线参数方程代入化为定积分为定积分.存在性存在性:连续函数必可积连续函数必可积.性质性质:反向变号反向变号,线性线性,模不等式模不等式.一个重要例题一个重要例题:.0,0,0,2)(d|100nnizzzrzzn3.2-3.4 柯西定理柯西定理 复合闭路定理复合闭路定理 原函数与不定积分原函数与不定积分 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分()d0.Cf zz CBD 0Cfz dz D变形过程中不能够经过变形过程中不能够经过f(z)不解析的点不解析的点.连续形原理连续形原理1i)()d0(3.13)ii)()d()d(3.14);knkCCkf zzf zzf zzCC其中 与均取正方向,nC1设 D是 以 C,C为 边 界 的有 界 多 连 通 域(如 图),f(z)在D内 解 析,在 D上 连 续,则复合闭路定理复合闭路定理:1.nCCC 复合闭路DCC1C2C3102,0,d0,0.()ninznzz0z为绕 的简单闭曲线.0d2zizz.特别特别,记得这个记得这个结果结果zzzzd122xyO1C1C2Czzfd)(0()()d(3.15)zzF zfzz对对函数函数我们有我们有定理定理:如果如果f(z)f(z)在在单连通域单连通域B B内处处解析内处处解析,则函数则函数F(z)F(z)必为必为B B内的一个解析函数内的一个解析函数,并且并且 F(z)=f(z).F(z)=f(z).1010()d()().(3.16)zzf zzG zG z “牛牛-莱公式莱公式”目前已学的目前已学的求积分的方法求积分的方法1.1.把参数方程代入化为定积分把参数方程代入化为定积分;2.2.用柯西定理用柯西定理;3.3.用复合闭路定理用复合闭路定理;4.4.用用“牛牛-莱公式莱公式”;.注：注：“求积分的方法求积分的方法”这串珠子可把复这串珠子可把复变的许多重要知识点连在一起变的许多重要知识点连在一起!建议补建议补充与总结。充与总结。第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分复积分的概念复积分的概念柯西定理柯西定理复合闭路定理复合闭路定理原函数与不定积分原函数与不定积分本章小结本章小结分割分割,取点取点,求和求和,取极限取极限.复积分概念复积分概念:)9.3(.0d)(CzzfDC:D复合闭路定理复合闭路定理:1()d()d(3.14)knkCCf zzf zz3CDC2C1C:D12()d()d(3.14)CCf zzf zz2C1C闭路变形原理闭路变形原理:一个重要的结果一个重要的结果:.0,0,0,2)(d|100nnizzzrzznz0r.z000|1d2z zrzizz更一般更一般:积分的模不等式积分的模不等式:()d|()|dCCf zzf zsML)17.3(.d)(21)(00Czzzzfizf.z0 z0)19.3(.d)e(21)(2000iRzfzf 平均值公式平均值公式:()010!()()d(3.20)2()1,2,nnCnf zfzzizzn。.z0DC:D高阶导数公式高阶导数公式:解析函数的无穷可微性（重要特性）解析函数的无穷可微性（重要特性）21d)1(ed)1(ed)1(e222222CzCzCzzzzzzzOC1C2Ci ixy更一般地更一般地,(),()(),().f zdzp zf zCCp zC形如的积分其中在 上和 内解析为多项式高阶导数公式的应用（补充知识高阶导数公式的应用（补充知识,不要求掌握）不要求掌握）nnRRMnzf)(!)(0)(z0C刘维尔刘维尔:复平面上解析且有界的复函数是常数复平面上解析且有界的复函数是常数.代数基本定理代数基本定理:在复平面上在复平面上n次多项式至少有一个零点次多项式至少有一个零点.:0fC莫勒拉在单连通域D内连续时,解析.22(,):0 x yxy22调和.共轭调和.解析与调和解析与调和提要提要4.1 复数项级数复数项级数第四章第四章 级数级数复数序列 zn极限0limzznn定理:序列zn收敛（于z0）的必要与充分条件是：序列an收敛（于a）以及序列bn收敛（于b）。(充要条件)(归结性)复数项级数就是.21nzzz部分和序列：nnzzz.21如果序列 收敛，那么我们说级数 收敛；nnz1nnz定理:如果级数 收敛，那么nzlim0,()nnz必要条件nkknkknbia11充要条件,归结性?.|.|21nzzz 绝对收敛,相对收敛定理:级数 绝对收敛的充要条件是：nz级数 以及 绝对收敛.nanb定理:若级数绝对收敛，则它一定收敛。柯西收敛原理（复数项级数）：级数nz收敛必要与充分条件是：任给,0可 以 找 到 一 个 正 整 数 N，使 得 当 n N，p=1,2,3,时|.|21pnnnzzz柯西收敛原理（复数序列）：序列nz收敛必要与充分条件是：任给|mnzz,0可以找到一个正整数N，使得当m及nN，定理:如果复数项级数 及 绝对收敛nznz并且它们的和分别为,那么级数（它们的柯西积）).(11211zzzzzznnnn也绝对收敛，并且它的和为.(证略)4.2 幂级数幂级数第四章第四章 级数级数)3.4()()()()(211zfzfzfzfnnn复变函数项级数复变函数项级数:部分和部分和:sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)00lim()()nnszs z u复变函数项级数复变函数项级数)3.4()()()()(211zfzfzfzfnnnu在在 z0 收敛收敛:u和和:s(z0).u在在D内处处收敛内处处收敛,则有则有u和函数和函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.幂级数幂级数20120()()()()nnnnnczacczaczacza00()nnnnnnczacz作一平移可互化:20120nnnnnc zcc zc zc z或000(0),|,nnnc zzzzzz在收敛 则对满足的级数必绝对收敛;z0 xyO幂级数幂级数00,|,.zzzzz如果在级数发散则对满足的级数必发散在收敛圆的外部在收敛圆的外部,级数发散级数发散.收敛圆的内部收敛圆的内部,级数绝对收敛级数绝对收敛.收敛圆的半径收敛圆的半径R称为收敛半径称为收敛半径.在收敛圆上是否收敛在收敛圆上是否收敛,则不一定则不一定.幂级数幂级数211(|1)1nzzzzz 牢记结果:幂级数幂级数幂级数幂级数000()()(),nnnnnnnnnnf zg za zb zabz0001 10012()()(),|,min(,).nnnnnnnnnnnf z g za zb za baba b zzRRr r幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质:幂级数幂级数00|,(),()|()|,()().nnnnnnzrf za zg zg zrf g zag z如果当时又设在区域D内解析且满足则在区域D内这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.幂级数幂级数幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质:幂级数幂级数幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质:幂级数幂级数幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质:010()d()d,|()d()(1nnnCCznnanf zzczazCzaRcfzanzz或牢记结果,证略)第四章第四章 级级 数数4.3 泰勒级数泰勒展开式定理定理 设函数f(z)在圆盘内解析，那么在U内，RzzU|:|0.)(!)(.)(!2)()(!1)()()(00)(200000nnzznzfzzzfzzzfzfzf解析函数的幂级数刻画定理 函数f(z)在一点z0解析的必要与充分条件是：它在z0的某个邻域内有幂级数展式。解析函数幂级数展式的唯一性定理解析函数幂级数展式的唯一性定理定理 在幂级数展开式定理中，幂级数的和函数f(z)在U内不可能有另一种形式的幂级数。注解：于是,我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式，所得结果一定相同。常用的方法有:直接法-直接计算系数法,间接法-代换(复合)运算法、导数(或积分)法.例1、求函数zzezcos,sin,牢记这三个函数的展式!.!1.!2112nzznzzesinz,cosz=?例2、|z|1。.)1(.32)1ln(132nzzzzznn例3、求的解析分支 在z=0的泰勒展式（其中a不是整数）.|z|1)。则在去掉中心z0的某一圆盘内),()(1)(0zzzzfk)(z00()(),nnnzzz其中 在这个圆盘内包括z=z0解析且在z0不等于0，其泰勒级数展式是：0zz 高阶极点留数的计算：)(z10),(Reskzf1)如果容易求出 的泰勒级数展式，那么01001()()12)Res(,)lim.(III)(1)!kkkzzdzzf zf zkdz情形用留数计算复积分2d,1zCzezz 例1 计算积分C为正向圆周:|z|=2.解:由于1e)(2zzzfz有两个一级极点+1,-1,而且都在圆周C内,所以.1),(Res 1),(Res2d12zfzfizzzeCzCzzfid)(21Czzfizfd)(21),(Res的值与具体的的值与具体的C无关无关,称其为称其为f(z)在在 点的留数点的留数,记作记作211Res(),Res,0.(f zfzz 情形IV)无穷远点留数的计算公式无穷远点留数的计算公式:10|2.()(1)(3)dzzz+zzRe(),)Re(),1)Re(),3)Re(),)0.ffff sssszzzz例例2 计算积分计算积分解解:计算后两个留数较方便.第五章第五章 留数留数5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用一.型如,)cos,(sin20dtttRI的积分，其中R(x,y)是有理分式被积函数是t的连续函数.留数定理的应用-实积分的计算:zeit1111sin(),cos(),22dztztzdtizziz解法：令 ，那么原积分化为 再用留数求此积分.|1(),zIf z dz,)(dxxRI的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次，即积分绝对收敛。留数定理的应用-实积分的计算:二.型如解法:均如下例.例2、计算积分220.(1)dxIx221,(1)z思路:f(z)=留数定理的应用-实积分的计算:rrrzdzxdx2222)1()1(.2412),)1(1(Res222iiizi22221|0().(1)(1)rdzrrzr 估计引理3.1设f(z)是闭区域),0,0(|,210021rzrArgz上连续的复变函数，并且设r)(0rr,0)(limzfz那么我们有.0)(limrdzezfizr 是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段 如果当z在这闭区域上时，留数定理的应用-实积分的计算:(),ixIf x e dx的积分，其中f(z)在0Im z0Im z 上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z在上时，引理中的条件满足留数定理的应用-实积分的计算:三.型如 ,即当z在 时，0Im zlim()0.zf z解法:如下例.例3、计算积分02,1cosdxxxI思路：取r0，则有,121)1(21cos20202rrixrixixrdxxedxxeedxxx21()1f zz留数定理的应用-实积分的计算:于是,),1(Re211222eizesidzzedxxeizizrrixr由引理,第二个积分趋于0.留数定理的应用-实积分的计算:注：如果函数f(x)在上半平面可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些广义积分，如下面的例子。留数定理的应用-实积分的计算:例4、计算积分0,sindxxxI留数定理的应用-实积分的计算:0,rixizixizrreeeedxdzdxdzxzxzsin2,2ixixrrixixrrxeedxdxxixieedxdxxx 思路:0lim.izedziz 第二个积分趋于0,且可求得z(t0)z()z()z(t0)2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向 之间的夹角就是它们交点处切线 正向间夹角.Oxz(t0)P0C切线的正向切线的正向:1)Arg z(t0)就是z0处C的切线正向 与x轴正向间的夹角;OxyOuvz0P0C(z)(w)w0Q0w=f(z)z=z(t),atb,w=fz(t),atb f(z0)0OxyOuv(z)(w)z0w0OxyOuv(z)(w)z0w0C1C212OxyOuvz0P0rzPsC(z)(w)w0Q0Qw00|()|lim(6.2)zzfzs解析函数导数的几何意义 OxyOuv(z)(w)z0w0C1C212OxyOuv(z)(w)z0w0C1C212000000|()|()|()|.wwfzwf zzzzzwwfz由伸缩率看出映射也将很小的圆近似地映射成圆第六章第六章 共形映射共形映射6.2 分式线性映射分式线性映射分式线性函数分式线性函数是指下列形状的函数：,zzw其中 是复常数，而且 。,0分式线性函数的反函数也是分式线性函数.注解：注解1、当 时，所定义的分式线性函数是把z平面双射到w平面，即把C双射到C的解析函数；0注解2、当 时，所定义的分式线性函数是把 双射到 的解析函数；0CC注解3、我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面 。当 时，规定它把映射成 ；当 时，规定它把映射成 ；则把 双射到 。C0zw0CCzz,ww,分式线性函数 可以把共形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域.分式线性函数注解4、分式线性函数把扩充z平面共形映射成扩充w平面。（为一个复数）；分式线性函数 一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：（1）、zw（2）、（为一个实数）；zewi（3）、（r为一个正数）；rzw（4）、。zw1分式线性函数把z及w看作同一个复平面上的点，则有：（1）、zw 确定一个平移；分式线性函数（2）、zewi确定一个旋转；（3）、rzw确定一个以原点为相似中心的相似映射；（4）、zw1是由 映射及关于实轴的对称映射 叠合而得。zz111zw 定理(保圆性)：规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。定理定理 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆。定理(三点确定分式线性映射):定理定理 对于扩充 z平面上任意三个不同的点321,zzz以及扩充 w平面上任意三个不同的点，321,www存在唯一的分式线性函数，把321,zzz依次分别映射成.,321www注解与推论：注解:交比 ,“1324,1423”.),(321zzzz推论推论 在分式线性函数所确定的映射下，交比不变。即设一个分式线性函数把扩充 z平面上任意不同四点 映射成扩充 w平面上四点 ，那么4321,zzzz4321,wwww).,(),(43214321wwwwzzzz定理 定理 扩充 z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充 w平面上任何圆。关于圆的对称点：注解3、关于直线的对称点和关于圆的对称点可以统一定义,见下述引理.设已给圆)0(|:|0RRzzC如果两个有限点 及 在过 的同一射线上，并且1z2z0z20201|Rzzzz那么我们说它们是关于圆C的对称点。SNNUyx1w1/wzz引理:引理 不同两点 及 是关于圆C的对称点的必要与充分条件是：通过 及 的任何圆与圆C直交。1z2z1z2z定理(保圆的对称性）：定理 如果分式线性函数把 z平面上圆C映射成 w平面上的圆C，那么它把关于圆C的对称点 及 映射成关于圆C的对称点 及 。1z2z1w2w两个特殊的分式线性函数：(1)、试求把上半平面Imz0保形映射成单位圆盘|w|0内某一点 映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。0z由于线性函数把关于实轴Imz=0的对称点映射成为关于圆|w|=1的对称点，所求函数不仅把 映射成w=0，而且把 映射成 。因此这种函数的形状是：0z0zw,00zzzzw其中 是一个复常数。把上半平面映射成单位圆内部的映射：其次，如果z是实数，那么,1|00zzzzw于是 ，其中 是一个实常数。因此所求的函数应是ie,00zzzzewi由于z是实数时，|w|=1，因此它把直线Imz=0映射成圆|w|=1，从而把上半平面Imz0映射成|w|1，又因为当 时，|w|=01，因此这个函数正是我们所要求的。0zz 单位圆到单位圆内部的映射：(2)、试求把单位圆|z|1保形映射成单位圆盘|w|1的分式线性函数。解：首先，这种函数应当把|z|1内某一点 映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。0z不难看出，与 关于圆|z|=1的对称点是 ，和上面一样，这种函数还应当把 映射成 因此这种函数的形状是：0z0/1 zw0/1 z,1/100100z zzzzzzzw其中 是一个复常数。1,两个特殊的分式线性函数：其次，如果|z|=1时，那么),(1000zzzzzz zz z于是,1|1|1001z zzzw因此 ，其中 是一个实常数。ie1所求的函数应是,100z zzzewi由于当|z|=1时，|w|=1，因此它把圆|z|=1映射成圆|w|=1，从而把|z|1映射成|w|1，又因为当 时，|w|=01，因此这个函数正是我们所要求的。0zz.22izizewi因为例：00izzwezz得.4)2(ieiwi,)2(4e)(2izizwi.2,02)2(arg4)2(,22eiwieiwizizwiiiziziw22故有例：21211 1111422 22e,ee12311122iiizzzzwwzz例：001izzwezz1arg0,0.212121212wzzwzz即所以所求映射为例：14e,2311arg,0,22iwww故由于为正实数 从而221e(2)2e,224iiwiziwizii故有,由此得例：2e2izizi221e,(2)2e,224iiwiziwiziiarg(2)arg(2e)arg(4).2arg(2),0.2iwiiwi 由于已知从而得例：2222(1).222wizizwizizi于是所求映射为或2i(z)O()2i(w)izziw22)1(222ziziw=2(i+)x1ii1C1C2y(z)O例：x1ii1C1C2y(z)OC2C1Ouv(w)例：第六章第六章 共形映射共形映射lnnenzwz,wz,w,wz映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍O(z)0O(w)n0w=zn(z)(w)OOn2上岸下岸w=zn(z)O4O(z)1(w)z z4iiwzzizizw440(w)O1C1C2(z)OiiO(z)0(w)O1C1C2(z)Oiiizizizz0eiw izizewi)2(01aiOxy(z)arg w=auOv(w)2iOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnwIm()0|1.eezziwiwiwi 而映射将 平面的上半平面映射成单位圆因此所求的映射为 O(z)ab(w)Oi(z)O)(azabizw=ez)(aabiewz 第六章第六章 共形映射共形映射6.4 共形映射的基本问题共形映射的基本问题(补充知识补充知识,不作要求不作要求)u问题一：对于给定的区域D和定义在D上的解析函数 w=f(z)，求象集G=f(D)，并讨论f(z)是否将D保形地映射为G；u问题二：给定两个区域D和G，求一个解析函数w=f(z)，使得f(z)将D共形地映射为G；u问题二一般称为基本问题，我们一般用单位圆作为一个中间区域(中介区域)。)(zfz)(wgz1()wgzD平面z1|z平面zG平面w)(1zfgw。闭曲线双方单值地映射成简单且将上解析，在，函数单闭曲线的边界为简域（边界对应原理）设区定理CCDDzfwCD)()zCwGwf zDG当 沿 的正向绕行时，相应的 绕行方向定为的正向，并令 是以 为边界的区域，则将 共形映射成区域。边界对应原理D1z2z3zC1w3w2wD1w3w2w,()DGwf zDG定理（黎曼存在唯一性定理）设 与 是任意给定的两个单连通区域 它们的边界至少包含两点，则一定存在单叶解析函数把 共形地双射为。00000000()()()arg()()DGzwwf zf zwfzwf z 如果在 和 内再分别任意指定一点 和，并且任给一实数，要求函数满足，且，则映射是唯一的。注:单叶函数即单的映射.共形映射实例：在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|0保形映射成上半平面。例1的解：xyOADBC平面zO)1(B)(iD)0(AC平面 wC)1(D)1(B)0(AC平面w,1122zzww例2：例2、求作一个单叶函数，把z平面上的带形,Im0z保形映射成w平面上的单位圆|w|1。例2的解：Oii平面 wxyOi平面z1O平面w.ieiewzz主要内容浏览式主要内容浏览式总复习结束总复习结束How beautiful the sea is!