相量法在正弦交流电计算中的几个问题n

相量法在正弦交流电计算中的几个问题大家知道，用相量法来分析计算正弦交流电时，能把复杂的三角函数的加减 与微分积分运算，化为简单的复数代数运算。但在传统教材中，对于两个同频率 的正弦量相加，为什么能用对应相量相加来计算，阐述不是很清楚；计算交流电 路的功率问题，及求解交流电路中功率因数的提高时，却只采用了实数的方法。本文进一步探讨了在正弦交流电路计算中用相量法计算的理论基础；并提出 了用相量法（复数）来计算功率的方法，和用相量法来求解电感性电路中功率因 数的提高的方法，采用传统实数法求法不一样的角度来解决问题，更加促进了相 量法理论的统一与和谐。一、相量法理论基础探讨传统教材中，讲解相量法分析计算正弦交流电路中，一般分析电路中的e、 i、u均为正弦量，它具有有效值、初相位、同频率的特征。然后讲解正弦量可 以用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数来表示，从而同频率的正弦量可以 化为相应的相量（复数）来表示与计算。在含有电容和电感的电路中，又巧妙的 引入复数阻抗，从而把复杂的三角函数的微分积分运算转化为简单的复数乘除运 算。但在论述两同频率正弦量相加减，为什么可以转化为其对应相量相加减来计 算，阐述不是很清楚。下面就这个问题作深入的研究和证明，例子中只证明了电 流i的相加，其实也适用也电压u与电动势e的相加，当然也适用于相减的情况。（一）证明两同频率正弦量相加等价于两正弦理对应的相量相加证明两同频率正弦量相加可以用相量式相加来表示。即证明如下问题：已知： 三个正弦交流量，i1=I1 2 sin（wt+%），i2=I2 2 sin（wt+%），i=K 2 sin(wt+9)，且i+i =i。证明I +1 = I。(另证明反过来 1212I +1 = I，L+i广i也成立)1212证：从i1+i2=i中套入已知的表达式，得I注2 sin(wt+91) +I2 % 2 sin(wt+2)= I % 2 sin(wt+)展开得I sinwtcos + I coswtsin I sinwtcos I coswtsin )+=Isinwtcos+ Icoswtsin整理得sinwt (I cos I cos )+ coswt(I sin I sin )= sinwtI cos+ coswtIsin11 + 2211+ 22从而可以推出以下两等式：I1cos1 +I2cos%= I cosI1s i n91+I2sIn92=I sin从可以推出，JI1sin91+jI2sIn92=jIsin9 I coso T coso + JI sino JT sIno = I coso+jlsino11 + 2211+ 22由两式左右分别相加，整理得I (coso +jsino)+L(cose。+jsInOc)= I(coso+jsino)1T 112 T 22据欧拉公式，可以化为：以珅1 + I2ej92 = Iej9即 I +1 =1 12很明显，以上证明反过来也成立，故I + i = I, L+i尸i也成立。 1212（二）证明两正弦量相加用相量法计算与三角函数计算结果是一样的已知：并联电路中，i=I .2 （sinwt+中），i =I - （sinwt+中），11 匕12 . 2 匕2求：i=I、2sin（wt+9）o （即求其中的I和中，用I1 I29192表示）解：方法一：用三角函数式来计算i=i1+i2=% 2 ISin(wt+%)+I2sin(wt+%)= v 2 (I sinwtcoso + I coswtsino +I sinwt coso +T coswt sin%)JLJLJLJL 乙Z-i Z-iZ-i=.：2 sinwt（ICosO+I2 cos%2）+ coswt（I1sino1+I2 sin%2）式两个同频率的正弦量相加，得到的仍然是一个同频率的正弦量式i= * 2 Isin(wt+o) = 2 (sinwtlcos%+ coswtIsino)对比式式可得，Icoso= I1cos%1+I2 coso2 式Isino= I1sin%1+I2 sin%2式综合式式得出：I sin 9 +1 sin 9I cos9 +1 cos9方法二：用相量来计算 i把已知条件化为相量得I1I =t(I cos9 +1 cos9 )2 + (I sin9 +1 sin9 )2 11221122=I ej9”1=I ej92, 求I = Iej92据并联电路特点：【=I1 + L I1ej91 + 。眺=I1coso1+jI1sino1+ I2coso2+jI2sino2=T coso + T coso +i(T sino +T sino )I1 I21 2I121 2JLJLJJJLJLJJ把上面相量从代数式化为指数式得jarctgJ1sin 91 +2sin91I = (I cos9 +1 cos9 )2 + (I sin9 +1 sin9 )2eI1cos91+I2cos92V 11221122I = Iej 9对比得出：I =、(I cos9 +1 cos9 )2 + (I sin9 +1 sin9 )2 11221122I s i Ql +1 s i QlV = a r c it g 1s2I C OQ S + I C OQ S1122方法三：用相量图来分析从相量图来看，电流的有效值与初相位计算 方法，与上面的方法安全一致。可以看出，合正弦量的有效值I等于两分正弦量 实部与虚部分别相加，再分别取平方后相加，最 后求平方根。合正弦量的初相位就是中。实际中常用实数结合相量图来进行分析计算。结论：以上证明，清楚说明了同频率两正弦量相加减可以用它们对应的相量 相加减来表示与计算。二、用相量法来计算正弦交流电路的功率已知：正弦交流电中，电压为U = Uej甲1，电流为】=Iejp2，u与i的相位差为9=%一%，S为视在功率，Q为无功功率，P为有功功率。解：设S*为复功率，电流I的共轭复数为r = Ie 一抻2定乂复功率S* = UI = Ue jq 1 Ie-jq2 = UIe j(q 1 -q2)= UIe jq则复功率的模就是视在功率S =1S* 1= UIQ复功率的实部就是有功功率P = Re(S*) = UIcos Q/R 节复功率的虚部就是无功功率Q = Im(S*) = UIsinQ匕匕电压、阻抗、矗三角形结论：引入复功率以后，各种功率计算更加有规律可循。三、相量法求解交流电路中功率因数的提高已知：某电感性交流电路中，电路电压为u，原电流为iL，u与iL的相位差 为，频率为f，原电路功率为P=UILcos%。若要把功率因素从cos%提高到cos%。求：电路中应并联的多大的电容器C。解：电容器并联感性负载提高功率因数方法一：实数计算法并联电容前后，因电容器不做功，故并联前后电路的有功功率不变，即P=UIL cos% =UI cosp2，从而求出 IL 和 IIL=P/（U cos%）式I=P/（U cos%）式从相量图可以看出：I C= ILsinp1Isinp2 式又据纯电容电路特点，ic=u/xc式XC=1/（2n fC）式综合式得出C= P/2n f U2（tg% tgp2）方法二：相量计算法（即复数计算法）设u的初相位为0，则iL、i和ic的初相位分别为-%，-甲2和90。据并联电路的电流关系，有Il + ic=l展开得：七。顷1 + Icej90 = Ie顷2艮口 ILcos 甲 jILsin甲+ jI C= Icosp2 jIsinp2ILcosp1 j(ILsinp1 I C) = Icosp2 jIsin%据两复数相等的定义，可以推出，(一) 实部相等 ILcosp1= Icosp2，所以 P=UIL cos% =UI cos%从而可以说明并联电容器后，电路中有功功率没有变，并可以求出IL和IIL=P/(U cos%)式I=P/(U cos%)式(二) 虚部相等 一(ILsinp1 I C)=Isinp2贝 UI C= ILsinp1Isinp2式式和式代入式得：式I C=PL sin%/ (U cos%) P sinp/ (U cosp2)=P/U (tg% tgp2) 又据纯电容电路特点， 式 式 解得：ic=u/xcXC=1/(2n fC)把式和式代入式，C= P/2n f U2 (tg% tgp2)对比：用实数法来求解问题时，要判断出电路的总有功功率不变，还要从右 边的相量图中推导出I C IL I三者的关系，难度比较大。而用相量法，不用看右 边的相量图，这些结论都可以从相量式中完全推导出来，只要判断一下三个电流 的相位关系就可以了，降低许多难度，纯粹是数学公式的推导，也比较有规律。