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2023-2-23一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz二、环流量与旋度二、环流量与旋度 yPxQxRzPzQyR,RQPzyxkji Arot RdzQdyPdx2023-2-23一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理 设设 为分段光滑的为分段光滑的空间有向闭曲线空间有向闭曲线,是以是以 为边界的分片为边界的分片),(zyxQ),(zyxR在包含曲面在包含曲面 在内的一个空间区域内有一阶在内的一个空间区域内有一阶的的有向曲面有向曲面,的正向与的正向与 侧符合侧符合右手规则右手规则,函数函数光滑光滑),(zyxP则则连续偏导,连续偏导,dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR RdzQdyPdx右手规则右手规则:右手四指以:右手四指以 的方向绕行,大拇指所指方向与的方向绕行,大拇指所指方向与 法向量法向量方向相同,称方向相同,称 是有向曲面是有向曲面 的正向边界曲线的正向边界曲线.上上n xyzo),(:yxfz 2023-2-23斯托克斯公式斯托克斯公式 也可写成也可写成:RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz或或 RdzQdyPdxdsRQPzyxcoscoscoscos,cos,cos n为为 上的上的单位法向量单位法向量.dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR RdzQdyPdx2023-2-23解解xyz111 ydzxdyzdx yxzzyxdxdydzdxdydz dxdydzdxdydzyxz 1:dxdy3 xyDdxdy323 例例1 利用斯托克斯公式计算利用斯托克斯公式计算 ydzxdyzdx,其中其中 为平面为平面1 zyx被三个坐标面截成的三角形的整个边界被三个坐标面截成的三角形的整个边界,其正向其正向形上侧的法向量符合右手法则形上侧的法向量符合右手法则.与三角与三角31cos 31cos 31cos dsyxzzyxI3/13/13/1 ds332)2(4333 23 2023-2-2331coscoscos 例例2.计算计算dzyxdyxzdxzyI)()()(222222 ,其中其中 是由是由 平面平面2/3 zyx截立方体截立方体:10,10,10 zyx的表的表面所得的截痕面所得的截痕,若从若从x轴正向看去轴正向看去,取逆时针方向取逆时针方向.由斯托克斯公式得由斯托克斯公式得 dsyxxzzyzyxI2222223/13/13/1 dszyx)(34 xyDdxdy32334yxo111/21/2xyD29)8121(6 ,2/3yxz 取取 为平面为平面2/3 zyx的的上侧上侧 所围成所围成 的部分的部分.被被解解 yz111ox 2023-2-232xyzo 取取 为平面为平面2 z的的上侧上侧被被 所围部分所围部分.2 由斯托克斯公式得由斯托克斯公式得dzyzxzdyydx 23 23yzxzyzyxdxdydzdxdydz dxdyzdydzxz)3()(2 dxdyz)3(xyDdxdy)32(xy 5 20 另解另解:1cos,0coscos dzyzxzdyydx 23 dsyzxzyzyx23100 dsz)3(20 例例3 利用斯托克斯公式计算利用斯托克斯公式计算,32dzyzxzdyydx 其中其中 是是,2,222 zzyx若从若从z 轴正向看去轴正向看去,取逆时针方向取逆时针方向.圆周圆周解解2023-2-23设有向量场设有向量场),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 为向量场为向量场A的的旋度旋度 yPxQxRzPzQyR,RQPzyxkji 为向量场为向量场A沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的的环流量。环流量。RdzQdyPdx则称则称 Arot二、环流量与旋度二、环流量与旋度2023-2-23例例4 设向量场设向量场ArotkxyjzxiyzA求求,)2()3()32(解解xyzxyzzyxkjiArot2332 kji642 例例5 求向量场求向量场kjxi yA2 沿闭曲线沿闭曲线 01:22zyx 逆时针方向逆时针方向的环流量的环流量.解解 dzxdyydx2dSxyzyx 2100 dS2 xyDdxdy2 2 xyz
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