八年级数学经典讲解第08讲非负数

八年级数学经典讲解 第八讲 非负数 所谓非负数，是指零和正实数非负数的性质在解题中颇有用处常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根 1实数的偶次幂是非负数 若 a 是任意实数，则 a2n0(n 为正整数)，特别地，当 n=1 时，有 a20 2实数的绝对值是非负数 若 a 是实数，则 性质 绝对值最小的实数是零 3一个正实数的算术根是非负数 4非负数的其他性质 (1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若 a1，a2，an 为非负数，则 a1a2an0 (3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，an 为非负数，且 a1a2an=0，则必有 a1a2an0 在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多 (4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数 (5)最小非负数为零，没有最大的非负数 (6)一元二次方程 ax2bxc=0(a0)有实数根的充要条件是判别式=b2-4ac 为非负数 应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决 解得 a=3，b=-2代入代数式得 解 因为(20 x-3)2 为非负数，所以 -(20 x-3)20 -(20 x-3)20 由，可得：-(20 x-3)2=0所以 原式=20020=40 说明 本题解法中应用了“若 a0 且 a0，则 a=0”，这是个很有用的性质 例 3 已知 x，y 为实数，且 解 因为 x，y 为实数，要使 y 的表达式有意义，必有 解 因为 a2+b2-4a-2b+5=0，所以 a2-4a+4+b2-2b+1=0，即(a-2)2+(b-1)2=0 (a-2)2=0，且(b-1)2=0 所以 a=2，b=1所以 例 5 已知 x，y 为实数，求 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3 的最小值和取得最小值时的 x，y 的值 解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3 =x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2 =(x-y+1)2+(2x-y)2+2 因为 x，y 为实数，所以 (x-y+1)20，(2x-y)20，所以 u2所以当 时，u 有最小值 2，此时 x=1，y=2 例 6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0 的实数根的个数 解 将原方程化为 a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即 (ax-1)2+x2+a2+3=0 对于任意实数 x，均有 (ax-1)20，x20，a20，30，所以，(ax-1)2+x2+a2+3 恒大于 0，故 (a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0 无实根 例 7 求方程 的实数根 分析 本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题 解之得 经检验，均为原方程的解 说明 应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件 例 8 已知方程组 求实数 x1，x2，xn 的值 解 显然，x1=x2=xn=0 是方程组的解 由已知方程组可知，在 x1，x2，xn 中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=xn=0所以当 x10，x20，xn0 时，将原方程组化为 将上面 n 个方程相加得 又因为 xi 为实数，所以 经检验，原方程组的解为 例 9 求满足方程a-b+ab=1 的非负整数 a，b 的值 解 由于 a，b 为非负整数，所以 解得 例 10 当 a，b 为何值时，方程 x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0 有实数根？解 因为方程有实数根，所以0，即 =4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8 =-8a2-16ab-16b2+8a-40，所以 2a2-4ab-4b2+2a-10，-a2+2a-1-a2-4ab-4b20，-(a-1)2-(a+2b)20 因为(a-1)20，(a+2b)20，所以 例 11 已知实数 a，b，c，r，p 满足 pr1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程 ax2+2bx+c=0 必有实数根 证 由已知得 2b=pc+ra，所以 =(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac =p2c2+2pcra+r2a2-4ac =p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac =(pc-ra)2+4ac(pr-1)由已知 pr-10，又(pc-ra)20，所以当 ac0时，0；当 ac0 时，也有=(2b)2-4ac0综上，总有0，故原方程必有实数根 例 12 对任意实数 x，比较 3x2+2x-1 与 x2+5x-3 的大小 解 用比差法 (3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2 即 (3x2+2x-1)-(x2+5x-3)0，所以 3x2+2x-1x2+5x-3 说明 比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决 例 13 已知 a，b，c 为实数，设 证明：A，B，C 中至少有一个值大于零 证 由题设有 A+B+C =(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+-3 =(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(-3)因为(a-1)20，(b-1)20，(c-1)20，-30，所以 A+B+C0 若 A0，B0，C0，则 A+B+C0 与 A+B+C0 不符，所以 A，B，C 中至少有一个大于零 例 14 已知 a0，b0，求证：分析与证明 对要求证的不等式两边分别因式分解有 由不等式的性质知道，只须证明 因为 a0，b0，所以 又因为 所以原不等式成立 例 15 四边形四条边长分别为 a，b，c，d，它们满足等式 a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状 解 由已知可得 a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以 (a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0 因为 a，b，c，d 都是实数，所以 (a2-b2)20，(c2-d2)20，(ab-cd)20，所以 由于 a，b，c，d 都为正数，所以，解，有 a=b=c=d 故此四边形为菱形 练 习 八 1求 x，y 的值：4若实数 x，y，z 满足条件 5已知 a，b，c，x，y，z 都是非零实数，且 a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6若方程 k(x2-4)+ax-1=0 对一切实数 k 都有实数根，求 a 的取值范围