连续时间系统的复频域分析教学

第四章 连续时间系统的复频域分析本章重点 1、Laplace变换的定义和基本性质；变换的定义和基本性质；2、Laplace变换应用于线性系统分析；变换应用于线性系统分析；3、系统函数系统函数H（S）的概念；）的概念；4、H（S）的零极点与频率特性以及系统的）的零极点与频率特性以及系统的稳定性之关系。稳定性之关系。ourier变换的局限性。变换的局限性。Laplace变换的特点：变换的特点：1、变换简单且容易计算；变换简单且容易计算；2、可应用复频率的概念具有更普遍的意义；可应用复频率的概念具有更普遍的意义；3、可处理的信号范围更广；可处理的信号范围更广；4 4、在微分方程的求解中变微分运算为代数、在微分方程的求解中变微分运算为代数运算；运算；5 5、自动引入初始条件，直接求出全解。、自动引入初始条件，直接求出全解。4-1 Laplace变换 一、一、从从ourier变换到变换到aplace变换：变换：ourier变换对：变换对：deF21tfdtetfFtjtj 对某些增长信号引入收敛因子对某些增长信号引入收敛因子为正实数 te dtetfsFjsdte etf Fsttjt1令则有：则有：jjsttj1tdsesFj21tfjj:s:jdsdjsdeF21etf 1、双边、双边aplase变换变换(double-sided Laplase transform)Laplase变换对：变换对：jjststdsesFj21tfdte)t(f)s(F象函数原函数 2、单边、单边aplase变换变换(single-sided Laplase transform)jjst0stdsesFj21tfdte)t(f)s(F注意：不特别强调讨论的都是单边拉氏变注意：不特别强调讨论的都是单边拉氏变换。换。单边拉氏变换下限为单边拉氏变换下限为。这样考虑到。这样考虑到时刻可能发生冲激。时刻可能发生冲激。二、二、aplase变换的收敛域：（变换的收敛域：（the region of convergence for Laplase transform）1、单边拉氏变换的收敛域：单边拉氏变换的收敛域：记作：记作：f(t)=F(s)F(s)=f(t)-1)s(F)t(f)(0e)t(flim0tt：收敛坐标：收敛坐标满足上式的函数称为指数阶函数。满足上式的函数称为指数阶函数。2、双边拉氏变换的收敛域：双边拉氏变换的收敛域：)(0e)t(flim)(0e)t(flim2tt1tt特别注意：双边拉氏变换要和收敛域一特别注意：双边拉氏变换要和收敛域一起，才能和原函数一一对应。起，才能和原函数一一对应。例：收敛域的特点：收敛域的特点：1）收敛域为条状，平行于收敛域为条状，平行于轴；轴；2）收敛域不包含拉氏变换有理式的极点；收敛域不包含拉氏变换有理式的极点；3）f(t)为右边函数收敛域在为右边函数收敛域在的右边；的右边；4）f(t)为左边函数收敛域在为左边函数收敛域在的左边；的左边；5）f(t)为双边信号收敛域为条状。为双边信号收敛域为条状。三、常用信号的拉氏变换三、常用信号的拉氏变换 1、(t)2、U(t)3、e-at 4、cos(ot)5、sin(ot)6、te-ats1202ssas 12020s2)(1as15-3 拉氏变换基本性质拉氏变换基本性质)()(11sFtf1、线性性质：、线性性质：若若)()(22sFtf)()()()(22112211sFCsFCtfCtfC 其中：其中：C C1 1,C,C2 2为任意常数为任意常数则则例：例：)cos()(0ttftjtjee0021001121)(jsjssF e-atas 1202ss f(t)=sin(ot)tjtjeej0021001121)(jsjsjsF2020s dtetfsFts0)()(asFa a1 1f f(a at t)2、尺度变换性：、尺度变换性：若若f(t)F(s)，则，则 3、时移性：、时移性：若若f(t)U(t)F(s)，则，则0)()stesF0 00 0t t)U U(t tt tf f(t tsabeasF)(a a1 1b b)-f f(a at t)2()(tUetft例例1:)2()2(2tUeetsesesF221)(例例2:求图示信号的拉氏变换。求图示信号的拉氏变换。21s021stessts1102)()(ttUtf)()()(001ttUtttf)()()(02tUtttf例例3:求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。)(0)0()(1TttEtf )e e(1 1s sE E(s s)F Fs s1 1【解】【解】设设 )2()()()(111TtfTtftftf sTsTesFesFsFsF2111)()()()(sTesFsF11)()(1sTseeSEsF11)()()(tUtUE)1)(21 sTsTeesF)sF(sf(t)ets00 4、频移性：、频移性：若若f(t)F(s)，则，则解：解：)cos(0t 2020cos sstet202ss的的拉拉氏氏变变换换。求求例例)cos(0tet 证明：证明：dtef(t)estts00dtf(t)etss0)(0)sF(s020200)sin(st同同样样对对于于),sin(0tet20200)()sin(stet sin(ot)若若f(t)F(s)，则，则。求求)(,sin)()111sFtttf。求求）)(,sin)(2202sFdxxxtft例：例：6、时域积分性：、时域积分性：解：解：2020s11sin2st7、频域微分性：、频域微分性：若若f(t)F(s)，则，则dsdF(s)tft)()(nnndsF(s)dtft)()(8、频域积分性：、频域积分性：若若f(t)F(s)，则，则sdxxFtft)()(1ttsindxxs112sarctg1sarctgssF11)(2sF(s)dft0)(5、时域微分性：、时域微分性：若若f(t)F(s)，则，则)f(sF(s)(t)f0)(fsF(s)s(t)fmnmmnnn0)(101)(9、时域卷积定理：、时域卷积定理：若若 )()(11sFtf)()(22sFtf)()()(*)(2121sFsFtftf 则则10、频域卷积定理：、频域卷积定理：)()(11sFtf)()(22sFtf 则则)(*)(21)()(2121sFsFjtftf若若初值初值:f(t)|t=0+=f(0+)若若f(t)有初值，且有初值，且f(t)F(s)，则，则)(lim)0(00BAsFsfs)(lim)0(ssFfs)0()(lim)0(fssFsfs)0()(lim)0()(101)(mnmmnnsnfssFssf 12、终值定理：、终值定理：终值终值:f(t)|t=f()若若f(t)有终值，且有终值，且f(t)F(s)，则，则)(lim)(0ssFfs11、初值定理：、初值定理：注意：终值存在的条件：注意：终值存在的条件：F(s)在在s右半平面和右半平面和j 轴上无极点。轴上无极点。当当f(t)含有冲激含有冲激Ao(t)、Bo(t)等时，有等时，有jS平面极点分布与时域波形对照图平面极点分布与时域波形对照图5-4 02100tdseF(s)jttftsjj（1 1）查表法）查表法（2 2）利用常用信号拉氏变换与基本性质）利用常用信号拉氏变换与基本性质（3 3）部分分式法）部分分式法 (亥维赛德展开定理亥维赛德展开定理)（4 4）留数法）留数法回线积分法回线积分法（5 5）数值计算方法）数值计算方法计算机计算机方法：方法：例例1:？，求求已已知知)()1()(2tfsesFs)()1()(0ntUtfnn例例2:)2()2()1()1(2)()(tUttUtttUtf？，求求已已知知)()1(1)(tfessFs利用拉氏变换性质和常用信号变换，有利用拉氏变换性质和常用信号变换，有解：解：2)1()(sesFs)21(122ssees解：解：)1(1)(sessF)1(1432sssseeees)4()3()2()1()()(tUtUtUtUtUtf例例3:？，求求已已知知)(6116332)(232tfssssssF解：解：)3)(2)(1(3322 ssssssF 321321 sksksksF362511)(ssssF)(65)(32tUeeetfttt利用因式分解，有利用因式分解，有部分分式展开部分分式展开待定系数待定系数)()1(lim11sFsks)3)(2)(1()332)(1(lim21sssssss1)()2(lim22sFsks)3)(2)(1()332)(2(lim22sssssss5)()3(lim33sFsks)3)(2)(1()332)(3(lim23sssssss6例例4：ssesFssse2122)(52 4)1(14)1(122sss)(2sin212cos)()(111tUtetesFLtftt)(2sin2cos221tUttet sesFLtf211)()()2()2(2sin)2(2cos221)2(tUttet？，求求已已知知)(52)(22tfsssesFs4)1()(21sssF练习练习:已知信号的拉氏变换，求对应的信号已知信号的拉氏变换，求对应的信号f(t).sssssF234)(.12312354)(.2222sssssF222)(.323ssssF21)3(1)(.1sssFsssssF234)(.22320)32()(22teetftt0)91391()(331teettftt2354)(.3223sssssF)()2()()(23tUeettftt0)4cos(2)(4ttetft222)(.424ssssF)22)(1)(1(42)(.522235sssssssssF0)4cos(2)2cos(2)(5ttetetftt一、电路元件的复频域模型一、电路元件的复频域模型1、电阻元件、电阻元件u(t)=Ri(t)u(t)=Ri(t)U(s)=RI(s)U(s)=RI(s)2、电感元件、电感元件dttdiLtu)()(0)()i(sI(s)LsUs)i(LssUI(s)0)(S域欧姆定理域欧姆定理Ls：运算感抗：运算感抗算算子子感感纳纳:1Ls附附加加内内电电源源、:00s)i()Li(3、电容元件、电容元件dttduCti)()(0)()u(sU(s)CsIs)u(CssIU(s)0)(5、模拟单元、模拟单元2）比例器）比例器y(t)=Af(t)dttdfty)()(tdf)(F1(s)F2(s)Y(s)Y(s)Y(s)Y(s)F(s)F(s)F(s)1）加法器）加法器y(t)=f1(t)+f2(t)0(f3）微分器）微分器4）积分器）积分器二、二、s s域电路基本定律域电路基本定律1、基尔霍夫定律、基尔霍夫定律 KVL定律定律：0)(1tukmk0)(1tiknk KCL定律定律：0)(1sUkmk0)(1sIknk2、欧姆定律、欧姆定律1)()(sCsLRsIsU)()()(sZsIsUsCsLRsZ1)(其中：其中：（运算阻抗）（运算阻抗）)(1)(sZsY（运算导纳）（运算导纳）三、电路三、电路s s域分析域分析基本步骤：基本步骤：1）画画t=0-等效电路，求初始状态；等效电路，求初始状态；2）画画s s域等效模型；域等效模型；3）列列s s域电路方程（代数方程）；域电路方程（代数方程）；4）解解s s域方程，求出域方程，求出s s域响应；域响应；5）反变换求反变换求t域响应。域响应。应用举例：应用举例：例例 1：图示电路，开关动作前已进入稳态，试：图示电路，开关动作前已进入稳态，试求开关打开后电感支路电流。求开关打开后电感支路电流。AiL5.0)0(，VuC2)0(ssLisusILCL 5222)0()0()()5)(1(5.02sss解：解：t0，开关打开，根据，开关打开，根据s域电路，有域电路，有)5(8/1)1(8/3)(sssIL0)8183()(5tAeetittL 图示电路，图示电路，t0时时电路响应电路响应i1(t)和和 i2(t)。练习：练习：解：解：t0 i=0,1,n 则则 D(s)称为称为霍尔维茨多项式霍尔维茨多项式 系统稳定必要条件：系统稳定必要条件：H(s)H(s)中的中的D(s)D(s)应为应为霍尔维茨多项式。霍尔维茨多项式。（一、二阶系统充要条件）（一、二阶系统充要条件）35342)(23sssssH稳定条件：稳定条件：A 0、B0BAss21As13、罗斯（、罗斯（Routh）判断法）判断法：（1）D(s)应为霍尔维茨多项式应为霍尔维茨多项式（2）排列罗斯阵列）排列罗斯阵列（3）由罗斯准则判断）由罗斯准则判断D(s)=0根的分布根的分布（4）判断系统的稳定性。）判断系统的稳定性。35342)(23sssssH011n1nnnasasasa)s(D3212n5n3n1n1n4n2nnnbbb:saaa:saaa:s;aaaaab;aaaaab1n5nn4n1n21n3nn2n1n1罗斯阵列;bababc;bababc11n35n1211n23n113213n3212n5n3n1n1n4n2nnnccc:sbbb:saaa:saaa:s03213n3212n5n3n1n1n4n2nnnsccc:sbbb:saaa:saaa:s1232)(234sssssD 罗斯阵列中首列元素同号时，故罗斯阵列中首列元素同号时，故D(s)=0的根全位于的根全位于s左半平面。左半平面。罗斯准则：罗斯准则：罗斯阵列中：罗斯阵列中：1）阵列中首列元素同号时，其根全位于）阵列中首列元素同号时，其根全位于s左半平面。左半平面。2）阵列中首列元素有变号时，则含有）阵列中首列元素有变号时，则含有s右半平面根，右半平面根，个数为变号次数。个数为变号次数。例例2：28122)()1234sssssD练习：练习：15243)()22345ssssssD234567)()32356ssssssD1422)(2345ssssssD 某行首列元素为零，其他元素不为零：某行首列元素为零，其他元素不为零：可用无穷小量可用无穷小量 代替代替0，继续阵列计算。，继续阵列计算。（无穷小量（无穷小量 可视为正数或负数）可视为正数或负数）故：故：D(s)=0含两个含两个s右半平面根右半平面根例例3：824)(23ssssD 某行元素全为零，可从上行找辅助多项式，某行元素全为零，可从上行找辅助多项式，求导，得系数，求导，得系数，继续阵列计算。继续阵列计算。故：故：D(s)=0无无s右半平面的根。但有一对共轭复根在右半平面的根。但有一对共轭复根在j 轴。轴。10)1(10)1()(23sksssssH故：欲使系统稳定，故：欲使系统稳定，k0。欲使系统稳定工作，求欲使系统稳定工作，求K的取值范围。的取值范围。例例4：欲使图示系统为一个稳定工作系统，求欲使图示系统为一个稳定工作系统，求k的取值范围。的取值范围。练习：练习：已知某系统函数为已知某系统函数为KsssKsH1011)(230K110习题习题6-19：图示为某放大器电路，图示为某放大器电路，1）求）求解：解：由由s域电路模型域电路模型，可列方程，可列方程0)()()()()2(4213sUssUsUsUs)()()(12sUsUsH)()()(12sUsUsH2）欲使该电路为一个稳定系统，求）欲使该电路为一个稳定系统，求k的取值范围；的取值范围；3）在临界稳定条件下电路的单位冲激响应）在临界稳定条件下电路的单位冲激响应h(t).0)()()1(34sUsUs)()(42sKUsU132KsssK欲使该电路为一个稳定系统，则欲使该电路为一个稳定系统，则k3.临界稳定条件临界稳定条件:K=313)(2ssH)(sin3)(ttUth