pohozaev流形方法的开题报告

1956诙注评空犬喙ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY硕士学位论文开题报告学 号 _ _2014210432_ _ _姓 名陈亚美院 系数理与信息科学学院专 业 基础数学研究方向非线性泛函分析导师姓名杨敏波 拟定学位论文题目奇异指数临界增长的非线性N-Laplace方程解的存在性浙 江 师 范 大 学 研 究 生 学 院 制 表2015 年 12 月 31 日与选题有关的国内外研究综述，选题的理论意义和实际意义研究的背景早在 1965 年，Pohozaev 讨论了 Dirichlet 问题 u + f (u)二 0,()U佔0,他发现了一个重要的恒等式(1.2)2nJ F (u)dx + (2 一 n)f uf (u)dx = J (x.v) Du 2 dsqqan这里的Q是Rn中的C 1,0区域，函数f (u)连续，u e C2(Q)nC1(Q)是半线性椭圆方程(1.1)的解，F(u) = f uf (t)dt,v = v(t)为点在x eaQ上的单位外法线向量。他利用恒等式(1.2)得到:0若Q是Rn中的有界星形区域，且函数f (u)在R上满足(n-2)uf (u)-2nF(u) 0 (其中u丰0 ), 则问题(1.1)没有非平凡解。后来人们把这个恒等式取名为Pohozaev恒等式。近几年来，许多研究者研究了N-Laplace方程解的存在性Brezis、Nirenberg、Bartsh、 Willem和Capozzi做了不少创建性的工作，证明了非线性椭圆方程解的存在性和多样性.国内外的不少作者研究了如下方程-A u = f (x, u)in Q| u e W i,p (Q)l 0其中 Qe Rn 是一个有界光滑区域 A (u) = div I Vu b-1 Vu, p = 2,1 f (x,u) l c(l u I +1 u b-1),p2 N1 q 3.N - 2Alama、Li、Ding和Ning考虑当Q = Rn,p二2时，半线性的薛定谔方程|-Au + V(x)u = f (x, u)in RnI u e Wi,n (Rn )J 02 N其中 I f (x,u) I c(I u I +1 u Iq-1), 1 q 3.2在研究上述两个问题的时候，我们用到了 Sobolev嵌入定理、临界点定理和山路引理。Adimurthi、Yadava 和 Ruf et al.研究了当 p = N,I u ITf (x,u) TeauN-i 时的情况。研 究成果借助于Turding - Moser不等式和临界点定理。Yunyan Yang也在他的论文中介绍了拟线性方程-A u + V(x)I u In-2 = f (x, u), x e Rn (N 2).NI x IP假设下列条件成立:(V1)(V2)V(x) V 0, in Rn V 0，且 V(x)是一个连续函数. 0 0当 | x It 8 时，V (x) t.(H1)存在常量a 0,冬b2 0使得对于所有的(x，s) G Rn x R +,l f (x, u) l 0有0 卩F(x, s)三“ f (x, t)dt 0使得对于所有的x G Rn和s R有F(x,s) M，由此可得，方程有两个不同的解。5s t+80Sarika、Goyal和K.Sreenadh研究的是具有非奇异指数阶的拟线性N-Laplace方程-A u + V(x) I u In-2 u - 1 eiu爲 +Xh(x)uq, in Rn NI x IPu 0,u G W1,N (Rn )?Nehari 流形:假设9 G 0(X,Rn)，且申(0) - 0.u g X是申的临界点的一个必要条件是(u),u： = 0,这个条件定义了一个Nehari流形N := u g X :和(u),U - 0,u 丰 0.Euler函数J少)J (u) - f (l Vu In +V (x) l u In )dx - Jdx - J hl u lq+1dx入 Nl x lPq +1RnRnRn首先找出方程的Nehari流形，定义Euler函数，讨论关于函数的一些引理，结合(PS)条件,山路引理和Sobolev嵌入定理确定合适的九，使得九g (0,九)，方程至少存在两个正解。 0 0研究的意义:方程在当今科学研究领域中扮演着重要的角色.近年来，很多源于物理学,工程学等科学 领域,具有实际应用背景的微分方程边值问题引起了人们的极大兴趣众多作者综合运用变分 法，山路引理，临界点理论等多种方法分析研究方程解的存在性与多重性方程在物理、化学、 生物、金融数学等不同的学科领域已得到广泛的应用。具N-Laplace算子的微分方程边值问题 也早已运用到工程、物理学等领域，随着分数阶微分方程在实际生产和生活中的不断应用， 关于分数阶微分方程边值问题理论的研究已引起了国内外学者的广泛关注并逐渐成为研究热 点。椭圆型偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用很广泛，许多重要的物理,力学学 科的基本方程本身就是偏微分方程，许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述.因 此，求解偏微分方程就变得很重要.N-Laplace方程在晶体错位、守恒律、金融、火焰传播、 极小平面、多元散射、材料学、最优化等方面都有广泛应用，近几年来得到了广泛关注。我主要做的是N-Laplace算子的分数阶非奇异方程解的存在性，涉及正解的存在性、唯 一性、多解性及不存在正解等情况，做一些讨论。主要是用流行的方法去讨论解的存在性和 多解性的研究是具有非常重要的意义，变分法思想的产生对方程解的存在性起着着重的意义, 由研究方程本身到研究方程所对应的能量泛函的临界点的问题，从而我们研究解的存在性问 题变得更加简便。研究内容、所要解决的主要问题及研究途径与方法(预期思路或技术路线)研究内容我接下来要做的是用Pohozaev manifold的方法去研究下列N-Laplace方程解的存在性-A u + V(x) |u|N-2 u 二uup 1euq, in Rnu 0,u e Wi,n (Rn )在这里 A 辭二 div (| Vu|N -2 Vu), V : Rn t R 是一个连续函数 N 2,0 q N 1 0,h 0 in Rn，用Pohozaev manifold的方法，证明存在九使得九e (0,九)，方程0 0的解存在。所要解决的主要问题方程乘上x和Vu，计算证明出Pohozaev恒定式，并找到方程P(九)所对应的Pohozaevmanifold，研究流形具有的性质，把流形和引理结合起来。研究途径与方法首先证明Pohozaev恒定式，然后找到方程P(九)所对应的Pohozaev manifold，引入Euler函数J (u)九J (u) = 一 f (| Vu |n +V(x) |u |n)dx一 Jdx一 J hlu |q+1dx入 N| x |P q +1RnRnRn证明一些引理来说明PS序列的存在，进而讨论函数的各种性质，结合山路引理、临界点定理 找到J (u)的最小值，确定合适的九使得九e (0,九)，方程的解存在。九00研究步骤：先收集资料，然后阅读大量相关文献并体会其中的思想方法，找出其内在规律 联系，并期望对上述问题的研究能有所进展；最后，我将进一步收集与上述问题相关的论文 资料，查询已有的文献资料，关注国内外有关研究的最新进展，在导师的指导下开展上述三 方面的研究，争取早日完成硕士论文主要参考资料:1 Adimurthi, Existence of positive solutions of the semilinear Dirichlet problem with critical growth for the n-Laplacian, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 17 (1990) 393-413.2 Adimurthi and K. Sandeep, A singular Moser-Trudinger embedding and its applications, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 13 (2007) 585-603.3 Adimurthi and Y. Yang, An interpolation of Hardy inequality and Trudinger -Moser inequality in RN and its applications, Int. Math. Res. Notices 13 (2010) 23942426.4 Alves, C., Miyagaki, O., doo, J.M.: Nonlinear perturbations of a periodic elliptic problems inR2 involving critical growth. Nonl. Anal. 56, 781-791 (2004)5 LilianeA.Maia Positive solutions of a symptotically linear equations via Pohozaev manifold.RaquelLehrera.6 A.Ambrosetti, GCerami, D.Ruiz, Solutions of linearly coupled systems of semilinear non-autonomous equations on R N, J.Funct.Anal.254 (2008)28162845.7 M.Willem, Minimax Theorems, vol.24, Birkhaser, Boston, 1996.8 Yunyan Yang, Existence of positive solutions to quasi-linear elliptic equations with exponential growth in the whole Euclidean space, 2011.9 M. Struwe, Criticals points of embeddings of H1, into Orlicz spaces, Ann. Inst.Henri Poincare 5(5)(1988) 425-464.10 G. Tarantello, On nonhomogeneous elliptic equations involving critical Sobolev exponent,Ann. Inst. H. Poincare Anal. Nonli(i1992a 28-304.11 J. L. Vazquez, A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equationsAppl.Math.Optim. 12 (1984) 191202.1450011-22Commun. Contemp12 T. F. Wu, On semilinear elliptic equations involving concave-convex nonlinearities and sign-changing weight function, J. Math. Anal. Appl. 318 (2006) 253-270.13 A semilinear elliptic problem involving nonlinear boundary condition and sign-changing potential, Electron. J. Differential Equations 131 (2006) 115.14 Multiplicity results for a semilinear elliptic equation involving sign-changing weight function, Rocky Mountain J. Math. 39(3) (2009) 9951011.15 Multiple positive solutions for a class of concave-convex elliptic problems in R Ninvolving sign-changing weight, J. Funct. Anal. 258(1) (2010) 99-131.16 Y. Yang, Existence of positive solutions to quasi-linear elliptic equations with exponential growth in the whole Euclidean space, J. Funct. Anal. 262 (2012) 16791704.17 J. Giacomoni and K. Sreenadh, A multiplicity result to a nonhomogeneous elliptic equation in whole space R2, Adv. Math. Sci. Appl. 15(2) (2005) 467488.18 N. Lam and G. Lu, Existence and multiplicity of solutions to equations of N-Laplacian type with critical exponential growth in RN, J. Funct. Anal. 262 (2012)11321165.19 J. Marcus do O , Semilinear Dirichlet problems for the N-Laplacian in RN with nonlinearities in critical growth range, Differential Integral Equations 9 (1996) 967979.研究进度及具体时间安排起止日期主要研究内容预期结果2015.012015.02证明Pohozaev恒等式得到相应等式2015.022015.03研究Euler函数的性质得到相应定理2015.03-2015.04结合引理、定理研究方程解的存在性得到相应结果2015.04-2015.05整理论文及相关材料完成论文协助导师具体指导的人员配备情况及现有条件在导师的指导帮助下，独立探索研究，相关文献及资料相对较为齐全。课题经费预算由于查阅资料、修改毕业论文及打印毕业论文等各项经费所需，拟需课题经费1000元整专家对开题报告的评议1、对选题依据、预期思路或技术路线的科学性、可行性、先进性及创新性的评价2、存在的主要问题和改进措施3、口同意 建议修改或补充 不同意 开题报告专家组长签名：年 月曰参加学位论文开题报告的专家名单姓名职称学科、专业单位