误差理论与测量不确定性

第第2章章 误差理论与测量不确定性误差理论与测量不确定性 2.1 误误 差差2.2 误差的分类误差的分类2.3 随机误差分析随机误差分析2.4 系统误差分析系统误差分析 2.1 误误 差差 一、误差 1真值A0 一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真值。要想得到真值，必须利用理想的量具或测量仪器进行无误差的测量。由此可推断，物理量的真值实际上是无法测得的。2指定值As 由于绝对真值是不可知的，所以一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准(或基准)，以法令的形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。3实际值A 实际测量中，不可能都直接与国家基准相比对，所以国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网，把国家基准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去。在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫作相对真值。4.标称值 测量器具上标定的数值称为标称值。由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影响，标称值并不一定等于 它的真值或实际值。5示值 由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称测量器具的测得值或测量值，它包括数值和单位。一般地说，示值与测量仪表的读数有区别，读数是仪器刻度盘上直接读到的数字。6测量误差 在实际测量中，由于测量器具不准确，测量手段不完善，环境影响，测量操作不熟练及工作疏忽等因素，都会导致测量结果与破测量真值不同。测量仪器仪表的测下导值与破测量真值之间的差异，称为测量误差。7单次测量和多次测量 单次(一次)测量是用测量仪器对待测量进行一次测量的过程。多次测量是用测量仪器对同一被测量进行多次重复测量的过程。依靠多次测量可以观察测量结果一致性的好坏即精密度。8等精度测量和非等精度测量 在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称作等精度测量。这里所说的测量条件包括所有对测量结果产生影响的客观和主观因素如测量中使用的仪器、方法、测量环境，操作者的操作步骤和细心程度等。二、误差的表示方法 1绝对误差 绝对误差定义为 0Axx(2.1-1)式中x为绝对误差，x为测得值，A0为被测量真值。前面已提到，真值A0一般无法得到，所以用实际值A代替A0，因而绝对误差更有实际意义的定义是Axx(2.1-2)对于绝对误差，应注意下面几个特点：绝对误差是有单位的量，其单位与测得值和实际值相同。绝对误差是有符号的量，其符号表示出测量值与实际值的大小关系，若测得值较实际值大，则绝对误差为正值，反之为负值。测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现。对于信号源、稳压电源等供给量仪器，绝对误差定义为Axx(2.1-3)式中A为实际值，x为供给量的指示值(标称值).如果没有特殊说明，本书涉及的绝对误差，按式(2.12)定义计算。与绝对误差绝对值相等但符号相反的值称为修正值，一般用符号c表示xAxc(2.1-4)测量仪器的修正值，可通过检定，由上一级标准给出，它可以是表格、曲线或函数表达式等形式。利用修正值和仪器示值，可得到被测量的实际值cxA(2.1-5)例如由某电流表测得的电流示值为0.83 mA，查该电流表检定证书，得知该电流表在及其附近的修正值部为一，那么被测电流的实际值为AA81.0)02.0(83.0 智能仪器的优点之一就是可利用内部的微处理器，存贮和处理修正值，直接给出经过修正的实际值。2相对误差 相对误差用来说明测量精度的高低，又可分为：(1)实际相对误差 实际相对误差定义为%100AxA(2.1-6)(2)示值相对误差 示值相对误差也叫标称相对误差，定义为%100 xxx(2.1-7)如果测量误差不大，可用示值相对误差 代替实际误差 ，但若 和 相差较大，两者 应加以区别。(3)满度相对误差 满度相对误差定义为仪器量程内最大绝对误差 与测量仪器满度值(量程上限值)的百分比值 xAxAmxmx%100mmmxx(2.1-8)满度相对误差也叫作满度误差和引用误差。由式(2，l8)可以看出，通过满度误差实际上给出了仪表各量程内绝对误差的最大值mmmxx(2.1-9)例 某电压表s，试算出它在0V100V量程中的最大绝对误差。解：在0Vl00V量程内上限值xm100V，由式(2，l9)，得到Vxxmmm5.11001005.1 一般讲，测量仪器在同量程不同示值处的绝对误差实际上未必处处相等，但对使用者来讲，在没有修正值可资利用的情况下，只能按最坏情况处理，即认为仪器在同一量程各处的绝对误差是个常数且等于xm，人们把这种处理叫作误差的整量化。由式(2.l7)和(2，19)可以看出，为了减小测量中的示值误差，在进行量程选择时应尽可能使示值能接近满度值，一般以示值不小于满度值的23为宜。(4)分贝误差 在电子测量中还常用到分贝误差。分贝误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝(dB).分贝误差广泛用于增益(衰减)量的测量中。下面以电压增益测量为例，引出分贝误差的表示形式。设双口网络(比如放大器，或衰减器)输入、输出电压的测得值分别为Ui和Uo，则电压增益Au，的测得值为 iouUUA(2.1-10)用对数表示为)(lg20dBAGux(2.1-11)Gx称为增益测得值的分贝值。2.2 误差的分类误差的分类 一、系统误差 在多次等精度测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差称为系统误差，简称系差。如果系差的大小、符号不变而保持恒定，则称为恒定系差，否则称为变值系差。变值系差又可分为累进性系差、周期性系差和按复杂规律变化的系差。图22l描述了几种不同系差的变化规律：直线a表示恒定系差；直线b属变值系差中累进性系差，这里表示系差递增的情况，也有递减系差；曲线c表示周期性系差，在整个测量过程中，系差值成周期性变化；曲线d属于按复杂规律变化的系差。图2.21 系统误差的特征0 归纳起来，产生系统误差的主要原因有：测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程中零点漂移，安放位置不当等.测量时的环境条件如温度、湿度及电源电压等与仪器使用要求不一致等。采用近似的测量方法或近似的计算公式等。测量人员估计读数时习惯偏于某“方向等原因所引起的误差。系统误差体现了测量的正确度，系统误差小，表明测量的正确度高。二、随机误差 随机误差又称偶然误差，是指对同一量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号均以不可预定的方式无规则变化的误差。就单次测量而言，随机误差没有规律，其大小和方向完全不可预定，但当测量次数足够多时，其总体服从统计学规律，多数情况下接近正态分布(见24)。随机误差的特点是，在多次测量中误差绝对值的波动有一定的界性，即具有有界性；当 测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相同，即具有对称性；同时随机误差的算术十均值趋于零，即具有抵偿性。由于随机误差的上述特点，可以通过对多次测量取平均值的办法，来减小随机误差对测量结果的影响，或者用其他数理统计的办法对随机误差加以处理。表22l是对某电阻进行15次等精度测量的结果。表中Ri为第i次测得值，R为测得值的算术平均值，定义为残差，由于电阻的真值R无法测得，我们用R 代替R，用 ui表示随机误差的性质。为了更直观地考察测量值的分布规律，用图222表示测量结果的分布情况，图中小黑点代表各次测量值。RRii表2.2l 由表2.2l和图2.22可以看出以下几点：正误差出现了7次，负误差出现了6次，两者基本相等，正负误差出现的概率基本相等，反映了随机误差的对称性.误差的绝对值介于(0，01)、(01，02)、(02，03)、(03，04)、(04，05)区间，大于0，5的个数分别为63、2、1、2个和1个，反映了绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的随机误差出现的概率小.图2.22 电阻测量值的随机误差R 3 ui0，正负误差之和为零，反映了随机误差的抵偿性。所有随机误差的绝对值都没有超过某一界限，反映了随机误差的有界性。这虽然仅是一个例子，但也基本反映出随机误差的一般特性。产生随机误差的主要原因包括：测量仪器元器件产生噪声，零部件配合的不稳定、摩擦、接触不良等。温度及电源电压的无规则波动，电磁干扰，地基振动等。测量人员感觉器官的无规则变化而造成的读数不稳定等。随机误差体现了多次测量的精密度，随机误差小，则精密度高。三、粗大误差 在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，也称为疏失误差，简称粗差。确认含有粗差的测得值称为坏值，应当剔除不用，因为坏值不能反映被测量的真实数值。产生粗差的主要原因包括：测量方法不当或错误。例如用普通万用表电压档直接测量高内阻电源的开路电压，用普通万用表交流电压档测量高频交流信号的幅值等.测量操作疏忽和失误。例如未按规程操作，读错读数或单位，或记录及计算错误等.测量条件的突然变化。例如电源电压突然增高或降低，雷电干扰，机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。这类变化虽然也带有随机性，但由于它造成的示值明显偏离实际值，因此将其列入粗差范畴。需指出，除粗差较易判断和处理外，在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，需根据各自对测量结果的影响程度，作不同的具体处理：系统误差远大于随机误差的影响，此时可基本上按纯粹系差处理，而忽略随机误差。系差极小或已得到修正，此时基本上可按纯粹随机误差处理.系差和随机误差相差不远，二者均不可忽略，此时应分别按不同的办法来处理，然后估计其最终的综合影响.2.3 随机误差分析随机误差分析 多次等精度测量时产生的随机误差及测量值服从统计学规律。本节从工程应用角度，利用概率统计的一些基本结论，研究随机误差的表征及对含有随机误差的测量数据的处理方法。一、测量值的数学期望和标准差 1数学期望 设对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测得值nxxxx,321由于随机误差的存在，这些测得值也是随机变量。定义n个测得值(随机变量)的算术平均值为niixnx11(2.3-1)式中x也称作样本平均值。当测量次数 时，样本平均值；的极限定义为测得值的数学期望n(2.3-2)式中x。也称作总体平均值。)1(lim1niinxxnE 假设上面的测得值中不含系统误差和粗大误差，则第i次测量得到的测得值xi与真值义(前已叙述，由于真值Ao一般无法得知，通常即以实际值A代替)间的绝对误差就等于 随机误差Axxiii(2.3-3)式中 分别表示绝对误差和随机误差。iix、随机误差的算术平均值：AxnAnxnAxnnniininiiniinii11111111)(11 当 时，上式中第-项即为测得值的数学期望Ex，所以n)(nAEx 由于随机误差的抵偿性，当测量次数n趋于无限大时，趋于零：0)1(lim1niinn(2.35)(2.34)即随机误差的数学期望等于零。由式(23-4)和(23-5)，得AEx(2.36)即测得值的数学期望等于被测量真值A.实际上不可能做到无限多次的测量，对于有限次测量，当测量次数足够多时近似认为AFxnxnii011(2.37)(2.38)由上述分析我们得出，在实际测量工作中，当基本消除系统误差又剔除粗大误差后，虽然仍有随机误差存在，但多次测得值的算术平均值很接近被测量真值，因此就将它作为最后测量结果，并称之为被测量的最佳估值或最可信赖值。2剩余误差 当进行有限次测量时，各次测得值与算术平均值之差，定义为剩余误差或残差：xxii对上式两边分别求和，有011111niiniiniiniixnnxxnx(2.310)3方差与标准差 随机误差反映了实际测量的精密度即测量值的分散程度。由于随机误差的抵偿性，因此不能用它的算术平均值来估计测量的精密度，而应使用方差进行描述。方差定义为 ，时测量值与期望值之差的平方的统计平均值，即n212)(1limxniinExn(2.3-11)因为随机误差 ，故 niinn1221lim(2.3-12)xiiEx 由于实际测量中 都带有单位(mV，uA等)，因而方差 是相应单位的平方，使用不甚方便。为了与随机误差 单位一致，将式(2412)两边开方，取正平方根，得ii2niinn121lim(2.3-13)二、随机误差的正态分布 1正态分布 当进行大量等精度测量时，随机误差服从统计规律。理论和测量实践都证明，测得值 与随机误差 都按一定的概率出现。在大多数情况下，测得值在其期望值上出现的概率最大，随着对期望值偏离的增大，出现的概率急剧减小。测得值和随机误差的这种统计分布规律，称为正态分布。iix 图2.31 的正态分布曲线 ix 图2.32 的正态分布曲线i 由图23-2可以看到如下特征：愈小，愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概率大；相反，绝对值大的随机误差出现的概率小，随着 的加大，很快趋于零，即超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现(随机误差的有性).大小相等符号相反的误差出现的概率相等(随机误差的对称性和抵偿性)。)()(愈小，正态分布曲线愈尖锐，表明测得值愈集中，精密度高，反之。愈大，曲线愈平坦，表明测得值分散，精密度低。正态分布又称高斯分布，在误差理论中占有重要的地位。由众多相互独立的因素的随机微小变化所造成的随机误差，大多遵从正态分布，例如信号源的输出幅度、输出频率等，都具有这一特性。2均匀分布 在测量实践中，还有其他形式的概率密度分布形式，其中均匀分布是仅次于正态分布的一种重要分布，如图所示。均匀分布的特点是，在误差范围内，误差出现的概率各处相同。在电子测量中常见有下列几种情况：图2.3-3 均匀分布的概率密度 仪表度盘刻度误差。由于仪表分辨力决定的某一范围内，所有的测量值可以认为是一个值。例如用500V量程交流电压表测得值是220V，实际上由于分辨不清，实际值可能是219V一221 V之间的任何一个 值，在该范围内可认为有相同的误差概率。数字显示仪表的最低位l(或几个字”的误差。例如末位显示为5，实际值可能是46间任一值，也认为在此范围内具有相同的误差概率。数字式电压表或数字式频率计中都有这种现象。由于舍入引起的误差。去掉的或进位的低位数字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是5或4或3或2或土，被进位的可以认为是5、6、7、8、9中任何一个。在图23-3所示的均匀分布中，概率密度axbxbxaabx,0,1)(23-19)可以证明，对式(23-19)所示的均匀分布，有数学期望12)(222abbaEx(2.3-20)(2.3-21)方差标准差12/)(ab(2.3-22)限于篇幅，本书下面仅讨论正态分布。三、有限次测量下测量结果的表达 由于实际上只可能做到有限次等精度测量，因而我们分别用式(2，4-32)和(24 33)来计算测得值的标准差和算术平均值的标准差，如前所叙，实际上是两种标准差的最 佳估值。由式(24-33)可以看到，算术平均值的标准差随测量次数n的增大而减小，但 减小速度要比n的增长慢得多，即仅靠单纯增加测量次数来减小标准差收益不大，因而实 际测量中n的取值并不很大，一般在土0到20之间。对于精密测量，常需进行多次等精度测量，在基本消除系统误差并从测量结果中剔除坏值后，测量结果的处理可按下述步骤进行：列出测量数据表；计算算术平均值 ，残差 及 ；按式(2432)、(2433)计算 和 ；给出最终测量结果表达式：xix2ixxx32.4 系统误差分析系统误差分析 一、系统误差的特性 排除粗差后，测量误差等于随机误差 和系统误差 的代数和 iiAxxiiii(2.4-1)二、系统误差的判断 实际测量中产生系统误差的原因多种多样，系统误差的表现形式也不尽相同，但仍有一些办法可用来发现和判断系统误差。1理论分析法 凡属由于测量方法或测量原理引入的系差，不难通过对测量方法的定性定量分析发现系差，甚至计算出系差的大小。2校准和比对法 当怀疑测量结果可能会有系差时，可用准确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系差。测量仪器定期进行校准或检定并在检定证书中给出修正值，目的就是发现和减小使用被检仪器进行测量时的系统误差。也可以采用多台同型号仪器进行比对，观察比对结果以发现系差，但这种方法通常不能查觉和衡量理论误差。3，改变测量条件法 系差常与测量条件有关，如果能改变测量条件，比如更换测量人员、测量环境、测量方法等，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系差。4剩余误差观察法 剩余误差观察法是根据测量数据数列各个剩余误差的大小、符号的变化规律，以判断有无系差及系差类型。为了直观，通常将剩余误差制成曲线，如图241，其中图(a)表示剩余误差 大体上正负相同，无明显变化规律，可以认为不存在系差；图(b)呈现线性递增规律，可认为 存在累进性系差；图(c)中 大小和符号大体呈现周期性，可认为存在周期性系差；图(d)变化规律复杂，大体上可认为同时存在线性递增的累进性系统误差和周期性系统误差。剩余误差法主要用来发现变值系统误差。ii图2.41 系统误差的判断 5公式判断法 通常有马林科夫判据和阿卑赫梅特判据，可分别用采判定有无累进性系差和周期性系差。三、消除系统误差产生的根源 产生系统误差的原因很多，如果能找出并消除产生系差的根源或采取措施防止其影响，那将是解决问题最根本的办法。选用的仪器仪表类型正确，准确度满足测量要求，如要测量工作于高频段的电感电容，应选用高频参数测试仪(如LCCGl高频LC测量仪)，而测量工作于低频段的电感电容就 应选用低频参数测试仪(如WQ5电桥、QSl8A万能电桥)。测量仪器应定期检定、校准，测量前要正确调节零点，应按操作规程正确使用仪器。尤其对于精密测量，测量环境的影响不能忽视，必要时应采取稳压恒温、电磁屏蔽等措施。条件许可时，可尽量采用数字显示仪器代替指针式仪器，以减小由于刻度不准及分辨力不高等因素带来的系统误差。提高测量人员的学识水平、操作技能，去除一些不良习惯，尽量消除带来系统误差的主观原因。四、消弱系统误差的典型测量技术 1零示法 零示法是在测量中，把待测量与已知标准量相比较，当二者的效应互相抵消时，零示器示值为零，此时已知标准量的数值就是被测量的数值。图2.42 零示法原理图 2替代法 替代法又称置换法。它是在测量条件不变的情况下，用一标准已知量去替代待测量，通过调整标准量而使仪器的示值不变，于是标准量的值即等于被测量值。由于替代前后整个测量系统及仪器示值均未改变，因此测量中的恒定系差对测量结果不产生影响，测量准确度主要取决于标准已知量的准确度及指示器灵敏度。图是替代法在精密电阻电桥中的应用实例。首先接入未知电阻Rx，调节电桥使之平衡，此时有231/RRRRx(2.4-5)由于 都有误差，若利用它们的标称值来计算Rx，则Rx也带有误差，即321RRR、)/()(223311RRRRRRRRxx(2.4-6)图2.4-4 替代法测量电阻进一步计算，得到223311RRRRRRRRxx(2.4-7)为了消除上述误差，现用可变标准电阻Rs代替，并在保持 不变的情形下通过调节Rs，使电桥重新平衡，因而得到 321RRR、)/()(223311RRRRRRRRss(2.4-8)比较式(24-6)、(24-8)，得到ssxxRRRR 可见测量误差Rs，仅决定于标准电阻的误差Rs，而与 的误差无关。321RRR、(2.4-9)3补偿法 补偿法相当于部分替代法或不完全替代法。这种方法常用在高频阻抗、电压、衰减量等测量中。下面以谐振法(如Q表)测电容为例说明这种测量方法。图24-5为测量原理图，其中u为高频信号源，L为电感，C0为分布电容，Cx为待测电容。调节信号源频率使电路谐振(此时电压表指示最大)，设谐振频率为f0，可以算出：02020041)(21CLfCCCLfxx或(2.4-10)由式(2410)，容易得到仅接入Cs1时有21020010)(21)(21ssxxssCCCCCCLfCCLf接入Cx后有 比较两式得到(2.4-13)(2.4-12)(2.4-11)图245 谐振法测电容图246 补偿法测电容 4.对照法 对照法又叫交换法。适于在对称的测量装置中用来检查其对称性是否良好，或从两次测量结果的处理中，消弱或消除系统误差。现以图24-7所示的等臂电桥为例说明这种方法。先按图247(a)的接法，调节标准电阻Rs，使电桥平衡，设此时标准电阻阻值为Rs1，因而 112sxRRRR(2.4-14)图247 对照法测电阻(a)(b)然后按图2.47(b)，交换 位置，调节Rs使电桥至平衡。设此时标准电阻阻值为Rs2，因而sxRR、212sxRRRR(2.4-15)如果 ，则由式(2414)和(2，415)得到sssRRR21RsRx和 (所以称为等臂电桥).21RR 如果 ，则 ，可由式(2414)、(2415)得到：21RR 21ssRR)(212121ssssxRRRRR(2.4-17)从而消除了 误差对测量结果的影响。21RR、5，微差法 微差法又叫虚零法或差值比较法，实质上是一种不彻底的零示法(见13及图1.32)。在零示法中须仔细调节标准量s使之与x相等，这通常很费时间，有时甚至不可能做到。微差法是允许标准量s与被测量x的效应不完全抵消，而是相差一微小量 测得，x-s，即可得到待测量x sx（）x的示值相对误差为xxsxxsxx（）由于 ，所以 ，又由于 ，所以sssxssxx（）6交叉读数法 交叉读数法是上述对照法的一种特殊形式。现以谐振频率测量为例，说明交叉读数法的具体应用。LC谐振电路谐振曲线如图248所示，由于在谐振点 附近曲线平坦，电压变化很小，很难判断真正的谐振状态，因而引入一定的方法误差：0ffx021UUQffx（）式中Q为电路品质因数，UU0主要由电压表分辨力不高造成。如果Q100，U U0 2，则得到示值误差：3101xff图2.48 交叉读数法 为了削弱该误差，改用交叉读数法，在谐振点两旁曲线斜率较大处(一般取 )，分别测出两个失谐频率f1和f2，则待测频率可用下式求出：2/0UU 221fffx(2.4-22)由此产生的理论误差为281Qffx(2.4-23)若Q值仍为100，可算得51025.1xff相对误差要比直接用谐振法测量小得多。