量子力学：02-波函数

1平面波与傅里叶变换（一）平面波与傅里叶变换（一）一、一维情况下的平面波一、一维情况下的平面波大学物理大学物理 振动与波振动与波一维平面波一维平面波 =Acos(xk-t)A振幅振幅，k波矢波矢，频率频率平面波用指数形式表示平面波用指数形式表示=Aexpi(xk-t)=Aexp(i xk)exp(-it)只考虑空间只考虑空间：=Aexp(i xk)只考虑时间只考虑时间：=Aexp(-it)2平面波与傅里叶变换（二）平面波与傅里叶变换（二）二、平面波的速度二、平面波的速度V平面波平面波 =Acos(xk-t)，(xk-t)相位相位平面波的速度平面波的速度V,指的是相速，即相位为常指的是相速，即相位为常数时对应的速度数时对应的速度(xk-t)=c,V=dx/dt=/k因因=2v,k=2/,所以所以，V=v对于平面波，频率对于平面波，频率v和波长和波长为常数为常数结论：平面波的速度为常数结论：平面波的速度为常数3平面波与傅里叶变换（三）平面波与傅里叶变换（三）三、三维情况下的平面波三、三维情况下的平面波一维情况下，平面波一维情况下，平面波 =Acos(xk-t)三维情况下三维情况下，x k平面波平面波因因 代表波传播的方向，故平面波的代表波传播的方向，故平面波的 必须为常量必须为常量。反过来，速度反过来，速度v和波矢和波矢 为常量的波必为为常量的波必为平面波平面波zyxezeyexrzzyyxxekekekk)(exptkrikkk4平面波与傅里叶变换（四）平面波与傅里叶变换（四）四、傅里叶变换四、傅里叶变换exp(i xk)是周期函数，函数是周期函数，函数f(x)可表示为可表示为 （1）其中其中，F(k)称为称为f(x)的傅里叶变换的傅里叶变换。因为因为=exp(i xk)代表平面波，故代表平面波，故(1)式可看式可看作将作将f(x)用平面波展开用平面波展开，F(k)为其展开系数为其展开系数dxexfkFikx)(21)(dkekFxfikx)(21)(5量子力学量子力学第二讲不确定度关系波函数及其统计诠释6第2讲目录一、一、不确定度关系不确定度关系（The uncertainty principle）二、二、量子力学讨论的对象：量子力学讨论的对象：波函数波函数 三三、自由粒子的波函数自由粒子的波函数四、四、一般粒子的波函数及其物理意义一般粒子的波函数及其物理意义五、五、波函数的统计诠释及其性质波函数的统计诠释及其性质六、六、动量分布概率动量分布概率七、七、再论不确定度关系再论不确定度关系7一、不确定度关系（一、不确定度关系（1 1）在经典力学中，宏观粒子在任何时刻都有完全在经典力学中，宏观粒子在任何时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。然而，对于确定的位置、动量、能量等。然而，对于微观粒微观粒子，其波动性远远大于宏观粒子子，其波动性远远大于宏观粒子，以致于它的某，以致于它的某些些成对的物理量成对的物理量（如位置坐标和动量、时间和能（如位置坐标和动量、时间和能量等）量等）不可能同时具有确定的量值不可能同时具有确定的量值。这就叫不确这就叫不确定度关系或测不准原理。定度关系或测不准原理。下面以电子下面以电子单缝衍射为单缝衍射为例讨论这个例讨论这个问题问题汤姆逊（汤姆逊（19271927）：）：电子圆孔衍射实验电子圆孔衍射实验多晶多晶 铝铝 箔箔8一、不确定度关系（一、不确定度关系（2 2）电子可在缝宽电子可在缝宽 范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不确定量就是缝宽确定量就是缝宽 ，电子在，电子在 x方向的动量不确定量方向的动量不确定量:xxsin,xppsinsin,dx由衍射公式:,hp又,xppxx入射电子束入射电子束狭缝狭缝照相底版照相底版P Pxxx ph sin/,x,xhppxxxxxxPp的偏差量和 的偏差量不能同时为零9严格的理论给出的严格的理论给出的不确定性关系不确定性关系为：为：首先由海森堡给出首先由海森堡给出(1927)(1927)海森堡不确定性关系海森堡不确定性关系 (海森堡测不准关系海森堡测不准关系)222zyxpzpypx它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量量。粒子位置的不确定量 越小，动量的不确定量越小，动量的不确定量 就越大，反之亦然。因此在某一时刻微观粒子的位置和动量就越大，反之亦然。因此在某一时刻微观粒子的位置和动量不可能同时完全确定。不可能同时完全确定。轨道轨道的概念已失去意义，经典力学规的概念已失去意义，经典力学规律也不再适用。律也不再适用。xx-微观粒子的微观粒子的“波粒二象性波粒二象性”的具体体现的具体体现 一、不确定度关系（一、不确定度关系（3 3）HeinsenbergHeinsenberg（1901-19761901-1976）10二、量子力学讨论的对象：波函数（二、量子力学讨论的对象：波函数（1 1）牛顿力学：质点（经典粒子）牛顿力学：质点（经典粒子）1、经典物理讨论对象：、经典物理讨论对象：dtpddttrdmtrF22)(),(讨论对象：质点的坐标、动量、能量等讨论对象：质点的坐标、动量、能量等vgmF11二、量子力学讨论的对象：波函数（二、量子力学讨论的对象：波函数（2 2）电动力学：电磁场（经典波动）电动力学：电磁场（经典波动）D0BmjtBEjtDH讨论对象：电磁场的波幅、波矢、能量等讨论对象：电磁场的波幅、波矢、能量等kMaxwell 方程组方程组12二、量子力学讨论的对象：波函数（二、量子力学讨论的对象：波函数（3 3）根据根据de Brogliede Broglie的的“波粒二象性波粒二象性”假设假设 ：一切：一切实物粒子具有波粒二象性，即具有确定动量实物粒子具有波粒二象性，即具有确定动量 和和确定确定能量能量E E 的实物粒子相当于频率为的实物粒子相当于频率为 和和波长为波长为 的波。满足的波。满足de Brogliede Broglie关系：关系：ph/hp 量子力学：引入一个物理量量子力学：引入一个物理量波函数：波函数：),(tr 波函数波函数 表征了粒子所具有的波粒二象性，完全表征了粒子所具有的波粒二象性，完全描述了微观体系的状态。描述了微观体系的状态。（量子力学基本假设之一）（量子力学基本假设之一）),(tr量子力学讨论的对象是什么？量子力学讨论的对象是什么？13三、自由粒子的波函数（三、自由粒子的波函数（1 1）平面波与傅里叶变换的回顾平面波与傅里叶变换的回顾只考虑一维空间情况下，平面波为：只考虑一维空间情况下，平面波为：)exp(ikxA任意函数任意函数 均可用均可用 展开：展开：)exp(ikx)(xfdxexfkFikx)(21)(dkekFxfikx)(21)(为为 的的FourierFourier变换变换)(kF)(xf特别地，若特别地，若 ，有，有21)(kF)(21)(xdkexfikx14三、自由粒子的波函数（三、自由粒子的波函数（2 2）自由粒子：自由粒子：指的是不受外力作用，静止或匀速运指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量动的质点。因此，其能量 和动量和动量 都是常量。都是常量。ph/ph/根据根据de Brogliede Broglie关系：可得与自由粒子对应的物质波关系：可得与自由粒子对应的物质波的频率和波长为：的频率和波长为：和和 波矢定义为：波矢定义为：所以看出自由粒子的频率和所以看出自由粒子的频率和波矢均为波矢均为常量。常量。/2k 改写改写de Brogliede Broglie关系为关系为kehp2/,2hh15三、自由粒子的波函数（三、自由粒子的波函数（3 3）和和 都为常量的波应该是平面波，可用以下都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述函数描述 或或k)cos(trkA)(exptrkiA代入代入de Brogliede Broglie关系得到：关系得到：)(expEtrpiAk即：自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能即：自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数。量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数。16三、自由粒子的波函数（三、自由粒子的波函数（4 4）总结：由于自由粒子的能量和动量为常量，根据总结：由于自由粒子的能量和动量为常量，根据de de BroglieBroglie关系，其对应物质波的角频率和波矢也为常量，关系，其对应物质波的角频率和波矢也为常量，根据经典波动理论，角频率和波矢为常量的波为平面波，根据经典波动理论，角频率和波矢为常量的波为平面波，即：自由粒子的波函数为平面波：即：自由粒子的波函数为平面波：)(expEtrpiA我和他怎么会我和他怎么会是双胞胎呢！是双胞胎呢！17四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（1 1）当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，因此波函数无法用平面波表示。用一般函数来表示因此波函数无法用平面波表示。用一般函数来表示),(tr问题是：该如何理解波函数所代表的问题是：该如何理解波函数所代表的物理意义物理意义呢？呢？经典物理：经典物理：质点动量的物理意义：质点动量的物理意义：电场强度的物理意义：电场强度的物理意义：dtpdFqEF18四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（2 2）波粒二象性波粒二象性一切实物粒子都具有波粒二象性！一切实物粒子都具有波粒二象性！如何理解一个实物粒子具有波动性？如何理解一个实物粒子具有波动性？历史上对粒子波动性的认识有两种历史上对粒子波动性的认识有两种误解误解：(1)(1)波包说：认为粒子波就是粒子的某种实际结构，波包说：认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。构。(2)(2)群体说：认为体现粒子波动性的衍射行为是群体说：认为体现粒子波动性的衍射行为是大大量粒子相互作用或疏密分布量粒子相互作用或疏密分布而产生的结果。而产生的结果。19四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（3 3）1 1、波包说：、波包说：波动的强度空间分布只在波动的强度空间分布只在有限区域有限区域内不为零内不为零 波包说：认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将波包说：认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包波包。波包的波包的大小即粒子的大小大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动速度。，波包的速度即粒子的运动速度。x),0(x20四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（4 4）一维自由粒子的波函数为：一维自由粒子的波函数为：)(exp(tkxiA2|()|kxx x ：自由粒子尺寸难道：自由粒子尺寸难道无限大无限大？x两种选择：两种选择：1、自由粒子波函数是错的？！、自由粒子波函数是错的？！2、波包说是错的？！、波包说是错的？！21四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（5 5）一般粒子的波函数为：一般粒子的波函数为：根据根据FourierFourier变换变换)(xdkekxikx)(21)(物理意义：波包可以看做各种波长的平面波的物理意义：波包可以看做各种波长的平面波的叠加叠加。定义群速定义群速 ，表示波包中心的移动速度；，表示波包中心的移动速度；即，整个波包的移动速度。即，整个波包的移动速度。gvgvdkdvg 若若 ，即：，即：则整个波包在运动过程则整个波包在运动过程中会发生中会发生扩散扩散。0/dkdvg)(kvvgg22四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（6 6）对于对于de Brogliede Broglie波，有关系：波，有关系：mk2/20/mdkdvmkvgg 根据波包说：粒子为三维空间中连续分布的一根据波包说：粒子为三维空间中连续分布的一种物质波包，波包的大小即粒子的大小。由于种物质波包，波包的大小即粒子的大小。由于 ，则波包会随着运动发生扩散，即：，则波包会随着运动发生扩散，即：粒子的大小随时间会变大。粒子的大小随时间会变大。0/dkdvg难道电子会随着时间难道电子会随着时间“变胖变胖”？23四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（7 7）波包说的错误之处在于：物质波包的观点波包说的错误之处在于：物质波包的观点夸夸大了波动性大了波动性的一面，的一面，抹杀了粒子性抹杀了粒子性的一面，与实的一面，与实际不符。际不符。24四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（8 8）2 2、群体说：、群体说：认为体现粒子波动性的衍射行为是认为体现粒子波动性的衍射行为是大大量粒子相互作用或疏密分布量粒子相互作用或疏密分布而产生的结果。而产生的结果。然而，电子衍射实验表明，就然而，电子衍射实验表明，就衍射效果衍射效果而言：而言：弱电子密度长时间强电子密度短时间弱电子密度长时间强电子密度短时间 群体说群体说夸大了粒子性夸大了粒子性的一面，的一面，抹杀了波动性抹杀了波动性的一面，的一面，与电子衍射实验不符。与电子衍射实验不符。多晶多晶 铝铝 箔箔25四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（9 9）3 3、再论波粒二象性、再论波粒二象性经典粒子经典粒子：哲学上是一个：哲学上是一个客体，强调了客体，强调了颗粒性颗粒性或者或者是是原子性原子性！其运动时总是！其运动时总是有一个确切的有一个确切的轨道轨道。vgmF经典波动经典波动：强调了某种：强调了某种实在物理量的空间分布实在物理量的空间分布做做周期性周期性变化。变化。k26四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（1010）对于对于de Brogliede Broglie物质波（波函数物质波（波函数 ），绝不能），绝不能用用经典经典的概念的概念生搬硬套来生搬硬套来解释。解释。要想解释要想解释de Brogliede Broglie物质波，我们必须重新认识什么物质波，我们必须重新认识什么是是“粒子性粒子性”和和“波动性波动性”！de Broglie物质波物质波“粒子性粒子性”一个客体，强调得是一个客体，强调得是颗粒性颗粒性或者是或者是原子性，原子性，但运动时确切的但运动时确切的轨道轨道必须抛弃。必须抛弃。kp“波动性波动性”强调得是波的相干叠强调得是波的相干叠加性，而不是某种实加性，而不是某种实在物理量的空间分布在物理量的空间分布做做周期性周期性变化变化),(tr27四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（1111）28四、一般粒子的波函数及其物理意义（四、一般粒子的波函数及其物理意义（1212）4 4、统计诠释：、统计诠释：粒子的波粒二象性可以用波函数来表示：粒子的波粒二象性可以用波函数来表示：),(),(),(zyxiezyxzyx1926年，年，M.Born提出：提出：波函数波函数 为刻画为刻画粒子在空间的粒子在空间的概率概率分布的分布的概率波概率波，表征表征了粒子出现在点了粒子出现在点 附近的概率大小的一个量。附近的概率大小的一个量。),(zyx2),(zyx),(zyxM.BornM.Born（1882-19701882-1970）Nobel Prize in Nobel Prize in Physics(1954)Physics(1954)29五、波函数的统计诠释及其性质（五、波函数的统计诠释及其性质（1 1）1 1、统计诠释的详细表述：、统计诠释的详细表述：表示粒子出现在表示粒子出现在 点点 附近的概率。附近的概率。2),(zyx),(zyx 表示点表示点 处的体积元处的体积元 中找中找到粒子的概率。到粒子的概率。zyxzyx2),(),(zyxzyx 表示在体积微表示在体积微元元 中找到粒子的概率。中找到粒子的概率。dzyx2),(d多晶多晶 铝铝 箔箔30五、波函数的统计诠释及其性质（五、波函数的统计诠释及其性质（2 2）2 2、统计诠释下波函数的性质：、统计诠释下波函数的性质：（1 1）归一性：在全空间中找到粒子的概率为）归一性：在全空间中找到粒子的概率为1 11),(2dzyx（2 2）相对概率：对于概率分布，重要的是）相对概率：对于概率分布，重要的是相对概率分布相对概率分布。C 和和 所描述的相对概率分布是完全相同的。所描述的相对概率分布是完全相同的。例：在空间任意两点例：在空间任意两点 和和 处，处，描述的相对概率为：描述的相对概率为：2r1rC221221)()()()(rrrCrC31五、波函数的统计诠释及其性质（五、波函数的统计诠释及其性质（3 3）和和（4 4）相位不定性）相位不定性:若若 ，则：则：ieC 对粒子在点对粒子在点 附近出现概率的描述是相同的。附近出现概率的描述是相同的。这是因为这是因为:),(zyx),(zyxei22),(),(zyxezyxi1),(10),(22dzyxAAdzyx1(,)(,)x y zx y zA等同于（3 3）波函数的常数因子不定性：设）波函数的常数因子不定性：设 是一个常数，则：是一个常数，则：和和 对粒子在点对粒子在点 附近出现概附近出现概率的描述是相同的。率的描述是相同的。C),(zyx),(zyxC),(zyx),(zyx32五、波函数的统计诠释及其性质（五、波函数的统计诠释及其性质（4 4）2 2、统计诠释下对波函数的要求、统计诠释下对波函数的要求(1)(1)、可积性、可积性(2)(2)、归一化、归一化(3)(3)、单值性，要求、单值性，要求 (4)(4)、连续性、连续性2|(,)|1x y zdxdydz(,)x y z及其各阶导数连续2|(,)|x y z单值有限值02),(dzyx33量子力学的基本假定量子力学的基本假定之一基本假定基本假定：波函数假定：波函数假定微观粒子的状态可以被一个波函数完全微观粒子的状态可以被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般满足连续性、有限有性质。波函数一般满足连续性、有限性和单值性三个条件。性和单值性三个条件。说明：波函数一般是粒子坐标和时间的说明：波函数一般是粒子坐标和时间的复函数，波函数的模方代表粒子空间分复函数，波函数的模方代表粒子空间分布的概率密度。布的概率密度。34六、动量分布概率（六、动量分布概率（1 1）设设 ，则，则 表示粒子出现表示粒子出现在点在点 附近的概率。附近的概率。kzj yi xr22)(),(rzyxr 设设 ，那么粒子具有动量，那么粒子具有动量 的概率如的概率如何表示？何表示？kpjpippzyxp平面波的波函数为：平面波的波函数为：/expexprp irk ipdeprrpi3/23)()2(1)(任意粒子的波函数可以按此平面波做任意粒子的波函数可以按此平面波做FourierFourier展开：展开：rderprp i3/23)()2(1)(35六、动量分布概率（六、动量分布概率（2 2）可见，可见，代表代表 中含有平面波中含有平面波 的成分，因的成分，因此，此，应该代表粒子具有动量应该代表粒子具有动量 的概率。的概率。rderprp i3/23)()2(1)(irp iirp iieppdepr/3/23)()()2(1)()(ip)(r/rp iie2)(ipip36七、再论不确定度关系（七、再论不确定度关系（1 1）0 xp0 x0p1|)(|20 xp0px常数px/00)(xippex 经典粒子经典粒子：可以同时具有确定的动量和空间位置，即：可以同时具有确定的动量和空间位置，即和和 可以同时成立。可以同时成立。微观粒子微观粒子：和和 不能同时成立。不能同时成立。0 xp0 x例例1 1：设一维自由粒子具有确定的动量：设一维自由粒子具有确定的动量 ，即，即 ，其相应的波函数为平面波其相应的波函数为平面波已证明平面波已证明平面波故故且且37七、再论不确定度关系（七、再论不确定度关系（2 2）例例2 2：设一维粒子具有确定的位置：设一维粒子具有确定的位置 ，即，即 ，则，则其波函数为其波函数为相应的傅立叶变换为相应的傅立叶变换为:000,0)(2)(0 xxxxxxxx0 x0 x/000)(21)(pixpxxxedxexp)()()(00 xfdxxfxx1|)(|20pxp常数pxp2|)(|0pxp38七、再论不确定度关系（七、再论不确定度关系（3 3）例例3 3：有限长波列：有限长波列axaxeaxxik|,0|,)2()(02/1121|2xdaxdaa)()sin(221)(000kkakkdxeekikxaaxikak/,1pxkpkx可得出由xa 39七、再论不确定度关系（七、再论不确定度关系（4 4）严格证明表明，对一般粒子，有严格证明表明，对一般粒子，有物理意义：粒子的坐标和动量不可能同时物理意义：粒子的坐标和动量不可能同时被被准确测量准确测量。或者说，微观粒子的位置（坐标）。或者说，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有和动量不能同时具有完全确定完全确定的值。的值。2/px40七、再论不确定度关系（七、再论不确定度关系（5 5）不确定度关系是微观粒子波粒二象性不确定度关系是微观粒子波粒二象性所带来的必然结果。这是因为，对波动而所带来的必然结果。这是因为，对波动而言，不能提言，不能提“空间某一点空间某一点x x的波长的波长”。从。从而，对微观粒子，只要承认其具有波粒二而，对微观粒子，只要承认其具有波粒二象性，象性，“微观粒子在空间某一点微观粒子在空间某一点x x的动的动量量”，这样的提法也没有意义。所以，对，这样的提法也没有意义。所以，对一个给定点一个给定点x x，动量只能是不确定的，这，动量只能是不确定的，这就是不确定度关系。就是不确定度关系。41下一讲下一讲力学量的平均值力学量的平均值算符算符薛定格方程薛定格方程量子力学中的基本假设量子力学中的基本假设