中考压轴题之一----因动点问题产生的相似三角形问题

中考压轴题之一-因动点问题产生的相似三角形问题-作者:_ -日期:_ 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2012 年苏州市中考第 29 题 如图 1，已知抛物线211(1)444byxbx（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A位于点 B是左侧），与 y轴的正半轴交于点 C（1）点 B的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB的面积等于2b，且PBC 是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 苏州 29”，拖动点 B在 x轴的正半轴上运动，可以体验到，点 P到两坐标轴的距离相等，存在四边形 PCOB的面积等于 2b的时 刻双击按钮“第（3）题”，拖动点 B，可以体验到，存在OQAB的时刻，也存在OQAB的时刻 思路点拨 1第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点 P到两坐标轴的距离相等 2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示 3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q最大的可能在经过点 A与 x轴垂直的直线上 满分解答（1）B的坐标为(b,0)，点 C 的坐标为(0,4b)（2）如图 2，过点 P作 PDx轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC 因此 PDPE设点 P的坐标为(x,x)如图 3，联结 OP 所以 S四边形PCOBSPCOSPBO1152428bxb xbx 2b 解得165x 所以点 P的坐标为(16 16,55)图 2 图 3 （3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得 A(1,0)，OA1 如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA 当BAQAQAOA，即2QABA OA时，BQAQOA 所以2()14bb解得84 3b 所以符合题意的点 Q为(1,23)如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么OQC90。因此OCQQOA 当BAQAQAOA时，BQAQOA此时OQB90 所以 C、Q、B 三点共线因此BOQACOOA，即14bQAb解得4QA 此时Q(1,4)图 4 图 5 考点伸展 第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是 x轴正半轴上待定的点，而QOA与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B的位置 如图中，圆与直线 x1的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？如果符合题意的话，那么点 B的位置距离点 A很近，这与 OB4OC 矛盾 例 2 2012 年黄冈市中考模拟第 25 题 如图 1，已知抛物线的方程 C1：1(2)()yxxmm (m0)与 x 轴交于点B、C，与 y轴交于点 E，且点 B在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1过点 M(2,2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH最小，求出点 H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点 F，使得以点 B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 黄冈 25”，拖动点 C 在 x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC 与 BF保持平行，但是BFC 在无限远处也不等于45观察右图，可以体验到，CBF保持 45，存在BFCBCE 的时刻 思路点拨 1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H落在线段 EC 上时，BHEH最小 2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或者作 BF/EC再用含 m的式子表示点 F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m的方程 满分解答（1）将 M(2,2)代入1(2)()yxxmm，得124(2)mm 解得 m4（2）当 m4 时，2111(2)(4)2442yxxxx 所以 C(4,0)，E(0,2)所以 SBCE116 2622BC OE （3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H落在线段 EC 上时，BHEH最小 设对称轴与 x轴的交点为 P，那么HPEOCPCO 因此234HP解得32HP 所以点 H的坐标为3(1,)2（4）如图 3，过点 B作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F作 FFx轴于 F 由于BCEFBC，所以当CEBCCBBF，即2BCCE BF时，BCEFBC 设点 F的坐标为1(,(2)()xxxmm，由FFEOBFCO，得1(2)()22xxmmxm 解得 xm2所以 F(m2,0)由COBFCEBF，得244mmBFm所以2(4)4mmBFm 由2BCCE BF，得222(4)4(2)4mmmmm 整理，得 016此方程无解 图 2 图 3 图 4 如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F作 FFx轴于 F，由于EBCCBF，所以BEBCBCBF，即2BCBE BF时，BCEBFC 在 RtBFF中，由 FFBF，得1(2)()2xxmxm 解得 x2m所以 F(2,0)m所以BF2m2，2(22)BFm 由2BCBE BF，得2(2)2 22(22)mm解得22 2m 综合、，符合题意的 m为22 2 考点伸展 第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点 F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF的长 例 3 2011 年上海市闸北区中考模拟第 25 题 直线113yx 分别交 x轴、y轴于 A、B两点，AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90后得到 COD，抛物线 yax2bxc经过 A、C、D三点(1)写出点 A、B、C、D的坐标；(2)求经过 A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G的坐标；(3)在直线 BG上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q为顶点的三角形与 COD相似？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11闸北 25”，拖动点 Q在直线 BG上运动，可以体验到，ABQ的两条直角边的比为 13 共有四种情况，点 B上、下各有两种 思路点拨 1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角 2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标 3第（3）题判断ABQ90是解题的前提 4 ABQ与 COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点 Q与点 B的位置关系分上下两种情形，点 Q共有 4 个 满分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因为抛物线 yax2bxc经过 A(3，0)、C(0，3)、D(1，0)三点，所以930,3,0.abccabc 解得1,2,3.abc 所以抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，顶点 G 的坐标为(1，4)（3）如图 2，直线 BG的解析式为 y3x1，直线 CD的解析式为 y3x3，因此 CD/BG 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 ABCD因此 ABBG，即ABQ90 因为点 Q在直线 BG上，设点 Q的坐标为(x，3x1)，那么22(3)10BQxxx Rt COD的两条直角边的比为 13，如果 Rt ABQ与 Rt COD相似，存在两种情况：当3BQBA时，10310 x解得3x 所以1(3,10)Q，2(3,8)Q 当13BQBA时，101310 x解得13x 所以31(,2)3Q，41(,0)3Q 图 2 图 3 考点伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明ABBG；二是22(3)10BQxxx 我们换个思路解答第（3）题：如图 3，作 GHy轴，QNy轴，垂足分别为 H、N 通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG90 在 Rt BGH中，1sin110，3cos110 当3BQBA时，3 10BQ 在 Rt BQN 中，sin13QNBQ，cos19BNBQ 当 Q在 B上方时，1(3,10)Q；当 Q在 B 下方时，2(3,8)Q 当13BQBA时，1103BQ 同理得到31(,2)3Q，41(,0)3Q 例 4 2011 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题 RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示，反比例函数(0)kykx在第一象限内的图象与 BC 边交于点 D（4，m），与 AB边交于点 E（2，n），BDE的面积为 2（1）求 m与 n的数量关系；（2）当 tanA12时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表达式；（3）设直线 AB与 y 轴交于点 F，点 P 在射线 FD上，在（2）的条件下，如果AEO与EFP 相似，求点 P的坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11 杨浦 24”，拖动点 A在 x轴上运动，可以体验到，直线 AB保持斜率不变，n始终等于 m的 2倍，双击按钮“面积 BDE2”，可以看到，点 E正好在 BD的垂直平分线上，FD/x轴拖动点 P 在射线 FD上运动，可以体验到，AEO与EFP 相似存在两种情况 思路点拨 1探求 m与 n 的数量关系，用 m表示点 B、D、E的坐标，是解题的突破口 2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是 FD/x轴 3如果AEO 与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况 满分解答（1）如图 1，因为点 D（4，m）、E（2，n）在反比例函数kyx的图象上，所以4,2.mknk 整理，得 n2m（2）如图 2，过点 E作 EHBC，垂足为 H在 RtBEH中，tanBEHtanA12，EH2，所以 BH1因此 D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)已知BDE的面积为 2，所以11(1)2222BD EHm解得 m1因此 D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因为点 D（4，1）在反比例函数kyx的图象上，所以 k4因此反比例函数的解析式为4yx 设直线 AB的解析式为 ykxb，代入 B(4，3)、E(2，2)，得34,22.kbkb 解得12k，1b 因此直线 AB的函数解析式为112yx 图 2 图 3 图 4（3）如图 3，因为直线112yx与 y 轴交于点 F（0，1），点 D 的坐标为（4，1），所以 FD/x 轴，EFPEAO因此AEO 与EFP 相似存在两种情况：如图 3，当EAEFAOFP时，2 552FP解得 FP1此时点 P 的坐标为（1，1）如图 4，当EAFPAOEF时，2 525FP解得 FP5此时点 P 的坐标为（5，1）考点伸展 本题的题设部分有条件“RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图 5的情况：第（1）题的结论 m与 n的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为12yx，直线 AB 为172yx第（3）题 FD不再与 x轴平行，AEO与EFP 也不可能相似 图 5 例 5 2010 年义乌市中考第 24 题 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)用含 S的代数式表示 x2x1，并求出当 S=36时点 A1的坐标；（3）在图 1 中，设点 D的坐标为(1，3)，动点 P从点 B出发，以每秒 1个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q从点 D出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM运动P、Q两点同时出发，当点 Q到达点 M时，P、Q两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“10 义乌 24”，拖动点 I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2x1随 S的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点 Q 在 DM上运动，可以体验到，如果GAFGQE，那么GAF与GQE相似 思路点拨 1第（2）题用含 S的代数式表示 x2x1，我们反其道而行之，用 x1，x2表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y13通过代数变形就可以了 2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证 3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB与 x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ的斜率，因此假设直线 PQ与 AB的交点 G在 x轴的下方，或者假设交点 G在 x轴的上方 满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x，解析式为21184yxx，顶点为 M（1，18）（2）梯形 O1A1B1C1的面积12122(11)3()62xxSxx，由此得到1223sxx由于213yy，所以22212211111138484yyxxxx整理，得212111()()384xxxx因此得到2172xxS 当 S=36时，212114,2.xxxx 解得126,8.xx 此时点 A1的坐标为（6，3）（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ与 x轴交于点 F，那么要探求相似的GAF与GQE，有一个公共角G 在GEQ中，GEQ 是直线 AB与抛物线对称轴的夹角，为定值 在GAF中，GAF 是直线 AB与 x轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF 因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD 由于3tan4GAF，tan5DQtPQDQPt，所以345tt解得207t 图 3 图 4 考点伸展 第（3）题是否存在点 G在 x轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3和图 4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3 例 6 2010 年上海市宝山区中考模拟第 24 题 如图 1，已知点 A(-2，4)和点 B(1，0)都在抛物线22ymxmxn上（1）求 m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 A ABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在 x轴上找一个点 D，使得以点 B、C、D为顶点的三角形与ABC 相似 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10 宝山 24”，拖动点 A向右平移，可以体验到，平移 5 个单位后，四边形 A ABB为菱形再拖动点 D在 x轴上运动，可以体验到，BCD与ABC 相似有两种情况 思路点拨 1点 A与点 B的坐标在 3个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点 B 的坐标、AC 和 BC 的长 2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变 3探求ABC 与BCD相似，根据菱形的性质，BACCBD，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论 满分解答 (1)因为点 A(-2，4)和点 B(1，0)都在抛物线22ymxmxn上，所以444,20.mmnmmn 解得43m ，4n (2)如图 2，由点 A(-2，4)和点 B(1，0)，可得 AB5因为四边形 A ABB为菱形，所以 A ABB AB5因为438342xxy2416133x，所以原抛物线的对称轴 x1向右平移 5 个单位后，对应的直线为 x4 因此平移后的抛物线的解析式为3164342,xy 图 2(3)由点 A(-2，4)和点 B(6，0)，可得 A B4 5 如图 2，由 AM/CN，可得B NB CB MB A，即284 5B C解得5B C 所以3 5AC 根据菱形的性质，在ABC 与BCD中，BACCBD 如图 3，当ABB CACB D时，553 5B D，解得3B D 此时 OD3，点D的坐标为（3，0）如图 4，当ABB DACB C时，53 55B D，解得53B D 此时 OD133，点 D的坐标为（133，0）图 3 图 4 考点伸展 在本题情境下，我们还可以探求BCD与AB B相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况 我们也可以讨论BCD与CB B相似，这两个三角形有一组公共角B，根据对应边成比例，分两种情况计算 例 7 2009 年临沂市中考第 26 题 如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过 P作 PMx轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D的坐标,图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09 临沂 26”，拖动点 P在抛物线上运动，可以体验到，PAM的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B左侧”、“P在 x轴上方”和“P在 A右侧”，可以显示PAM与OAC 相似的三个情景 双击按钮“第(3)题”，拖动点 D在 x轴上方的抛物线上运动，观察DCA的形状和面积随 D变化的图象，可以体验到，E是 AC 的中点时，DCA 的面积最大 思路点拨 1已知抛物线与 x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便 2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长 3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程 4把DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA 满分解答 （1）因为抛物线与 x轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点C 的 坐标（0，2），解得21a所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy（2）设点P的坐标为)4)(1(21,(xxx 如图2，当点P在 x 轴上方时，1x4，)4)(1(21xxPM，xAM 4 如果2COAOPMAM，那么24)4)(1(21xxx解得5x不合题意 如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x 此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点 A的右侧时，x4，)4)(1(21xxPM，4 xAM 解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点P的坐标为)2,5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意 如图4，当点P在点 B的左侧时，x1，)4)(1(21xxPM，xAM 4 解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点 P的坐标为)14,3(解方程214)4)(1(21xxx，得0 x此时点P与点 O重合，不合题意 综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或)14,3(或)2,5(图 2 图 3 图 4（3）如图 5，过点 D作 x轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为221xy 设点 D的横坐标为 m)41(m，那么点 D的坐标为)22521,(2mmm，点 E的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmDEmm2212 因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m 当2m时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）