资源描述
图象与性质 交点情况 解析式的确定 应 用 一、图象与性质 二次函数知识要点 1、二次函数的定义： 形如“ y= （ a、 b、 c为常数， a ）”的函数叫二次函数。即，自变量 x的最高次 项为 次。 0 ax2+bx+c 2 2、二次函数的解析式有三种形式： 一般式为 ； 顶点式为 。其中，顶点坐标 是（ ），对称轴是 ； 交点式为 。其中 x1， x2 分别是抛物线与 x轴两交点的横坐标。 y ax2 bx c y a(x-h)2 k h, k x h的直线 y a(x x1)(x x2) 3、图象的平移规律 ： 正 上左，负 下右；位变形不变。 对于抛物线 y=a(x-h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、若沿 x轴方向左右平移，不改变 a, k 的值； (3)、若沿 y轴方向上下平移，不改变 a , h 的值。 4、 向 上 向 下 大 5、对于二次函数 y=ax2+bx+c（ a0）， a决 定图象的 。当 a0时，开口向 ，当 a0 或 c0时， y随 x的增大而减小 . x O y 例 2：已知二次函数 y=x2-x+c。 求它的图象的开口方向、顶点坐标和对称 轴； c取何值时，顶点在 x轴上？ 若此函数的图象过原点，求此函数的解析 式，并判断 x取何值时 y随 x的增大而减小。 例 题 解： 函数 y X2 X C中， a 1 0， 此抛物线的开口向上。 根据顶点的坐标公式 x 时， y 顶点坐标是（ ， ）。对称轴是 x 。 例 题 例 3：将抛物线 如何平移， 可使平移后的抛物线经过点（ 3， -12）？ (说 出一种平移方案） 21 3 yx 例 题 (1)直线 x = 2，（ 2， -9） (2) A（ 1， 0） B（ 5， 0） C（ 0， 5） (3) 27 例 4 已知二次函数 的图象与 x 轴交 于 A、 B两点，与 y 轴交于 C点，顶点为 D点 . （ 1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标； （ 2）求出 A、 B、 C的坐标； （ 3）求 DAB的面积 . 542 xxy x O y A B C D 922 9 4 454 4 4 2 2 4 2 1 22 ,x a bac , a b 顶点坐标是抛物线的对称轴是直线 解： 500501 5051 0540542 21 22 ,C,B,A y,x;x,x ,xx,y,xxy 令解得 即令中 解析式 点的坐标 线段长 面积 .yABS OBOAAB)( DD B C 27962 1 2 1 6513 例题解答 例 题 例 4 已知抛物线 与 x 轴交于点 A（ 1, 0） 和 B（ 3， 0），与 y 轴交于点 C ， C在 y 轴的正半轴上， S ABC为 8. （ 1）求这个二次函数的解析式；（ 2）若抛 物线的顶点为 D，直线 CD交 x 轴于 E. 则 x 轴 上的抛物 线上是否存在点 P ，使 S PBE=15 ？ cbxaxy 2 y A E O B C D x 面积 线段长 点的坐标 解析式 .xx c b c cba cba C,B,Acbxaxy OC OCABS |OBOAAB ),(B),(A)(: ABC 4 3 8 3 4 -y 4 3 8 3 4 -a 4 039 0 C ( 0 , 4 ) 4OC 84 2 1 8 2 1 431 03011 2 2 二次函数的解析式为 过点抛物线 解 .S,Px .x,xx xxyy |y|BES: y, .x,y xy k m ,mkxy ),(D a bac a b )( P B E p pP B E p 15 2 3 2 1 x54 3 8 3 4 54 3 8 3 4 5 5 2 1 xP 6.|3|-3|OBOEBE E ( - 3 , 0 ) . 30 4 3 4 3 4 4 3 16 1 3 16 3 4 4 3 8 4 3 4 4 4 4 1 3 4 2 3 8 2 2 21 2 2 p 2 2 使轴上方的抛物线存在点在 中代入把 由题意 坐标为设点 则令 则有设直线为 点坐标为 1、 抛物线 如图所示，试确定 下列各式的符号： cbxaxy 2 x O y -1 1 (1)a _0 (2) b _0 (3) c _0 (4) a+b+c _0 (5) a b+c _0 练习 2、抛物线 和直线 可以在同一直角坐标系中的是（ ） cbxaxy 2 baxy += x O y A x O y B x O y C x O y D A 练习 3、 已知抛物线 y=2x2+2x 4， (1)则它的对称轴为 _，顶点为 _，与 x轴的两交点坐标为 _， 与 y轴的交点坐标为 _。 (2)如何画出它的图象？ )29,21( 2 1x )0,2(),0,1( （ 0, 4） x y 1 2 3 4 5 2 1 0 1 (2)作函数 y=2x2+2x 4的图象 ： 列表： x y 2 1 2 9 2 0 1 4 0 4 1 0 练习 4、已知抛物线 y=ax2+bx+c开口向下，并 且经过 A（ 0， 1）， M（ 2， -3）两点。 若抛物线的对称轴是直线 x= -1，求此抛 物线的解析式。 若抛物线的对称轴在 y轴的左侧，求 a的 取值范围。 归纳小结： 抛物线的对称轴、顶点最值的求法 ： 抛物线与 x轴、 y轴的交点求法： 二次函数图象的画法（五点法） （ 1）配方法；（ 2）公式法 对于抛物线 y=a(x-h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、若沿 x轴方向左右平移，不改变 a, k 的值； (3)、若沿 y轴方向上下平移，不改变 a , h 的值。 课后练习： 1 抛物线 y=x2的图象向左平移 2个单位 ， 再向下平 移 1个单位 ， 则所得抛物线的解析式为 （ ） A .y=x2+2x 2 B. y=x2+2x+1 C. y=x2 2x 1 D .y=x2 2x+1 2已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如 右图所示，则一次函数 y=ax+bc 的图象 不经过（ ） A第一象限 B.第二象限 C.第三 象限 D.第四象限 课后练习： 3、已知以 x为自变量的二次函数 y=(m 2)x2+m2 m 2 的图象经过原点，则 m= ，当 x 时 y随 x增大而减小 . 4、函数 y=2x2 7x+3顶点坐标为 . 5、抛物线 y=x2+bx+c的顶点为（ 2， 3），则 b= ， c= . 6、如果抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴是 x= 2，且开口 方向，形状与抛物线 y= x2相同，且过原点，那么 a= ， b= ， c= . 7 如图二次函数 y=ax2+bx+c的图象经过 A 、 B、 C三点 ， （ 1） 观察图象 ， 写出 A 、 B、 C三点的坐标 ， 并求出抛物 线解析式 ， （ 2） 求此抛物线的顶点坐标和对称轴 （ 3）观察图象，当 x取何值时， y0? y x A B O -1 4 5 C 课后练习： 8、 已知二次函数 y=(m2 2)x2 4mx+n的图象关于直线 x=2对称 ， 且它的最高点在直线 y=x+1上 . （ 1） 求此二次函数的解析式； （ 2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线 y=x+1上 移动到点 M时，图象与 x轴交于 A 、 B两点，且 S ABM=8， 求此时的二次函数的解析式 。 课后练习： 二、抛物线与坐标轴的交点情况 二次函数知识要点 6、对于二次函数 y=ax2+bx+c（ a0）， =b2-4ac。当 0时 ,抛物线与 x轴有 个 交点，这两个交点的横坐标是方程 ax2+bx+c=0的两个不相等的根。当 =0时 , 抛物线与 x轴有 个交点。这时方程 ax2+bx+c=0有两个 的根。当 0时， 抛物线与 x轴 交点。这时方程 ax2+bx+c=0根的情况 。 两 一 无 没有实数根 相等 7、若抛物线 与 x轴两交点为 则 x1 、 x2是方程 ax2+bx+c=0的两个根 ; cbxaxy 2 00 21 ， xBxA 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 44 b a cA B x x x x x x x x aa 当 时 ，两个交点在原点两侧； 当 时 ，两个交点都在原点右侧； 当 时 ，两个 交点都在原点左侧。 1、抛物线 y=x2-2x-3与 x轴分别交于 A、 B两点，则 AB的长为 . 练一练 2、直线 y= 3x+2与抛物线 y=x2 x+3 的交点有 个，交点坐标 为 。 3、抛物线 y=x2+bx+4与 x轴只有一个交点 则 b= 。 4 一 (-1,5) 4或 -4 4二次函数 y=x2-2(m+1)x+4m的图象与 x轴 （ ） A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点 练一练 D 5、已知 二次函数 y=kx2 7x 7的图象与 x轴 有交点，则 k的取值范围是 ( ) 4 7A、 k 0 4 7 k且B、 k 4 7C、 k 0 4 7 k且D、 k B 练一练 例 题 1、 已知抛物线 y=x2+ax+a-2. (1)证明 :此抛物线与 x轴总有两个不同的交点 ; (2)求这两个交点间的距离 (用关于 a的表达式来 表达 ); (3)a取何值时 ,两点间的距离最小 ? 例 题 2、 已知二次函数 y=-x2+(m-2)x+m+1， （ 1） 试说明：不论 m取任何实数 ， 这个二 次函数的图象必与 x轴有两个交点； （ 2） m为何值时 ， 这两个交点都在原点的 左侧 ？ （ 3）若这个二次函数的图象与 x轴有两个交 点 A(x1,0)、 B(x2,0), 且 x1 0 x2, OA=OB， 求 m的值。 3、 已知抛物线 y ax2 (b 1)x 2. （ 1） 若抛物线经过点 （ 1,4） 、 （ 1, 2） , 求此抛物 线的解析式 ; (2) 若此抛物线与直线 y x有两个不同的交点 P、 Q,且点 P、 Q关于原点对称 . 求 b的值 ; 请在横线上填上一个符合 条件的 a的值： a ,并在此条件下画出该函数的图象 . 例 题 x y O 例 题 4、 巳知：抛物线 (1)求证；不论 m取何值 ， 抛物线与 x轴必有两个交 点 ， 并且有一个交点是 A(2， 0)； (2)设抛物线与 x轴的另一个交点为 B， AB的长 为 d， 求 d与 m之间的函数关系式； (3)设 d=10， P(a， b)为抛物线上一点： 当 A是直角三角形时 ， 求 b的值； 62)5( 222 mxmxy 练习： 1、抛物线 y=x2-（ 2m-1） x- 6m与 x轴交于（ x1， 0） 和（ x2， 0）两点，已知 x1x2=x1+x2+49，要使抛物线 经过原点，应将它向右平移 个单位。 2、抛物线 y=x2+x+c与 x轴的两个交点坐标分别为 (x1,0)， (x2,0)，若 x12+x22=3，那么 c值为 ，抛物线的对称 轴为 3、一条抛物线开口向下，并且与 x轴的交点一个在点 A （ 1， 0）的左边，一个在点 A（ 1， 0）的右边，而与 y 轴的交点在 x轴下方，写出一个满足条件的抛物线的函 数关系式 4、已知二次函数 y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如 图所示 （ 1）当 m-4时，说明这个二次函数的图象与 x轴 必有两个交点； （ 2）求 m的取值范围； （ 3）在（ 2）的情况下，若 OA OB=6，求 C点 坐标； X y A B C O 练习： 5、已知二次函数 y=kx2+(2k-1)x-1与 x轴交点的横坐标 为 x1、 x2（ x1 x2），则对于下列结论： 当 x 2时， y 1； 当 x x2时， y 0； 方程 kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根 x1、 x2； x1 -1， x2 -1； ， 其中所有正确的结论是 （只需填写序 号） 2 21 14 kxx k 归纳小结： 抛物线 y=ax2+bx+c (a 0)与 x轴的两交点 A、 B的 横坐标 x1、 x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个 实数根。 抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴的交点情况： 0 抛物线与 x轴有两个交点； 0 抛物线与 x轴有一个交点 0 抛物线与 x轴无交点 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 44 b a cA B x x x x x x x x aa 1 若抛物线 y=ax2+bx+c的所有点都在 x轴下方 ， 则必有 （ ） A、 a 0, b2-4ac 0; B、 a 0, b2-4ac 0; C、 a 0, b2-4ac 0 D、 a 0, b2-4ac 0. 课后练习： 2、 已知抛物线 =x2+2mx+m -7与 x轴的两个交点在 点 （ 1， 0） 两旁 ， 则关于 x的方程 x2+（ m+1） x+m2+5=0的根的情况是 （ ） （ A）有两个正根 （ B）有两个负数根 （ C） 有一正根和一个负根 （ D）无实数根。 课后练习： 4、设 是抛物线 与 X轴的交点的横坐标，求 的值。 1, 2xx 2 31y x x 22 1, 2xx 5、二次函数 的图象与 X轴交于 A、 B 两点，交 Y轴于点 C，顶点为 D，则 S ABC= , S ABD= 。 2 3y x x 3、已知抛物线 与 x轴的两个 交点间的距离等于 4, 那么 a= 。 22 2 aaxxy 6、 已知抛物线 y x2 mx m 2. （ 1） 若抛物线与 x轴的两个交点 A、 B分别在 原点的两侧 ， 并且 AB ， 试求 m 的值； （ 2）设 C为抛物线与 y轴的交点，若抛物线 上存在关于原点对称的两点 M、 N，并且 MNC的面积等于 27，试求 m的值 5 课后练习： 7、已知抛物线 交 ，交 y轴的正半轴于 C点， 且 。 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）是否存在与抛物线只有一个公共点 C的直线。 如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不 存在，请说明理由 课后练习： 三、解析式的确定 回 顾 1、已知函数类型，求函数解析式的基本方法 是： 。 2、二次函数的表达式有三种： （ 1）一般式： ； （ 2）顶点式： ； （ 3）交点式： 。 待定系数法 Y=ax2+bx+c(a0) Y=a(x-h)2+k (a0) Y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 例 1. 选择最优解法，求下列二次函数解析式 1) 已知二次函数的图象过点 ( 1, 6)、 (1， 2) 和 (2， 3) 2) 已知二次函数当 x=1时，有最大值 6，且其图 象过点 (2， 8) 3) 已知抛物线与 x轴交于点 A( 1， 0)、 B(1， 0)并 经过点 M(0， 1) 1）设二次函数的解析式为 cbxaxy 2 6)1( 2 xay2）设二次函数的解析式为 )1)(1( xxay3）设二次函数的解析式为 解题策略： 例 2、 已知二次函数 y=ax2+bx+c ，当 x=3 时，函数取得最大值 10，且它的图象在 x 轴上截得的弦长为 4，试求二次函数的关 系式 例 3、 已知：抛物线 y=ax+bx+c（ a0）与 x轴交于点 A （ 1， 0）和点 B，点 B 在点 A的右侧， 与 y轴交于点 C （ 0， 2），如图。 （ 1）请说明 abc是正数还是负数。 （ 2）若 OCA= CBO， 求此抛物线的解析式。 A B O C 议 一 议 想 一 想 例 4、 已知抛物线 C1的解析式是 y x2 2x m， 抛物线 C2与抛 物线 C1关于 y轴对称。 (1)求抛物线 C2的解析式； C2的解析式为： y (x 1)2 1 m x2 2x m . y x O C1 C 2 （ 1,1 m） （ 1,1 m） 议 一 议 想 一 想 例 4 已知抛物线 C1的解析式是 y x2 2x m， 抛物线 C2与抛 物线 C1关于 y轴对称。 (1)求抛物线 C2的解析式； (2)当 m为何值时 ,抛物线 C1、 C2与 x轴有四个不同的交点； 由抛物线 C1与 x轴有两个交点， 得 1 0， 即 ( 2)2 4 （ 1） m 0， 得 m 1 由抛物线 C2与 x轴有两个交点， 得 2 0， 即 ( 2)2 4 （ 1） m 0， 得 m 1 y x O 当 m=0时， C1、 C2与 x轴有一公共交点 (0， 0)， 因此 m0 综上所述 m 1且 m0。 议 一 议 想 一 想 例 4 已知抛物线 C1的解析式是 y x2 2x m， 抛物线 C2与抛 物线 C1关于 y轴对称。 (1)求抛物线 C2的解析式； (2)当 m为何值时 ,抛物线 C1、 C2与 x轴有四个不同的交点； (3)若抛物线 C1与 x轴两交点为 A、 B（点 A在点 B的左侧）， 抛物线 C2与 x轴的两交点为 C、 D（点 C在点 D的左侧） , 请你猜想 AC BD的值，并验证你的结论。 解： 设抛物线 C1、 C2与 x轴的交点分别 A (x1,0) 、 B (x2,0) 、 C (x3,0) 、 D (x4,0) y x O A B C D 则 AC BD x3 x1 x4 x2 (x3 x4) (x1 x2)， 于是 AC x3 x1， BD x4 x2， x1 x2 2， x3 x4 2， AC BD 4。 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出 了它的一些特点： 甲：对称轴是直线 x=4； 乙：与 x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三 个交点为顶点的三角形面积为 3 请写出满足上述全部特点的一个二次函数的 关系式 议一议 例 5、 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物， 如图所示，大门地面宽 AB=4m，顶部 C离地面 高度为 4 4m现有一辆满载货物的汽车欲通 过大门，货物顶部距地面 2 8m，装货宽度为 2 4m请判断这辆汽车能否顺利通过大门 1、已知二次函数 的 图象经过点（ 1， 0），（ 0， -2），（ 2， 3）。求解析式。 2y a x b x c 2、二次函数当 x=3时， y有最大值 -1，且图 象过（ 0， -3）点，求此二次函数解析式。 3、已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象的对称轴 是直线 x=2，图象与 x轴的两个交点间的距离 等于 2，且图象经过点（ 4， 3）。求这个二次 函数解析式。 练 习 C xBA O y练 习 4、二次函数的图象与 x轴交于 A、 B两点 ,与 y轴交于 点 C,如图所示 ,AC= ,BC= ， ACB=90 ,求 二次函数图象的关系式 . 25 5 5、如图，某大学的校门是一抛物线形水泥 建筑物，大门的地面宽度为 8m，两侧距 地面 4m高处各有一个挂校名横匾用的铁 环，两铁环的水平距离为 6m，则校门的 高为多少 m？（精确到 0.1m，水泥建筑 物厚度忽略不计） . x y 归纳小结： 1、用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤： （ 1）根据条件设出合理的表达式； （ 2）将已知条件转化为方程或方程组，求出待定系数 的值； （ 3）写出函数解析式。 2、二次函数的三种表达式： （ 1）一般式： ； （ 2）顶点式： ； （ 3）交点式： 。 Y=ax2+bx+c(a0) Y=a(x-h)2+k (a0) Y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 课后训练： 1、求出下列对应的二次函数的关系式 （ 1）已知抛物线的对称轴为直线 x=2,且通过点（ 1， 4） 和（ 5， 0） （ 2）已知抛物线的顶点为（ 3， -2），且与 x轴两交点 间的距离为 4 2、已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点 P （ 2， m）、 Q（ n， -8），如果抛物线的对称轴是 x= -1， 求该二次函数的关系式 课后训练： 4抛物线 y=x2+2mx+n过点（ 2， 4），且其顶点在直线 y=2x+1上，求此二次函数的关系式。 3已知二次函数，当 x=3时，函数取得最大值 10，且它的 图象在 x轴上截得的弦长为 4，试求二次函数的关系式 5、 如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上 A(4,0)， B两点 ， 该抛物线的对称轴 x= 1， 与 x轴 交于点 C,且 ABC=90 ,求： (1)直线 AB的解析式； (2)抛物线的解析式。 课后训练： 6、 已知二次函数 y=(m2 2)x2 4mx+n的图象关于直 线 x=2对称 ， 且它的最高点在直线 y=x+1上 . （ 1） 求此二次函数的解析式； （ 2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线 y=x+1上移动到点 M时，图象与 x轴交于 A 、 B两点， 且 S ABM=8，求此时的二次函数的解析式 . 课后训练： 7、如图，在平面直角坐标系中， O为坐标原 点， A点坐标为 ( 8, 0)， B点坐标为 (2, 0)，以 AB的中点 P为圆心， AB为直径作 P与 y轴的 负半轴交于点 C. (1)求图象经过 A、 B、 C三点的抛物线的解析 式 ； (2)设 M点为 (1)中抛物线的顶点，求出顶点 M的 坐标和直线 MC的解析式； (3)判定 (2)中的直线 MC与 P的 位置关系，并说明理由 . A B C 0 P y x 课后训练： 四、二次函数的应用 某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内 生产总值 1990年为 8.6亿元人民币， 1995年为 10.4亿 元人民币， 2000年为 12.9亿元人民币 .经论证：上述 数据适合一个二次函数关系，请你根据这个函数关系， 预测 2005年该市国内生产总值将达到多少？ 引例 函数应用题的解题模型 实际问题 分析、抽象、转化 解答数学问题 数学模型 例 1、 如图所示，某建筑工地准备利用一面旧 墙建一个长方形储料场，新建墙的总长为 30 米。 （ 1）如图，设长方形的一条边长为 x米，则 另一条边长为多少米？ （ 2）设长方形的面积为 y平方米，写出 y与 x 之间的关系式。 （ 3）若要使长方形的面积为 72平方米， x应 取多少米？ x 例 2、 国家对某种产品的税收标准原定每销售 元需缴税元 （ 即税率为 ） ， 台洲经济开发 区某工厂计划销售这种产品吨 ， 每吨 元 。 国家为了减轻工人负担 ， 将税收调整为每 元缴税 （ ） 元 （ 即税率为 （ ） ） ， 这样工厂扩大了生产 ， 实际销售比原计划 增加 。 (1)写出调整后税款 （ 元 ） 与的函数关系式 ， 指出 的取值范围； (2)要使调整后税款等于原计划税款（销售吨，税率 为）的，求的值 某旅社有 100张床位，每床每晚收费 10元时， 客床可全部租出若每床每晚收费提高 2元， 则减少 10张床位租出；若每床每晚收费再 提高 2元，则再减少 10张床位租出以每次 提高 2元的这种方法变化下去为了投资少 而获利大，每床每晚应提高 （ ） A、 4元或 6元 B、 4元 C、 6元 D、 8元 练习 1 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 40元。为了扩大销售，商场 决定采取适当的降价措施。经调查发现，如 果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多 售出 2件。问每件衬衫降价多少元时，商场平 均每天盈利最多？最大盈利为多少？ 练习 2 x y o （ 1）求拱顶离桥面的高度。 （ 2）若拱顶离水面的高度为 27米，求桥的 跨度。 A B 例 3、 有一个抛物线形的拱形桥，建立如图所示的直 角坐标系后， 抛物线的解析式为 y x2 1。 1 75 例 4. 改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示， 设水管 AB高出地面 1.5m，在 B处有一个自动旋转的喷头。 一瞬间，喷出水流呈抛物线状，喷头 B与水流最高点 C 的连线与水平面成 45 角，水流最高点 C比喷头高出 2m， 在所建的坐标系中，求水流的落地点 D到 A点的距离是 多少米。 A y B O C F D E x 作 CF AD于 F，作 BE CF于 E，连结 BC，易知 OF=BE=CE=2， EF=OB=1.5， CF=2+1.5=3.5， B(0, 1.5)， C(2, 3.5). 设所求抛物线的解析式为： y=a(x 2)2+3.5 当 x=0时， y=1.5，即 a(0 2)2+3.5=1.5 ， 2 1a解得 5.3)2( 2 1 2 xy即 72,05.3)2(21,0 12 xxy 则得时当 722 x .)72().0,72( mADD 点的距离是到即 (舍 )， 某幢建筑物，从 10米高的窗口 A用水管向外喷水，喷 出的水呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如 图建立平面直角坐标系）如果抛物线的最高点 M离墙 1米，离地面 米，求水流落地点 B离墙的距离 OB 是多少米？ 403 O x y A B M 顶点坐标（ 1， ） 过点（ 0， 10） 解析式： 3 40)1( 3 10 2 xy 令 y=0,x=-1,x=3 OB=3米 40 3 练习 3 O y A B x 某跳水运动员进行 10米跳台跳水训练时 ， 身体 （ 看成一 点 ） 在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线 ， 在跳某个规定动作时 ， 正常情况下 ， 该 运动员在空中的最高处距水面米 ， 入水处距池边的距离 为 5米 ， 同时 ， 运动员在距水面 5米以前 ， 必须完成规定 的翻腾动作并调整好入水姿势 ， 否则就会出现失误 。 （ 1） 求这条抛物线的解析式； （ 2在某次试跳中 ， 测得 运动员在空中的运动路 线是 （ 1） 中的抛物线 ， 且运动员在空中调整好 入水姿势时 ， 距池边的 水平距离为米 ， 问此次 跳水会不会失误 ？ 并能 过计算说明理由 ？ 10m 3m 跳 台 支 柱 练习 4 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产 和销售，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生 产成本进行了预测，提供了两方面的信息（如甲 乙两图）。其中生产成本六月份最低。甲图的图 象是线段，乙图的图象是抛物线。 5 3 3 6 售 价 3 4 1 6 成 本 月 份 月 份 练习 5 请根据图象提供的信息说明解决下列问题： （ 1）在三月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多 少？ （ 2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？ 最大收益是多少？ 3 4 1 6 成 本 月 份 月 份 5 3 3 6 售 价 B 例 5、 如图，在矩形 ABCD的边上，截取 AH=AG=CE=CF= x，已 知： AB=8， BC=6。求：（ 1）四边形 EHGF的面积 S关于 x的函数 表 达式和 X的取值范围；（ 2）当 x为何值时， S的数值等于 x的 4倍。 （ 1） D C E F H G A 分析 ： AGH CEF 吗？ DHE BFG吗？ SDHE=SBFG ,SAHEG=SECF 所以， S= S矩形 =2SDHE-2SAGH 自变量 x的取值范围是： 解得， 0x6 （ 2）令 S=4x，得， 4x=-2x2+14x 解题 欣赏 练习 1：如图，已知正方形 ABCD的边长为 4， E是 BC上的 点， F是 CD上的点，且 EC=AF， EC=x， AEF的 面积为 y。 （ 1）求 y与 x之间的函数关系式和自变量 x的取值范围 ； （ 2）画出函数的图象。 E B C D A F 积累就是知识 例 6、 把长为 20 的铁丝弯成半径为 R的一个扇形， （ 1）试写出扇形面积 S与半径 R的函数关系式； （ 2）求扇形的半径 R的取值范围； （ 3）当 R为 多长时，扇形的面积最大，其最大面积是多少？ （ 2）根据实际意义，扇形 的半径和弧长必须是正数。 分析：（ 1） S= S= RL, L=20-2R （ 3）因为 a=10 20-2R0 解得， 0R10 R R L 例 7、 如图，在梯形 ABCD中， AB/DC， ADAB， 已知 AB=6， CD=4， AD=2， 现在梯形内作一内接矩形 AEFG， 使 E在 AB上， F在 BC上， G在 AD上。 （ 1）设 EF=x， 试求矩形 AEFG的面积 S关于 x的函数 关系式； （ 2）画出函数 S的图象； （ 3）当 x为 何值时， S有最大值？并求出 S的最大值。 A F E D G C B 能力源于运用 练习 2：在 ABC中 AB=4， AC=6， BC=2， P是 AC上与 A， C不重合的 一动点 ， 过 P， B， C的 O交 AB于 D， 设 PA=x， PC+PD=y， 求 y与 x的函数关系式 ， 并确定 x的范围； P在 AC上何处时函数 y有最小值 ， 最小值是多少 ？ 求当 y取最小值时 的面积 。 B D C A P
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