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第三章第三章 导数与微分导数与微分3.1 导数的概念导数的概念3.2 求导法则与求导公式求导法则与求导公式3.3 隐函数的导数隐函数的导数 高阶导数高阶导数3.4 微分微分3.5 导数在经济学中的应用导数在经济学中的应用3.5 导数在经济学中的应用导数在经济学中的应用一一 边际与边际分析边际与边际分析定义定义 设某经济函数设某经济函数 在点在点 可导，可导，在在 内的内的平均变化率为平均变化率为 ；在点；在点 处的瞬间变化率为处的瞬间变化率为在经济学中称在经济学中称 为为 在点在点 处的边际函数值。处的边际函数值。()yf x0000()()lim()xf xxf xfxx()f xyx0 x00(,)xxx0()fx0 x0 x()yf x “边际边际”(”(Margin)一词的一般含义是指事物在时间或空一词的一般含义是指事物在时间或空间上的边缘或界限，它是反映事物数量的一个概念。在经济间上的边缘或界限，它是反映事物数量的一个概念。在经济上，边际量是指生产、交换、分配和消费在一定条件下的最上，边际量是指生产、交换、分配和消费在一定条件下的最后增加量后增加量.研究这个增量的性质和作用，构成了边际分析的基研究这个增量的性质和作用，构成了边际分析的基本内容。西方经济学认为，边际量或增量分析，比总量分析本内容。西方经济学认为，边际量或增量分析，比总量分析和平均量分析，能更精确地描述经济变量之间的函数关系。和平均量分析，能更精确地描述经济变量之间的函数关系。设在点设在点 处，当自变量处，当自变量 从从 改变一个单位（即自变量的增改变一个单位（即自变量的增量量 ）时函数的增量）时函数的增量 的准确值为的准确值为 ，由微分近似公，由微分近似公式知，式知，的近似值为的近似值为x0 x0 xx1x y 00000111x xx xxxyf xf xdyfxxfx 01x xxy y1x 当当 时，标志着自变量时，标志着自变量 从从 减少一个单位，而减少一个单位，而x0 x 00011x xx xxxydyfxxfx 由此可知有关边际的经济意义是：经济函数由此可知有关边际的经济意义是：经济函数 在点在点 处当自变处当自变量量 增加（减少）一个单位时，函数增加（减少）一个单位时，函数 近似增加（减少）近似增加（减少）个单个单位。位。()f x0 xxx0()fxy例例3.38 设函数设函数 ，求，求 在在 时的边际函数值时的边际函数值2yxy5x 2yx 解解 因为因为 ，所以，所以510 xy若函数若函数 具有经济意义，则具有经济意义，则 表明：当表明：当 时，时，每改变一个单位（增加或减少一个单位），每改变一个单位（增加或减少一个单位），改变十个单位（增加或改变十个单位（增加或减少十个单位），减少十个单位），510 xy2yx5x xy（1）总成本函数与边际成本）总成本函数与边际成本某产品的某产品的总成本总成本是指生产一定数量的产品所需的全部资源投入费用的总和，是指生产一定数量的产品所需的全部资源投入费用的总和，它由固定成本与可变成本组成它由固定成本与可变成本组成.平均成本平均成本是指生产一定数量的产品，平均每单位产品的成本是指生产一定数量的产品，平均每单位产品的成本.边际成本边际成本是指总成本的变化率是指总成本的变化率.总成本、平均成本和边际成本都是产量的函数总成本、平均成本和边际成本都是产量的函数.x设产品的产量为设产品的产量为 单位时，称单位时，称 为该产品的总成本函数，产为该产品的总成本函数，产量量 时的成本时的成本 为固定成本，为固定成本，为可为可变成本。变成本。0 x 10()()C xC xC()CC x0(0)CC称为边际成本函数称为边际成本函数00()()()limlimxxCC xxC xC xxx 表示产量为表示产量为 时的边际成本，其经济意义是当产量为时的边际成本，其经济意义是当产量为 时，每增加（减少）一个单位产量，总成本将增加（减少）个时，每增加（减少）一个单位产量，总成本将增加（减少）个单位。单位。0 x0()C x0 x0()C x()()C xC xx称为平均成本函数称为平均成本函数2()()()()C xxC xC xCxxx称为称为平均边际成本平均边际成本函数函数例例3.39 设某商品的成本函数为设某商品的成本函数为 ，当产品，当产品的生产量为的生产量为 时的平均成本和边际成本分别为多少，并时的平均成本和边际成本分别为多少，并说明边际成本的经济意义说明边际成本的经济意义.2()100 10C xxx10 x 解解 平均成本函数为平均成本函数为()10010,C xC xxxx1030C10 x 则当则当 时的平均成本为时的平均成本为又由边际成本函数为又由边际成本函数为 102Cxx则当则当 时的边际成本为时的边际成本为10 x 1030C边际成本的经济意义是：当产品的产量为边际成本的经济意义是：当产品的产量为10时，每多生产或少时，每多生产或少生产一个单位，总成本将增加或减少生产一个单位，总成本将增加或减少0个单位个单位.（2）总收益函数与边际收益）总收益函数与边际收益总收益总收益（收入）是指生产者出售一定数量的产品所获得的全部收入（收入）是指生产者出售一定数量的产品所获得的全部收入.平均收益平均收益是指生产者出售一定数量的产品，平均每售出单位产品所获得是指生产者出售一定数量的产品，平均每售出单位产品所获得的收入，也就是单位产品的售价的收入，也就是单位产品的售价.边际收益边际收益是指总收益的变化率是指总收益的变化率.总收益、平均收益和边际收益都是销售量的函数总收益、平均收益和边际收益都是销售量的函数.设设 x 为产品的销售量，则为产品的销售量，则 P=P(x)称为产品的销售价格函数称为产品的销售价格函数,()()RR xx P x称为总收益函数称为总收益函数00()()()limlimxxRR xxR xR xxx 称为边际收益函数称为边际收益函数0Rx 表示销售量为表示销售量为 x 时的边际收益，其经济意义是当时的边际收益，其经济意义是当销售量为销售量为 x0 时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增加（减少）加（减少）个单位。个单位。0Rx 例例.某商品销售量某商品销售量 x与价格与价格 P之间的函数关为之间的函数关为 。求当销售量分别为求当销售量分别为400，500，600时的总收益和边际收益，并说明时的总收益和边际收益，并说明边际收益的经济意义边际收益的经济意义100.01Px2()()100.01R xx P xxx解解 因为总收益函数为因为总收益函数为400,500,600 x 所以，当销售量所以，当销售量 时的总收益分别为时的总收益分别为4002400,R5002500,R6002400R()100.02R xx又由于边际收益函数为又由于边际收益函数为(400)2,R400,500,600 x 所以，当销售量所以，当销售量 时的边际收益分别为时的边际收益分别为(500)0,R(600)2,R 边际收益的经济意义是：当销售量分别为边际收益的经济意义是：当销售量分别为400，500，600时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增加（减少）时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增加（减少）2、0、2个单位个单位.（3）利润函数与边际利润）利润函数与边际利润利润是指生产者出售一定数量的产品所获得的净收入利润是指生产者出售一定数量的产品所获得的净收入.一般情况下，一般情况下，总利润函数总利润函数 等于总收益函数等于总收益函数 与总成本函数与总成本函数 的差，的差，边际利润是指利润的变化率边际利润是指利润的变化率 ()L x()R x()C x 00()()limlimxxLL xxL xL xxx 称为边际利润函数称为边际利润函数称为总利润函数称为总利润函数()()L xR xC x0L x 表示产量为表示产量为 时的边际利润，其经济意义是当产量为时的边际利润，其经济意义是当产量为 时，时，每增加（减少）一个产量，利润将增加（减少）每增加（减少）一个产量，利润将增加（减少）个单位个单位.0 x0 x0L x0 x L xRxCx由由 ，显然边际利润可由边际收益与边际成本决定，显然边际利润可由边际收益与边际成本决定.即当即当 时，时，；当；当 时，时，；当当 时时，RxCx()0L x RxCx RxCx()0L x()0L x例例3.40 某产品的总成本函数某产品的总成本函数 ，总收益函数，总收益函数 ，求当产量分别为，求当产量分别为 时的总利润和边际利润，时的总利润和边际利润，并说明边际利润的经济意义。并说明边际利润的经济意义。()5002C xx400,5002()100.01R xxx 2()()80.01500L xR xC xxx解解 由于利润函数为由于利润函数为400,500 x 所以当产量所以当产量 时的利润分别为时的利润分别为边际利润的经济意义是：当产量分别为边际利润的经济意义是：当产量分别为400，500时，每增加（减少）时，每增加（减少）一个销售量，利润将增加（减少）一个销售量，利润将增加（减少）0、2个单位个单位.4001100,5001000LL所以当产量所以当产量 时的边际利润分别为时的边际利润分别为400,500 x 又由于边际利润函数为又由于边际利润函数为()80.02L xx(400)0,(500)2LL 1414 弹性系数表示弹性的大小弹性系数表示弹性的大小(弹性弹性)弹性（弹性（elasticity）,物理学名词物理学名词 ,指一物体指一物体对外部力量的反应程度或敏感程度对外部力量的反应程度或敏感程度.n 弹性是相对数之间的相互关系，即百分数变动的比率，弹性是相对数之间的相互关系，即百分数变动的比率，或者说它是一个量变动或者说它是一个量变动1%，引起另一个量变动百分之多少，引起另一个量变动百分之多少（程度）的概念。（程度）的概念。p 对于任何存在函数关系的经济变量之间，都可以建立二对于任何存在函数关系的经济变量之间，都可以建立二者之间的弹性关系或进行弹性分析。者之间的弹性关系或进行弹性分析。二二 弹性弹性 因因变变量量变变动动的的比比率率自自变变量量变变动动的的比比率率弹性弹性 利用函数与自变量的相对改变量之比研究经济变量对另一利用函数与自变量的相对改变量之比研究经济变量对另一个经济变量变化的反应程度的方法称为个经济变量变化的反应程度的方法称为弹性分析弹性分析.000000,yyxyE x xxxx yx 定义定义 设设 在点在点 处可导，且处可导，且 为为自变自变量量的相对增量的相对增量(变化率变化率)，为为函数函数的相的相对增量对增量(变化率变化率)，000,xxx0 x()yf x0000fxxfxyyfx则函数的相对增量与则函数的相对增量与自变量的相对增量之比自变量的相对增量之比00(,)x xx()yf x称为函数称为函数 在区间在区间 内的平均相对变化率或弹性内的平均相对变化率或弹性0000000lim()x xxxxEyyfxExx yy 0 xx()yf x00,E x xx当当 时，时，的极限的极限称为函数称为函数 在点在点 处的相对变化率，或相对导数，或处的相对变化率，或相对导数，或弹性弹性0 x 0 x xEyEx弹性的经济弹性的经济意义是经济函数意义是经济函数 在点在点 处当自变量处当自变量 改变改变1时，时，的函数值近似改变百分之的函数值近似改变百分之x0 xx()yf x()yf x()yf x一般地，若函数一般地，若函数 在区间在区间(a,b)内可导，且内可导，且 则称则称为函数为函数 在区间在区间(a,b)内的相对变化率或弹性函数内的相对变化率或弹性函数.()0f x 0lim()xEyy xxfxExx yy()yf x000000,yyxyE xxxxx yx 相关概念的比较,xyyx 0limxyx ,xyxyyyxx 0limxyyxx 有量刚有量刚无量刚无量刚研究变量绝对量之间的关系研究变量绝对量之间的关系是某一变量的相对变化引起是某一变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量另一变量的相对变化的度量()0f x 3100 xye例例3.41 求求 的弹性函数的弹性函数 以及弹性以及弹性2xEyExEyEx333003100 xxEyxexExe解解 因为因为 ，于是，于是3300 xye()0f x 弹性的实际意义是在弹性的实际意义是在 处当自变量改变处当自变量改变1时，时，的函数值改变的函数值改变62x 所以所以26xEyEx弹性在经济学中常应用于研究需求量与价格之间的变化关系弹性在经济学中常应用于研究需求量与价格之间的变化关系.需求是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力需求是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量购买的商品量.商品的需求量一般与价格有关，描述需求量与价格关系的函数商品的需求量一般与价格有关，描述需求量与价格关系的函数称为需求函数称为需求函数.()Qf P设设 表示某商品的价格，表示某商品的价格，表示某商品的市场需求量，表示某商品的市场需求量，则需求函数表示为则需求函数表示为QP 若需求函数若需求函数 可导，则称可导，则称()QfP()()EQPfPEpfPP为该商品的为该商品的需求价格弹性需求价格弹性，简称需求弹性，记为，简称需求弹性，记为.0P P若价格为若价格为 处的需求弹性记为处的需求弹性记为 ,价格弹性的经济意义是当某商品价格价格弹性的经济意义是当某商品价格为为 时，价格每上涨（下降）时，价格每上涨（下降）1%，需求量将下降（上涨）个，需求量将下降（上涨）个 百分点百分点.0P0P0p由于需求函数通常是单调减少函数，即由于需求函数通常是单调减少函数，即 因此需求弹性一般为负值因此需求弹性一般为负值.()0fP 由商品需求弹性的定义知由商品需求弹性的定义知：01p（1）当）当 （即（即 ）时称为）时称为单位弹性单位弹性，此时商品需求量变化，此时商品需求量变化的幅度等于价格变化的幅度的幅度等于价格变化的幅度.01p01p（2）当）当 （即（即 ）时称为）时称为高弹性高弹性，此时商品需求量变化，此时商品需求量变化的幅度大于价格变化的幅度，价格的变动对需求量影响较大的幅度大于价格变化的幅度，价格的变动对需求量影响较大01p01p（3）当）当 （即（即 ）时称为）时称为低弹性低弹性，此时商品需求量变化，此时商品需求量变化的幅度小于价格变化的幅度，价格的变动对需求量影响不大的幅度小于价格变化的幅度，价格的变动对需求量影响不大01p.1dRPf PP fPf PfPdPf P一般地，设商品的需求函数一般地，设商品的需求函数 可导，总收益函数为可导，总收益函数为 则由边际收益则由边际收益()RP f P()Qf P 11ppf Pf P01p（1）当）当 时，称边际收益时，称边际收益 ，此时商品的价格上涨可使，此时商品的价格上涨可使得总收益增加，价格下降可使得总收益减少。得总收益增加，价格下降可使得总收益减少。0dRdP01p（2）当）当 时，称边际收益时，称边际收益 ，此时商品的价格上涨可使，此时商品的价格上涨可使得总收益减少，价格下降可使得总收益增加。得总收益减少，价格下降可使得总收益增加。0dRdP01p（3）当）当 时，称边际收益时，称边际收益 ，此时商品涨价或降价对总，此时商品涨价或降价对总 收益没有明显的影响。收益没有明显的影响。0dRdP例例3.42 设某商品的需求函数为设某商品的需求函数为 ，求，求P=4,5,6时的需求价时的需求价格弹性，并说明其经济意义格弹性，并说明其经济意义 1000 100QP 10pPPfPQP解解 由于需求弹性为由于需求弹性为 456231,1,132ppp 且且4P 当当 时，时，为低弹性，此时，商品的价格上涨为低弹性，此时，商品的价格上涨1%，需，需求求量将下降量将下降0.667%，价格上涨对需求量的下降影响较小，因此降价销售将，价格上涨对需求量的下降影响较小，因此降价销售将得总收益减少，涨价销售则可使得总收益增加得总收益减少，涨价销售则可使得总收益增加.40.667p5P 当当 时，时，为单位弹性，此时，商品的价格上涨为单位弹性，此时，商品的价格上涨1%，需，需求量将同步下降求量将同步下降1%，涨价或降价对总收益没有明显影响。，涨价或降价对总收益没有明显影响。51p6P 当当 时，时，为高弹性，此时，商品的价格上涨为高弹性，此时，商品的价格上涨1%，需求，需求量将下降量将下降1.5%，价格上涨对需求量的下降影响较大，因此降价销售将，价格上涨对需求量的下降影响较大，因此降价销售将得总收益增加，涨价销售则可使得总收益减少得总收益增加，涨价销售则可使得总收益减少.61.51p
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