广义反常积分简单提

第四节第四节 广义（反常）积分广义（反常）积分 一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分 三、小结三、小结定定义义 1 1 设设函函数数)(xf在在区区间间),a上上连连续续，取取ab ，如如果果极极限限 babdxxf)(lim存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间),a上上的的广广义义积积分分，记记作作 adxxf)(.adxxf)(babdxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散.一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b 上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果极限 baadxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b 上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(.bdxxf)(baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散.设设函函数数)(xf在在区区间间),(上上连连续续,如如果果广广义义积积分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都都收收敛敛，则则称称上上述述两两广广义义积积分分之之和和为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间),(上上的的广广义义积积分分，记记作作 dxxf)(.dxxf)(0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极极限限存存在在称称广广义义积积分分收收敛敛；否否则则称称广广义义积积分分发发散散.例例1 1 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim.22 例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb.1 例例 3 3 证证明明广广义义积积分分 11dxxp当当1 p时时收收敛敛，当当1 p时时发发散散.证证,1)1(p 11dxxp 11dxx 1ln x,1)2(p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.例例 4 4 证证明明广广义义积积分分 apxdxe当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.证证 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,(ba上连续，而在上连续，而在点点a的右邻域内无界取的右邻域内无界取0 ，如果极限，如果极限 badxxf )(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间,(ba上的广义积分，记作上的广义积分，记作 badxxf)(.badxxf)(badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散.二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间),ba上连续，上连续，而在点而在点b的左邻域内无界的左邻域内无界.取取0 ，如果极限，如果极限 badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间),ba上的广义积分，上的广义积分，记作记作 badxxf)(badxxf)(lim0.当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散.设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上除点上除点)(bcac 外连外连续，而在点续，而在点c的邻域内无界的邻域内无界.如果两个广义积分如果两个广义积分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收敛，则定义都收敛，则定义 badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散.定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点.axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 例例 6 6 证证明明广广义义积积分分 101dxxq当当1 q时时收收敛敛，当当1 q时时发发散散.证证,1)1(q 101dxx 10ln x,1)2(q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散.101dxxq例例7 7 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 .故原广义积分发散故原广义积分发散.例例8 8 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx,233 3032)1(xdx).21(33 无界函数的广义积分（无界函数的广义积分（瑕积分瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)(bdxxf)(adxxf)(cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点）badxxf)(三、小结三、小结思考题思考题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？101lndxxx思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1,0 xx1lnlim1 xxx,11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点,101lndxxx的瑕点是的瑕点是.0 x一、一、填空题：填空题：1 1、广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；2 2、广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、广 义 积 分广 义 积 分 2)(lnkxxdx在在 _ 时 收 敛；在时 收 敛；在_ 时发散；时发散；4 4、广广义义积积分分 dxxx21=_ _ _ _ _；练练 习习 题题5 5、广广 义义 积积 分分 1021xxdx_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、广广义义积积分分 xdttf)(的的几几何何意意义义是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.二、二、判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值：广义积分的值：1 1、0coshtdtept )1(p；2 2、222xxdx ；3 3、0dxexxn（为为自自然然数数n）；）；4 4、202)1(xdx；5 5、211xxdx；6 6、022)1(lndxxxx；7 7、10ln xdxn.三三、求求当当为为何何值值时时k，广广义义积积分分)()(abaxdxbak 收收敛敛？又又为为何何值值时时k，这这广广义义积积分分发发散散？四四、已已知知 xxxxxf2,120,210,0)(，试试用用分分段段函函数数表表示示 xdttf)(.一、一、1 1、1,1 pp；2 2、1,1 qq；3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散；5 5、1 1；6 6、过点、过点轴轴平平行行于于 yx的直的直线左边线左边,曲线曲线)(xfy 轴轴和和 x所围图形的面积所围图形的面积.二、二、1 1、12 pp；2 2、；3 3、!n；4 4、发散；、发散；5 5、322；6 6、0 0；7 7、!)1(nn.三、当三、当1 k时收敛于时收敛于kabk 1)(11；当当1 k时发散时发散.四、四、xxxxxdttfx2,120,410,0)(2.练习题答案练习题答案