隐函数的存在性习题课北工大

第三节第三节 习题课习题课(隐函数的存在性隐函数的存在性)1.定理定理若函数若函数 在以点在以点 为为),(00yx中心的矩形中心的矩形区域区域D D（边界平行坐标轴）满足（边界平行坐标轴）满足),()1yxFx与与),(yxFy在在D D连续连续(从而从而;0),()200 yxF.0),()300 yxFy),(yxFz ),(yxF在在D D连续连续););定理定理1下列条件：下列条件：则存在点的邻域，则存在点的邻域，0 x 在存在唯一一个有在存在唯一一个有 连续导数的隐函数连续导数的隐函数),(xfy 使使,)(,0)(,00yxfxfxF 且且.),(),()(yxFyxFxfyx 定理定理2 2若函数若函数在以点在以点),(21yxxxFzn 为中心的矩形区域为中心的矩形区域G G满足满足),(0002010yxxxPn,)121yxxxFFFFn在在G G连续，连续，,0),()2000201 yxxxFn.0),()3000201 yxxxFny下列条件：下列条件：),(,0),(,0020102121nnnxxxfyxxxfxxxF 且且).,2,1(nkFFxyyxkk 则存在点则存在点),(002010nxxxQ的邻域的邻域U,U,在在U U存在存在),(21nxxxfy 唯一一个有连续偏导数的唯一一个有连续偏导数的n n元（隐）函数元（隐）函数使使 定理定理3 3 设设 与在点与在点 ),(1vuyxF),(2vuyxF),(0000vuyxP的邻域的邻域G G满足下列条件：满足下列条件：）四元函数）四元函数 与与),(1vuyxF),(2vuyxF的所有偏导数在的所有偏导数在G G连续连续(从而在从而在G G连续连续)；2,1FF）,0),(00001 vuyxF;0),(00002 vuyxF.0 ),(),(221121 pvFuFvFuFvuFFJ）行列式）行列式则存在点的邻域，在存在唯一则存在点的邻域，在存在唯一),(00yxQVV),(yxuu ，),(yxvv 与与，0),(),(,0),(),(,21yxvyxuyxFyxvyxuyxF且且，),(000yxuu ).,(000yxvv 一组有连续偏导数的一组有连续偏导数的(隐隐)函数组函数组使使定理定理若若m个函数在点个函数在点mFFF,21),(001001nmmmxxxxM 的某个邻域的某个邻域G G满足满足下列条件：下列条件：)函数的所有偏导数在函数的所有偏导数在G G连续；连续；mFFF,21);0)()()(21 MFMFMFm)行列式在点行列式在点M M不为零，即不为零，即.021222122111 MmmmmmmmxFxFxFxFxFxFxFxFxF则存在点的邻域则存在点的邻域V，在，在V存在存在),(00201nmmmxxxN 唯一一组有连续偏导数的唯一一组有连续偏导数的n n元元m m值隐函数组值隐函数组 ),(),(),(1122111nmmmmnmmnmmxxfxxxfxxxfx .0),(,0),(,0),(12112121211nmmmmnmmmnmmxxfffFxxfffFxxfffF且且),(,),(),(0202101NfxNfxNfxmm 有有 1求由三元方程求由三元方程zyzxy2sin 确定的隐函数的偏导数确定的隐函数的偏导数),(yxfz 2讨论笛卡尔叶形线讨论笛卡尔叶形线0333 axyyx所确定的隐函数的一阶与二阶导数所确定的隐函数的一阶与二阶导数)(xfy 2.2.题目题目3讨论方程讨论方程0),(323 zyxxyzzyxF在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数4 4 求由下列方程所确定的隐函数的导数求由下列方程所确定的隐函数的导数.,03)1(342 yxyx求求.dxdy,02)2(zxyeze求求.,yzdxz ),()3(xyzzyxfz .,zyyxxz 求求5 5 方程方程 在点在点 的某邻域内能否确定出某一个变量为另外的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数两个变量的函数.1ln xzeyzxy)1,1,0(6 验证方程组验证方程组 0,06222zyxzyx在点的邻域满足定理在点的邻域满足定理的条件，在点的邻域存在唯一一组的条件，在点的邻域存在唯一一组有连续导数的（隐）函数组与有连续导数的（隐）函数组与，并求，并求)1,2,1(),(000 zyx10 x)(1xfy )(2xfz .,dxdzdxdy7 求下列方程组所确定的隐函数组的导数求下列方程组所确定的隐函数组的导数 .,)1222222axyxazyx求求.,dxdzdxdy .0,0)222xvvyyvux求求.,yuxu 8 讨论方程组在点的讨论方程组在点的 22222zyxyxz)2,1,1(附近附近能否确定形如的隐函数能否确定形如的隐函数组组)(),(zgyzfx 9 求下列函数组所确定的反函数组的偏导数求下列函数组所确定的反函数组的偏导数.;sin,cos)1uvuyuvux .cos,sin)2vueyvuexuu 10 证明证明 若若 则在任则在任,sin,cos yrx意一点意一点 (其中其中 ),(00 r 00,0 r的邻域存在反函数组的邻域存在反函数组.但是但是,在在 平面上不平面上不 r存在反函数组存在反函数组.11 设有函数组设有函数组,cos2,cos,sinzwxevxeuyy 问在哪些点问在哪些点 存在反函数组存在反函数组.),(zyxP12 证明证明 方程方程 所确定的隐所确定的隐)(222yzyfzyx ),(yxzz 函数函数 满足方程满足方程 .22222xzyzxyxzzyx 0),(11 zxyzyxF.xyzyzyxzx 13 证明证明 方程方程所确定的隐函数所确定的隐函数 满足方程满足方程),(yxzz 1)sin()sin(zyyx),(yxfz .2yxf 14 已知方程已知方程所确定了隐函数所确定了隐函数 求求)(),(ygxfyxF 15 设设 ,其中其中 与与都存在二阶导数且可微都存在二阶导数且可微,求的一阶求的一阶)(uf)(yg),(yxF偏导数与二阶偏导数偏导数与二阶偏导数16 设设 求求 对于对于,)(zyxezyx zyx,的偏导数的偏导数.