典型环节的频率特性.ppt

5-2 典型环节频率特性的绘制 一 、 典型环节的幅相特性曲线 （ 极坐标图 ） 以角频率 为参变量 ， 根据系统的幅频特性 和相频特性 在复平面 上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率 特性的极坐标图 。 它是 当角频率 从 0到无穷变化时 ， 矢量 的矢端在 平面上描绘出的曲线 。 自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分 成几种典型环节。本节介绍典型环节频率特性的绘制方法，主要介绍应 用较为广泛的极坐标图和伯德图。 )( jG )( jG )( jG jejHjG )()( )()( jHjG （一） 放大环节（比例环节） KjG )( KsG )(放大环节的传递函数为 其对应的频率特性是 KjG )( 0)( jG 其幅频特性和相频特性分别为 . 00 mI K eR 放大环节的频率响应 频率特性如图所示。 由图可看出放大环节的幅频特 性为常数 K， 相频特性等于零度 ， 它们都与频率无关 。 理想的放大环 节能够无失真和无滞后地复现输入 信号 。 （二） 积分环节 积分环节的传递函数为 其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 ssG 1)( jjG 1)( 11)( jjG 090 0)( ar c t gjG 积分环节的频率响应 eR mI 0 G 090 1 频率特性如图所示 。 由图可知 ， 积分环节的相频特性等 于 -900 ， 与角频率 无关 ， 表明积分环节对正弦输入信号有 900的滞后作用；其幅 频特性等于 ， 是 的函数 ， 当 由零变到无穷大时 ， 输出幅值则由 无穷大衰减至零 。 （ 三 ） 惯性环节 惯性环节的传递函数为 频率特性 幅频特性和相频特性分别是 1 1)( TssG 1 1)( jTjG 221 1)( TjG a r c t g TjG )( 0 1)0( jG 00)0( jG T 1 707.0 2 1)1( TjG 045)1( TjG 0)( jG 090)( jG 当 由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 平面上是 正实轴下方的 半个圆周 )( jG 2222 11 1 1 1)( T Tj TjTjG )(1 1)(Re 22 uTjG 证明 : )(1)(Im 22 vTTjG 22 22 2 22 2 2 2 1 12 1 1 1 )( 2 1 )( T T T vu 这是一个标准圆方程 ， 其圆心坐标是 ， 半径为 。 且当 由 时 ， 由 ， 说明惯性环节的频率 特性在 平面上是实轴下方半个圆周 ， 如图所示 。 0,21 21 0 )( jG 900 )( jG 惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节 。 在低频范围内 ， 对输 入信号的幅值衰减较小 ， 滞后相移也小 ， 在高频范围内 ， 幅值衰减较大 ， 滞后相角也大 ， 最大滞后相角为 90 。 推广：当惯性环节传递函数的分子是常数 K时，即 其频率特性是圆心为 ，半径为 的实轴下方半个圆周。 1)( jT KjG 0,2K 2K 惯性环节的频率响应 045 0 1 0.5 T/1 mI G 0 eR (四 ） 振荡环节 振荡环节的传递函数是 频率特性 幅频特性和相频特性分别为 12 1)( 22 TssTsG TjTTjTjG 2)1( 1 12 1)( 2222 222222 4)1( 1)( TT jG ) 1 ( 1 2 180)( ) 1 ( 1 2 )( 22 22 TT T ar c t gjG TT T ar c t gjG 当 时 ， ， 当 时 ， ， 当 时 ， ， 振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比 有关 ， 不同阻尼比的 频率特性 曲线如图 所示 。 1)( jG 2 1)( jG 0 00)( jG T 1 090)( jG 0)( jG ( ) 180Gj n n rM 0 n n r 0 mI r 1 eR G 振荡环节的频率响应 振荡环节为相位滞后环节， 最大滞后相角是 1800。 )( jG 当振荡环节传递函数的分子 是常数 K时， 对应频率特性 的起点为 12)( 22 TssT KsG 0 00)0(,)0( jGKjG )1( rr MM r 为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，是振荡环节频率特性曲线 与虚轴的交点处的频率。 T n 1 r )( jG rM 将 代入 得到谐振峰值 为 )210(12 1)( 2 rr jGM 2 0 2 1 a r c s i n9021)( a r c t gjG rr 将 代入 得到谐振相移 r为 r )( jG 041)( 222222 TTd djGd d )210(21211 22 nr T 阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值 和谐振频率 由 幅频特性的极值方程解出。 振荡环节的幅值特性曲线如图所示 。 在 的范围内 ， 随着 的增加 ， 缓慢增大；当 时 ， 达到最大值 ；当 时 ， 输出幅值衰减很快 。 r 0 )(M r )(M rM r 当阻尼比 时，此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的 惯性环节的串联， 即 1 111 1)( 21 sTsTsG T1， T2为一大一小两个不同的时间常 数，小时间常数对应的负实极点离虚 轴较远，对瞬态响应的影响较小。 1 )(M 0 r rM 振荡环节的频率响应 1 （ 五 ） 一阶微分环节 典型一阶微分环节的传函数为 其中 为微分时间常数 、 1为比例项因子 ， 严格地说 ， 由上式表示 的是一阶比例微分环节的传递函数 ， 由于实际的物理系统中理想微分 环节 （ 即不含比例项 ） 是不存在的 ， 因此用比例微分环节作为一阶微 分环节的典型形式 。 1)( ssG 1)( jjG 幅频特性和相频特性分别为 一阶微分环节的频率特性为 1)( 22 jG a r c t gjG )( 0 1)0( jG 00)0( jG 1 2)1( jG 045)1( jG )( jG 090)( jG 频率特性如图所示。它是一条过点（ 1， j0）与实轴垂直相交且位 于实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重合。 1 eR 0 mI G 0 G 一阶微分环节的频率响应 当 时， ， 当 时， ， 当 时， （ 六 ） 二阶微分环节 频率特性 幅频特性和相频特性分别为 12)( 22 jjG 222222 41)( jG ）（ 221 2)( ar c t gjG 0 1)0( jG 00)0( jG 1 2) 1( jG 090)1( jG )( jG 0180)( jG 二阶微分环节频率特性图 1 )1(2 mI eR 00 G 二阶微分环节是相位超前环节，最大超 前相角为 180o。 )1(12180)( 22 ar c t gjG 1 1)( TssG 1 1)( jTjG （七） 不稳定环节 不稳定环节的传递函数为 有一个正实极点，对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 1 1)( 22 TjG ar c t gTTar c t gjG 01801)( 0 1)0( jG 01 8 0)0( jG T 1 2 1)1( TjG 013 5)1( TjG 0)( jG 090)( jG 0 Im Re 0 不稳定惯性环节的频率特性 与惯性环节的频率特性相比，是以平面的虚轴为对称的。 其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 jejG )( 1)( jG sesG )( （八） 滞后环节的传递函数 滞后环节的传递函数为 （度）弧度） 3.57()( jG 如图所示，滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时 针旋转的单位圆。 0 mI j 0 eR 1 1 j 滞后环节频率特性图 )( jG 二、典型环节频率特性的伯德图 伯德（ Bode）图又称对数频率特性曲线，它是将幅频特性 和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上， 前者叫 对 数幅 频特性 ，后者叫 对数相频特性 。两个坐标平面横轴（ 轴）用 对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，它表示幅值的分 贝数，即 ；对数相频特性的纵轴也是 线性分度，它表示相角的度数，即 。通常 将这两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在下），且 将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小，同时为 求取系统相角裕度带来方便。 )()(lg20)( dBjGL （度） )()( jG 0 20 40 -40 -20 )(L 0.01 0.1 1 10 100 0 45o 90o -90o -45o )( 0.01 0.1 1 10 100 dB （ 4） 横轴（ 轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾 了中、高频段，有利于系统的分析与综合。 用伯德图分析系统有如下优点： （ 1） 将幅频特性和相频特性分别作图 ， 使系统 （ 或环节 ） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰； )(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)( )()()()( )()()()( 21 21 21 jGjGjGjGL jGjGjGjG jGjGjGjG n n n （ 2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算； （ 3） 用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便； 放大环节的频率特性为 其幅频特性是 对数幅频特性为 )0()( KKjG KjG )( KjG lg20)(lg20 当 K1时， 20lgK0，位于横轴上方； 当 K=1时， 20lgK=0，与横轴重合； 当 K1时， 20lgK0，位于横轴下方。 （一）放大环节（比例环节） 放大环节的对数幅频特性如图所示 ， 是一条与角频率 无关且平行于横 轴的直线 ， 其纵坐标为 20lgK。 当有 n个放大环节串联时 ， 即 幅值的总分贝数为 10 10 10 20 Klog20 dB )(L 10 10 1000 10 10000 090 090 0180 度 ）（ 10 放大环节的 Bode图 nKKKjG . . .)( 21 nKKKjG lg20.lg20lg20)(lg20 21 放大环节的相频特性是 如图所示，它是一条与角频率 无关且与 轴重合的直线。 00)( jG （ 二 ） 积分环节 积分环节的频率特性是 其幅频特性为 对数幅频特性是 jjG 1)( 1)( jG lg201lg20)(lg20 jG 当 时， 当 时， 当 时， 1.0 )(201.0lg20)1.0(lg20 dBjG 1 )(01lg20)1(lg20 dBjG 10 )(2010lg20)10(lg20 dBjG 设 ， 则有 可见 ， 其对数幅频特性是一条在 =1（ 弧度 /秒 ） 处穿过零分贝线 （ 轴 ） ， 且以每增加十倍频降 低 20分贝的速度 （ -20dB/dec ） 变化的直线 。 10 lg202010lg20lg20 01.0 1.0 1 10 0 090 090 0180 度 ）（ 积分环节的 Bode图 60 40 0 20 20 dB )(L 01.0 1.0 1 decdB /20 10 是一条与 无关，值为 -900且平行于 轴的直线。积分环节的对数幅频 特性和相频特性如图所示。 090)( jG 积分环节的相频特性是 当有 n个积分环节串联时 ， 即 其对数幅频特性为 njjG )( 1)( lg20 1lg20)(lg20 n jG n 090)( njG 两个积分环节串联的 Bode图 090 0 1.0 1 0180 090 度 ）（ 01.0 0 40 decdB /40 dB )(L 01.0 1.0 1 10 是一条斜率为 -n 20dB/dec， 且在 =1（ 弧度 /秒 ） 处过零分 贝线 （ 轴 ） 的直线 。 相频特 性是一条与 无关 ， 值为一 n 900且与 轴平行的直线 。 两 个积分环节串联的 Bode图如图 所示 。 用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性 ， 在 的低频段 ， 与零分贝线重合；在 的高频段 ， ， 是一 条斜率为 -20（ dB/dec.） 的直线 。 22 22 1lg20 1 1lg20)(lg20 T T jG T 1 T 1 )(01lg20)(lg20 22 dBTjG )(lg201lg20)(lg20 22 dBTTjG T 10 T1 TjG lg20)(lg20 T 1 T1 两条直线在 处相交， 称为转折频率，由这两条直线构成的折线 称为对数幅频特性的渐近线。 （三） 惯性环节 惯性环节的频率特性是 对数幅频特性是 1 1)( jTjG 当 时， 当 时， )(32lg201lg20 122 dBT T 很明显，距离转折频 率 愈远 ， 愈能满足近似条件，用渐近线 表示对数幅频特性的精度就愈 高；反之，距离转折频率愈 近，渐近线的误差愈大。 等于转折频率 时，误差最 大，最大误差为 T 1 )11( TT 或 T 1 渐近特 性 decdB/20 精确 特性 惯性环节的 Bode图 )( )(Ldb10 0 10 20 T1201 T1101 T151 T1 T12 T110 T120 0 045 090 时的误差是 时的误差是 误差曲线对称于转折频率 ， 如下图所示 。 由图可 知 ， 惯性环节渐近线特性与精确特性的误差主要在交接 频率 上下十倍频程范围内 。 转折频率十倍频以上 的误差极 小 ， 可忽略 。 经过修正后的精确对数幅频特性 如图所示 。 T 1 2 1 )(97.02 5lg201lg20 1 2 1 22 dBT T T 12 )(97.0 2lg205lg20)lg20(1lg20 1 2 1 2 22 dB TT TT T 1 T 1 惯性环节的相频特性为 当 时， 当 时， 当 时， 对应的相频特性曲线如上图 所示它是一条由 00至 -900范 围内变化的反正切函数曲线 ， 且以 和 的交点为斜对称 。 Ta r c t gjG )( db 0 1 2 3 4 T1101 T151 T121 T1 T12 T15 T110 惯性环节对数幅频特性误差修正曲线 0 00)0( jG T 1 045)1( TjG 090)( jG T 1 045)( jG 其对数幅频特性是 当 时 ， 当 时 ， 一阶微分环节的对数幅频特性如图所示 ， 渐近线的转折频率 为 ， 转折频率处渐近特性与精确特性的误差为 ， 其误差均为正分贝数 ， 误差范围与惯性环节类似 。 相频特性是 当 时 ， ； 1)( jjG 1lg20)(lg20 22 jG 1 )(01lg20 22 dB 1 )(lg201lg20 22 dB 1 a r c t gjG )( 0 00)0( jG （四） 一阶微分环节 一阶微分环节频率特性为 dB32lg20 11001101110111001 )(度 090 045 0 一阶微分环节的 Bode图 20 10 0 db )(L 11001 1101 1 110 1100 decdB /20 渐近特性 精确特性 当 时 ， ； 当 时， 。 一阶微分环节的相频特性如图 所示 ， 相角变化范围是 00 至 900， 转折频率 处的相角为 450。 与惯性环节 Bode 图相比 ， 一阶微分环节与惯性环节的对 数幅频特性和相频特性以横轴 （ 轴 ） 为对称 。 1 90)( jG 45)1( jG 当 时 ， ； 0 0)0( jG 1 渐近线的 第一段折线 与零分贝线 （ 轴 ） 重合 ， 对应 的频率范围是 0至 ； 第二段折线 的起点在 处 ， 是一条斜 率为 的直线 ， 对应的频率范围是 至 。 两段折 线构成振荡环节对数幅频特性的渐近线 ， 它们的转折频率 为 。 对数幅频特性曲线的渐近 线如 图所示 。 TjTjG 2)1( 1)( 22 222222 4)1(lg20)(lg20 TTjG T 1 )(04)1(lg20 222222 dBTT T 1 )(lg404)1(lg20 222222 dBTTT T1T1 T 1 （五） 振荡环节 T1 d e cdB /40 振荡环节的频率特性是 对数幅频特性为 误差分析 ： 当 时， ，它是阻尼比 的函数；当 =1时为 -6(dB)，当 =0.5时为 0(dB)，当 =0.25时为 +6(dB)；误差曲线如图所示。 T 1 2lg204)1(lg20 1222222 T TT 0.1 8.0 振荡环节对数幅频特性误差修正曲线 db 16 12 8 4 0 4 8 1.0 2.0 3.0 4.0 6.0 8.0 0.1 2 3 4 6 8 10 05.0 1.0 15.0 2.0 25.0 3.0 4.0 5.0 6.0 0.1 0 decdB /40 40 20 dB )(L 高频渐近线 T1101 T1 T110 低频渐近线 振荡环节渐近线对数幅频特性 由图知，振荡环节的误差可正可负，它们是阻尼比 的函数， 且以 的转折频率为对称，距离转折频率愈远误差愈小。 通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计。经过 修正后的对数幅频特性曲线如图所示。 由图可知，振荡环节 的对数幅频特性在转折频 率 附近产生谐振峰，这 是该环节固有振荡性能在 频率特性上的反映。前面 已经分析过，谐振频率 r 和谐振峰 Mr分别为 T 1 db )(L 20 0 40 T1101 T1 T110 05.0 0.1 5.0 decdb/40 振荡环节对数幅频率特性图 T 1 其中 称为振荡环节的无阻尼 （ =0） 自然振荡频率 ， 它 也是渐近线的转折频率 。 由上式可知 ， 阻尼比 愈小 ， 谐振频 率 r愈接近无阻尼自然振荡频率 n， 当 =0时 ， r= n 振荡环节的相频特性是 )210(21 2 nr 212 1)( rr jGM Tn 1 221 2)( T Tar c t gjG 当 时 ， 当 时 ， 当 时 ， 振荡环节相频特性还是阻尼比 的函数 ， 随阻尼比 变化 ， 相频特性在转折频率 附近的变化速率也发生变化 ， 阻尼比 越小 ， 变化速率越大 ， 反之愈小 。 但这种变化不影响整个相频 特性的大致形状 。 不同阻尼比 的相频特性如图所示 。 0 00)0( jG T 1 090)1( TjG 01 8 0)( jG T 1 00 090 0180 n101 Tn 1 n10 05.0 0.1 振荡环节对数相频特性图 其对数幅频特性是 相频特性是 2)1()( 22 jjG 222222 4)1(lg20)(lg20 jG 221 2)( ar c t gjG 1 （六）二阶微分环节 二阶微分环节的频率特性是 二阶微分环节与振荡节的 Bode 图关于 轴对称，渐近线的转 折频率为 ，相角变化范围是 00至 +1800。 40 20 0 1101 dB 0180 090 0 1 110 精确特性 渐近特性 decdB/40 )( 二阶微分环节的 Bode图 1 1)( jTjG 对数幅频特性和相频特性分别为 对数幅频特性与惯性环节相同；相频特性与惯性环节相比是 以 为对称，相角的变化范围是 -1800至 -900。 Bode如图所示。 1lg20 )(lg20 22 T jG a r c t g T jG 01 8 0 )( 090)( jG （七） 不稳定环节 不稳定环节的频率特性 是 decdB /20 dB )(L T1 )( 度 0 090 0180 不稳定惯性环节的 Bode图 )(01lg20)(lg20 dBjG （度）（弧度） 3.57)( jG (八） 滞后环节 滞后环节的频率特性是 对数幅频特性和相频特性分别为 jejG )( 滞后环节伯德图如图所示 。 其对数幅频特性与 无关 ， 是一条与 轴重合的零分贝 线 。 滞后相角与滞后时间常 数 和角频率 成正比 。 dB )(L 0 )(度 00 1 1 1 10 03.57 0100 0200 滞后环节的 Bode图