梅涅劳斯定理及其应用

梅涅劳斯定理及其应用（姓名）摘要：使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是 可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学 中的一项基本定理，具有重要的作用。本文简单介绍了梅捏劳斯定理及其应用。关键词：共线、共点、应用、梅涅劳斯定理1定理 设X , Y, Z分别是A ABC的BC , CA , AB边或其延长线上的点，且有奇数个点在边的延长线上，则X , Y, Z三点共线的充要条件是BX CY AZ- - =1XC YA ZB2定理的证明证明1:不妨设X , Y, Z中的一点Y在边AC过C引CD /YZ交AB于D，贝BXXCCYYABZZD，DZZA，故BXCYAZBZDZAZ=1XCYAZBZDZAZB反之，若BXCYAZ=1成立，设直线ZX与XCYAZB的延长线上（如图所示）。若X , Y, Z三点共线,AAC的延长线交于Y，即X，Y，Z三点共线，则由上面的证明有空工忆=1与XC YA ZBBX CY 竺=1比较,XC YA ZB可得 =，即y与Y重合，故X , Y, Z三点共线。Y A YA若X , Y, Z三点均在边的延长线上，上面的证明仍然适用。注：“X , Y, Z三点中有奇数个点在边的延长线上”这一条件十分必要，否则梅捏劳斯定理不成立证明2:（正弦定理）如图，令Z AEF =，BC在AAEF中，由正弦定理知：匚二墮 sin a sin B同理BFBDBDCDCEsin ysin（ 180。卩） sin 卩sin asin y.AFsin aBDsin BCEsin y-，AEsinBFsin yCDsin aAFBDCEAFBDCE-1 ，即- -1 .AEBFCDFBDCEA3、梅涅劳斯定理的逆定理梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即如果有三点F、D、E分别在A ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足八卩.BD . CE =】，那么尸、丘三点共线。 FB DC EA注：利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线梅涅劳斯定理的应用梅涅劳斯定理的应用定理1若A ABC的Z A的外角平分线交边BC延长线于p，Z B 的平分线交边 AC 于 Q， Z C 的平分线交边 AB 于R，则P、Q、R三点共线。证明：由三角形内、外角平分线定理知,BP BABCAR CAPC CAQA ABRB CB则竺RBBPBAPCQA CBCABC=1，ABR三点共线。梅涅劳斯定理的应用定理2过任意AABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线父于点P、Q、R，则p、Q、R三点共线。证明：T cr是。O的切线,ARAC s aRCB， RCRB= ?CB则RARARCAC- =( )2 ，RBRCRBCB同理：BPABCQBC( )2， =( )CPACQABA.ARBPCQCABA .- ()2 - ( )2 -(RBPCQACBCA故P、Q、R三点共线。例1已知：过A ABC顶点C求证：AE2 AFEDFB证明：直线CEF截A ABD ，由梅涅劳斯定理，得曰AF BC DE2FB CD EABC)2 = 1，AB RA RC AC的直线，与边AB及中线AD分别父于点F和E .又BC = 2CD， AF DE1 =FB EA2贝lj也=2 AFED FB例2已知：过A ABC重心G的直线分别交边AB、AC及CB延长线于点E、F、D -求证：竺+工=i.EA FA证明：连接AG并延长交BC于M贝 IBM = CM ，T DEG 截 A ABM ，由梅氏定理得,BEAGMD - 19EAGMDB同理：CFAGMD1FAGMDCBEGMDBCFGMDCEAAGMDFAAGMDBECFGM (DB+ DC )GMDB + DC+EAFAAG MDAGMD即BL +工=iEA FA例3 ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G, EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L,交BC于M。求证：DL= BM.证明：如图，设直线LM与BA的延长线交于点J,与DC的延长线交于点I。在AECD与AFAB中分别使用梅涅劳斯定理，得EG DI CH = 1，GD IC HEAG FHGF HB因为AB/CD，所以BJ=1 JAEG AGGD GFCH FHHE HB从而 DL =竺，即 CD + CI = AB + AJ，故 CI=AJ. IC JACIAJ而BM BJMC CIDIAJDL，LA且 BM+MC= BC=AD=AL+LD.所以 BM= DL。点共线。 证明：由三角形内、外角平分线定理知,例4若三角形ABC的zA的外角平分线交边BC延长线于P , zB的平分线交边AC于 Q，Z C 的平分线交边 AB 于 R，贝U P, Q, R 三BPBA CQ BC ARCA 贝PCCA QAAB RBCB 竺.竺.CQ = CA.邑.BC = i, RB PC QA CB CA AB故P,Q,R三点共线。通过对梅涅劳斯定理及其应用的简单介绍，我们可以看出，梅涅劳斯定理的应用是 十分广泛的，所以我们要牢记梅涅劳斯定理、及其定理的证明，还要掌握好其定理的应 用。