高等数学第七节曲率

第七节 曲率.)(,)(是光滑曲线称的一阶导数连续函数xfyxfyoxy)(xfy xx xs x y 对为弧长增量 sxs .的增量比自变量增量x,xyxyxsxs 2222xsdxdsx 0lim,limlimxyxyxsxx 220220,lim1220yxsx 其中1220 xxxsinlimxABxAB2弧长xAB2sin弦长167P弧微分一.22dydx 202201xyxxxyx limlim21xdyd,21y,21ydxdsxdysd21弧微分sdxdyd222ydxdsd,limlimxyxyxsxdsdxx 220220,lim1220yxsx 其中x)(xfy s xxx )(xfy 光滑曲线.,均曲率实际上为该弧段上的平所以sk s 为弧段 .两端切向之转角的与弧段比值ss ,弯曲程度有关.,0sss 直线段对应弯曲越厉害弧越大,常彼此互异上各点处的弯曲程度通弧段s.limsddsks 0PPskss 00 limlim则极限,)(PPs即让弧长0.,kP记为点弧的曲率为曲率及其计算公式二.sddk.)(,点的曲率xfxP)()(arctanxssxy dxdsdxdsdd 2211yyy.2321 yy 2321 yyk.,.0k直线曲率弯曲越厉害曲率越大按:结论)(.axaxay221例.的上半圆方程半径为a,22xaxy,3222xaay 2321yyk 曲率2322232221xaxxaa.a1.aa1的圆之圆弧曲率处处为半径为.2322 )()(.tytx 参数方程例20)(t.)(xyy 确定曲线弧,)()(ttxyyx xtxxttty)()(,3 2321yyk 232231 .2322yxxyxyk 或,.cbxaxy23二次抛物线例,baxy2.ay2 2321yyk 曲率.)(232212baxa,0kx时当显然.近似为直线两端即抛物线的,为曲率之最大值时当akabx22.)(弯曲最厉害曲率最大即二次抛物线在顶点处,时当1 y.yyyk 2321.关系密切曲率与 y sin)cos(sincos)cos(cos.11aryarx解xyo.,)cos(:.014aar 心形线方程例)(9345P.k求曲率 sin)cos(cossin1ax)sin(sin 2a coscosaax 22 cos)cos(sinsin1ay)coscos(2a sinsinaay 222322yxxyxyk .)cos(1223a0#.)(min,kak43时当oxy,),(00yxD取点D)(xfy M,),()(yxMxfy上取一点在曲线.2321yykM 点的曲率则yy 2321.点的曲率半径称为曲线在 M.直线段的曲率半径为,k1 yyyxx)(201yyyy 201.,画圆为半径为圆心以DMD点在此圆称为曲线Mxfy)(.的曲率圆:曲率圆与曲线三同.,同凹向同曲率同切线.为曲率中心点D*曲率圆与曲率半径三.yy2321)(2020)()(yyxxr曲率圆半径222222211yyyyy )()(oxyD)(xfy Mr),(00yxDyyyxx)(201yyyy 201点有相所以曲率圆与曲线在 M,同的曲率半径.从而有相同的曲率的斜率DMxxyyk00yyyyy )(2211y1,ykM的斜率点的切线而曲线在)(.,同切线也是曲率圆的切线所以DMoxyD)(xfy Mr,上方在曲线为凹的时当MDyyyyy01020 ,下方在曲线是凸的时当MDyyyyy01020 .凹向曲率圆与曲线有相同的之间铁轨应如何设计OA,.运行火车沿例AOB1?才能使火车运行平稳BO),(22AXY,)(.xfyOA方程为设解运行时离心力火车沿 OAkvmvmF22),(曲率曲率半径k,而变化随曲率离心力为常数时当kFvm不连续当k,发生跳变而震动时 F.,火车运行才能平稳连续时只有当k:)(,应当满足因此xf,)(.001f,)(.002 f方向一致与BO,)(.003 f段曲率相同与即BOk0.)(.224f点火车过 A012233axaxaxaxf)(如果选:,)(,得的四个系数确定根据前述四个条件xf.)(341xxf#:小结.1 作图.,等内容渐近线凹凸与拐点极值单调涵盖了.2 最大值与最小值.,必是极值点如果是唯一驻点对于实际问题,都是可能最值点闭区间端点不可导的点驻点:判定;,比较大小算出以上各点之函数值.曲率与弧微分3.tdyxdydxdxyds222221弧微分.2321yyk 曲率,R1圆的曲率.圆半径R.yyk 23211 曲率半径.半径圆的曲率半径就是它的.,:*同凹向同曲率同切线曲率圆与曲线三同)(*曲率圆的圆心曲率中心yyyxx)(210yyyy 210