高等数学第四章续导数在经济学中的应用

4 导数在经济学中的应用导数在经济学中的应用边际与边际分析边际与边际分析规律的方法叫作规律的方法叫作边际分析法边际分析法。1、边际成本、边际成本设成本函数为设成本函数为)(xC，当产量由当产量由 x变为变为 xx时，时，成本函数的增量为成本函数的增量为)()(xCxxCC，这时成本这时成本函数的平均变化率函数的平均变化率 xxCxxCxC)()(为平均意义下，为平均意义下，边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济济变量的济变量的变化率变化率。利用导数来研究经济变量边际变化利用导数来研究经济变量边际变化当产量由当产量由 x增加一个单位时所增加的成本，当增加一个单位时所增加的成本，当 0 x时，若上式极限存在，即时，若上式极限存在，即)(xC可导，则有可导，则有.)()(limlim)(00 xxCxxCxCxCxx我们称我们称)(xC为为边际成本函数边际成本函数，其经济学的解释为：，其经济学的解释为：)(xC近似等于当产量为近似等于当产量为 x时，若再增加一个单位产量所需增加时，若再增加一个单位产量所需增加的成本。这是因为的成本。这是因为 ).()()()1(xCxCxCxC2、边际收益、边际收益设产品销量为设产品销量为 x时的收益为时的收益为)(xRR（称为（称为收益函数收益函数），），)(xR可导时，可导时，收益函数的变化率收益函数的变化率xxRxxRxRxRxx)()(limlim)(00称为销量为称为销量为 x时该产品的时该产品的边际收入边际收入，它的经济学解释为：，它的经济学解释为：)(xR近似等于当销量为近似等于当销量为 x时，再销售一个单位产品所增加时，再销售一个单位产品所增加（或减少）的总收益。（或减少）的总收益。当当3、边际利润、边际利润设某产品销量为设某产品销量为 x时的总利润为时的总利润为)(xLL，当，当)(xL可导时，利润函数的变化率可导时，利润函数的变化率xxLxxLxLxLxx)()(limlim)(00称为销量为称为销量为 x时的边际利润。时的边际利润。)(xL近似等于销量为近似等于销量为它的经济学解释为：它的经济学解释为：（或减少）的利润（或减少）的利润.x时，再多销售一个单位产品所增加时，再多销售一个单位产品所增加由于总利润为总收入与总成本之差，即由于总利润为总收入与总成本之差，即),()()(xCxRxL从而从而),()()(xCxRxL可知边际利润是边际收益与边际成本之差。可知边际利润是边际收益与边际成本之差。设商品的需求量为设商品的需求量为 Q，价格为价格为 p，需求函数，需求函数).(pQQ 4、边际需求、边际需求)(pQdpdQ称为称为边际需求函数边际需求函数。经济意义经济意义为：当价格为为：当价格为p时，价格上涨（或下降）时，价格上涨（或下降）1个单个单位，需求量将减少（或增加）位，需求量将减少（或增加）)(pQ个单位。个单位。)(pQQ 的反函数的反函数)(1QQP称为称为价格函数价格函数。例例1 设某厂生产某产品的固定成本为设某厂生产某产品的固定成本为2000（元），生产（元），生产 x个产品的可变成本为个产品的可变成本为 xx1001.02（元），如果产品的（元），如果产品的销售价为销售价为30元，试求边际成本、边际利润以及边际利润元，试求边际成本、边际利润以及边际利润为零时的产量。为零时的产量。解解 总成本函数为总成本函数为,20001001.0)(2xxxC故边际成本函数故边际成本函数.1002.0)(xxC又由总收益函数又由总收益函数 xpxxR30)(知，总利润函数为知，总利润函数为,20002001.0)()()(2xxxCxRxL故边际利润函数为故边际利润函数为).1000(02.02002.0)(xxxL显然，当月产量为显然，当月产量为1000单位时，边际利润为零。单位时，边际利润为零。例例2设某产品需求量设某产品需求量 px101000，其中，其中 p为价格，为价格，求边际收益函数以及求边际收益函数以及 600,500,200,100 x时的边际收益。时的边际收益。解由总收益函数为解由总收益函数为 pxxR)(，又根据需求函数知又根据需求函数知),101100(xp从而总收益函数为从而总收益函数为,100101)101100()(2xxxxxR故边际收益函数为故边际收益函数为).500(5110051)(xxxR令令;0,0)(xxR由此可知，当销量小于由此可知，当销量小于500时，再增加销售可使总收入增时，再增加销售可使总收入增加，但销量超过加，但销量超过500时，收益会减少。时，收益会减少。,0500,0500R，xR，x时当时又当.20)600(,0)500(,60)200(,80)100(RRRR).500(5110051)(xxxR由由得得4、2 弹性与弹性分析弹性与弹性分析定义定义 设函数设函数)(xfy 在点在点)0(00 xx的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，弹性概念是经济学中的另一个重要概念弹性概念是经济学中的另一个重要概念.相对改变量相对改变量(或增量或增量)。在经济学问题中，光有绝对数的概念是不够的。在经济学问题中，光有绝对数的概念是不够的。例如：甲商品价格为例如：甲商品价格为5元，涨价元，涨价1 元；乙商品价格为元；乙商品价格为200元，元，涨价涨价1 元。价格的绝对改变量相同，哪个商品涨价幅度更大？元。价格的绝对改变量相同，哪个商品涨价幅度更大？我们用与原价之比来回答，甲商品涨价幅度为我们用与原价之比来回答，甲商品涨价幅度为20%，乙商品，乙商品涨价幅度为涨价幅度为0.5%.对函数对函数yyxxxfy与),(分别称为自变量与因变量的分别称为自变量与因变量的且且,0)(0 xf如果极限如果极限 00000000/)(/)()(lim/)(/limxxxfxfxxfxxxfyxx存在，则称此极限值为函数存在，则称此极限值为函数)(xfy 在在 0 x处点弹性，处点弹性，记为记为0 xxExEy，而称比值而称比值000000/)(/)()(/)(/xxxfxfxxfxxxfy)(xfy 在在 0 x到到 xx0之间的平均弹性。之间的平均弹性。为函数为函数可知可知),()(0000 xfxfxExEyxx当当 x很小时，得很小时，得,/)(/000 xxxfyExEyxx若函数若函数)(xfy 在在),(ba可导，且对可导，且对 0)(),(xfbax则称则称，平均函数边际函数xydxdyxfxfxExEy)()(为函数为函数)(xfy 在区间在区间),(ba内的内的点弹性函数点弹性函数，简称，简称弹性函数弹性函数。弹性在经济上又可理解为边际函数与平均函数之比。弹性在经济上又可理解为边际函数与平均函数之比。)(xf近似地改变近似地改变%.)(0 xxExEy0 xxExEy表示在点表示在点0 xx 处当处当x产生产生1%的改变时，的改变时，在经济上在经济上（应用中常略去（应用中常略去近似近似二字。）二字。）;0,ExEycy（1）;1,ExEyaxy（2）常用的弹性公式常用的弹性公式（4）;,bExEyaxyb（5）.,xExEyaeyx;,baxaxExEyax+by（3）)()(xfxfxExEy设商品的需求量为设商品的需求量为 Q，价格为价格为 p，需求函数，需求函数)(pQQ 可导，则称可导，则称)()(pQpQpEpEQ为该商品的需求的价格弹性，简称为需求弹性，常记为为该商品的需求的价格弹性，简称为需求弹性，常记为).(p表示某商品表示某商品程度程度.当价格上涨时，需求减少，因而当价格上涨时，需求减少，因而)(pQ是递减函数，是递减函数，经济学中常见的弹性函数经济学中常见的弹性函数 需求的价格弹性需求的价格弹性当价格变化一定的百分比以后引起需求量的反映当价格变化一定的百分比以后引起需求量的反映,0)(pQ一般为负值。一般为负值。从而从而)(p有有（1）当）当 1)(p时，称为单位弹性，此时商品需求量的变动时，称为单位弹性，此时商品需求量的变动与价格变动按相同百分比进行；与价格变动按相同百分比进行；1)(p即即 1)(p商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，说明需求商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，说明需求说明商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，说明商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，即价格变动对需求影响不大。即价格变动对需求影响不大。需求的价格弹性在经济学中的意义需求的价格弹性在经济学中的意义：（2）当）当时，称为高弹性，此时时，称为高弹性，此时量对价格的变动较敏感；量对价格的变动较敏感；0)(1p时，此时时，此时 1)(p（3）当）当，称为低弹性，称为低弹性，例例3 设每天从甲地到乙地的飞机票的需求量为设每天从甲地到乙地的飞机票的需求量为.9000,900500)(pppQ为机票价格，问价格在什么范围内，需求为高弹为机票价格，问价格在什么范围内，需求为高弹 p其中其中性和低弹性的？性和低弹性的？解解 由于由于,900250)(ppQ故故,)900(2900250900500)(pppppp故当故当,19002)(ppp)()(pQpQpEpEQ时为低弹性的。时为低弹性的。例例4*已知某企业某产品和需求弹性在已知某企业某产品和需求弹性在1.23.1之间，如果之间，如果 该企业准备明年降价该企业准备明年降价10%，问该商品的销售量预计会增加，问该商品的销售量预计会增加即即6000 p900600 p时，为高弹性的，而当时，为高弹性的，而当多少？总收益预计会增加多少？多少？总收益预计会增加多少？解由解由,/)(ppQQp得得,)(pppQQ从而从而,)(1)(1 pppQppRR时时当当 3.1)(p%.3)10010)(3.1(RR当当时，时，1.2)(p%,13)10010)(3.1(QQ%,21)10010)(1.2(QQ%.11)10010)(1.21(RR由于由于,)(1)(,QdpppdQQdppQdRpQR可见明年降价可见明年降价%10，企业销售量预计将增加约，企业销售量预计将增加约%21%13总收入增加约总收入增加约%.11%343经济中的优化问题经济中的优化问题在经济活动中，经常有收益最大、成本最低、效益最好在经济活动中，经常有收益最大、成本最低、效益最好 等要求，实际上都是经济函数中的极值或最值问题。等要求，实际上都是经济函数中的极值或最值问题。例例5某养猪场有固定成本某养猪场有固定成本20000元，一年最多能养元，一年最多能养400 养猪数养猪数 x的函数的函数.40021)(2xxxR问一年养多少头猪问一年养多少头猪 头猪，已知每养一头猪成本增加头猪，已知每养一头猪成本增加100元，且总收益元，且总收益 R是是总利润最大，最大值是多少？总利润最大，最大值是多少？解由解由,10020000)(xxC得得.400,0,2000030021)()()(2xxxxCxRxL由由0300)(xxL得得300 x又又,01)(xL25000)300(L故故为极大值，为极大值，从而为年最大利润。从而为年最大利润。例例6某企业开发一种新产品，已知生产销售某企业开发一种新产品，已知生产销售 x件产品件产品所需成本所需成本 xxC525000)(（元），若每件产品价格按（元），若每件产品价格按)60001(30 xp来定，问生产销售多少件产品，能够使来定，问生产销售多少件产品，能够使企业盈利最大？此时价格为多少？企业盈利最大？此时价格为多少？解由解由250005)60001(30)()()(xxxxCxRxL,250002520012xx.10025)(xxL得得令令,0)(xL得唯一驻点得唯一驻点.2500 x又又,0.1001)2500(L故故.2500 x为极大值点，从而亦为最大值点，此时为极大值点，从而亦为最大值点，此时5.17)600025001(30p（元）（元）作业p100 16;17;21.