D53多元函数的导数与微分

目录 上页 下页 返回 结束 第五章 第三节第三节一、方向导数一、方向导数 与偏导与偏导数数二、全微分二、全微分 四、高阶偏导数及高阶全微分四、高阶偏导数及高阶全微分 多元数量值函数的导数与微分多元数量值函数的导数与微分三、梯度及其与方向导数的关系三、梯度及其与方向导数的关系 五、多元复合函数的偏导数和全微分五、多元复合函数的偏导数和全微分 六、由一个方程确定的隐函数的微分法六、由一个方程确定的隐函数的微分法目录 上页 下页 返回 结束 l、方向导数与偏导数、方向导数与偏导数0,.lxxte tR=+l引例引例:设设20,xR 是平面上某一向量，是平面上某一向量，20:()f U xRR 彤,le 其单位向量记为其单位向量记为 方向的变化率方向的变化率.解：解：0 x作与作与l 平行的直线平行的直线 L,它的方程为它的方程为过点过点 f(x)在点在点 处沿方向处沿方向l 的变化率，就是当点的变化率，就是当点x 在直线在直线 L0 x 上变化时上变化时f(x)在点在点 处的变化率处的变化率.0 x 是一个二元函数是一个二元函数.现讨论现讨论 f 在点在点 处沿处沿l0 x Lle0 x目录 上页 下页 返回 结束 0()()lf xf xte=+在在 与与 固定的情况下，当点固定的情况下，当点x 在直线在直线L 上变化时，函数上变化时，函数0 x le 0()().lF tf xte=+是自变量为是自变量为t 的一元函数，记作的一元函数，记作因此，因此，f(x)在在 处沿方向处沿方向l 的变化率就是函数的变化率就是函数F(t)在在t=00 x 处的导数，即处的导数，即0()(0)limtF tFt-000()()lim.ltf xtef xt +-=目录 上页 下页 返回 结束 一、方向导数的定义一、方向导数的定义l定义定义:设设20,xR 是平面上一向量，与是平面上一向量，与l 同向的同向的存在，则称此极限值为存在，则称此极限值为 f 在在00)().(ltef xf x+-从而对应的函数值有改变量从而对应的函数值有改变量 若若内让自变量内让自变量x 由由 沿与沿与 平行的直线变到平行的直线变到0,lxte+0 x le 0()U x 20:(),f U xRR 彤.le 单位向量为单位向量为二元函数二元函数在在000()()limltf xtef xt +-或或记作记作0,xfl0(),f xl即即0 xfl=000()()lim.ltf xtef xt +-0 x沿沿 l 方向的方向的方向导数方向导数。目录 上页 下页 返回 结束 关于方向导数的几点说明关于方向导数的几点说明(1)定义中的定义中的 t 的绝对值是两点的绝对值是两点与与 0 x 0lxte+之间的距离之间的距离d.关于距离的变化率关于距离的变化率.(2)方向导数实际上是函数方向导数实际上是函数 f 在在 0 x 沿沿 l 方向方向沿沿 l 方向增加方向增加(减少减少).则则 f 在在 处处00(0),xfl0,的方向与的方向与l 的方向相对应，的方向相对应，0P P00()()lf xtef xt+-0P P表示曲线表示曲线C的割线的割线与向量与向量 l0P P夹角的正切值夹角的正切值,即即(关于关于 l 的方向的方向)的斜率的斜率.过直线过直线0:lL xxte=+作平行于作平行于z 轴的平面轴的平面II，目录 上页 下页 返回 结束 方向导数的几何意义方向导数的几何意义(2)当当t 0,的方向与的方向与l 的方向相反，的方向相反，0P P0000()()()()llf xtef xf xf xtett+-+=-0PP表示表示(关于关于 l 的方向的方向)的斜率的斜率.当当0,t0,xx割线转化为切线割线转化为切线.它关于它关于 l 方向的斜率是方向导数方向的斜率是方向导数0.xfl目录 上页 下页 返回 结束 例例3.1 设二元函数设二元函数 求求 f 在点在点(0,0)沿方向沿方向2222422,0(,),00 xyxyf x yxyxy+=+=(cos,sin)leqq=的方向导数的方向导数.解：解：当当cos0q时，有时，有0(0,0)(cos,sin)(0,0)limtff ttfltqq-=222240cossinsinlim;cossincosttqqqqqq=+当当cos0q=时，由于时，由于(cos,sin)(0,0)0,f ttfqq-=从而从而(0,0)0.fl=目录 上页 下页 返回 结束 偏导数的定义偏导数的定义),(yxfz 在点在点),(00yx的邻域的邻域设函数设函数00000(,)(,)(,)lim xxfyfyfxyD-=xx00 xx;),(00yxxz;),(00yxfx;),(00yxxz即即:定义定义内定义，若内定义，若 f 在点在点处沿处沿 x 轴轴(y 轴轴)00(,)U xy),(00yx00(,)xy则称此方向为则称此方向为 f 在点在点正向的方向导数存在，正向的方向导数存在，f 对对x的偏导数，记为的偏导数，记为处对处对x(y)的的偏导数偏导数.同理给出同理给出 f 对对 y 的偏导数的记号和定义式的偏导数的记号和定义式.目录 上页 下页 返回 结束 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线是曲线0),(xxyxfzyTM0在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线0 xyTyxzOxT0y对对 y 轴的轴的0M),(00yx目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点各偏导数都存在函数在某点各偏导数都存在,显然显然例如例如,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00注意：注意：但在该点但在该点不一定连续不一定连续.上节例上节例 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.2 求求223yyxxz解法解法1xz)2,1(xz解法解法2)2,1(xz在点在点(1,2)处的偏导数处的偏导数.)2,1(yz,32yx yzyx23,82312)2,1(yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先求后代先代后求先代后求目录 上页 下页 返回 结束),(yxfz 在区域在区域 D D 内有定义，内有定义，设函数设函数 0(,)(,)(,)lim xxfxx yfx yfx yxD+D-=D及及定义：定义：则则 f 对对 x 及及 y 的的偏导函数偏导函数分别定义为分别定义为0(,)(,)(,)lim yyf xyyf xyfx yyD+D-=D其中其中(,),(,),(,).x yD xx yD x yyD+D+D f 对对 x 的的偏导函数简记为偏导函数简记为,.xxfzfzxx抖抖 f 对对 y 的的偏导函数简记为偏导函数简记为,.yyfzfzyy抖抖偏导函数的定义偏导函数的定义目录 上页 下页 返回 结束 arctan,yzx=设函数22221.1zyyxxxyyx-=-+骣+桫及及例例求(1,1)1.2zx=-解解：把 y 的看作常数，对x求导得,zzxy抖抖(1,1).zx 把 x 的看作常数，对y求导得22211.1zxyxxyyx=+骣+桫由zx得目录 上页 下页 返回 结束 例例 设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例 求222zyxr的偏导数.解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry目录 上页 下页 返回 结束 第五章 二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用 应用 一元函数 y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差本小节内容本小节内容:一、二元函数全微分的定义、二元函数全微分的定义 全微分全微分目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义3.3 设函数设函数 z=f (x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域内的某邻域内0000(,)(,)zf xx yyf xy 12(),zaxayo 可以表示为可以表示为,函数函数f 在在有定义有定义.如果对于如果对于0000(,)(,)xx yyU xy(x0,y0)处的改变量处的改变量其中其中 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x0,y0 有关，则称有关，则称12,a a22)()(yx f(x,y)在点在点(x0,y0)可微可微，并称，并称 为函数为函数f 12axay 在点在点(x0,y0)的的全微分全微分,记作记作0,00,0()()1212|x yx ydzdfaxaya dxa dy 目录 上页 下页 返回 结束 问题：问题：1.f 在什么条件下可微？在什么条件下可微？2.当当 f 可微时，可微时，代表什么？代表什么？12,a a3.如何计算全微分？如何计算全微分？4.函数的可微性与连续性及方向导数（偏导数）之函数的可微性与连续性及方向导数（偏导数）之 间又有什么关系？间又有什么关系？目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.1(可微的必要条件可微的必要条件)若函数若函数 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)可微可微,则则(1)f 在在(x0,y0)处连续；处连续；(2)f 在在(x0,y0)处沿任意处沿任意l 方向的方向导数均存在，方向的方向导数均存在，特别的，特别的，f 在在(x0,y0)处的两个偏导数均存在，且有处的两个偏导数均存在，且有000000d(,)(,)(,)xyf xyfxy dxfxy dy及及000000(,)(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl其中其中 是是 l 方向上的单位向量方向上的单位向量.(cos,cos)le目录 上页 下页 返回 结束 000012(,)(,)()zf xx yyf x ya x a y o 证：证：(1)当当 f 在在点点(x0,y0)可微时可微时,有有 12()zaxayo 000000lim(,)(,)xyf xx yyf xy 或或000cos,cos,(,)xtytxx y 成立成立,0(00),xy 令即,得0lim0z 所以所以 f 在在(x0,y0)处连续；处连续；(2)由可微的定义由可微的定义,有有取取目录 上页 下页 返回 结束|22xyt则有则有,及及000000(cos,cos)(,)()()lf xtytf xyf xtef x12coscos()ata to于是由方向导数的定义式有于是由方向导数的定义式有00000(,)()()limltxyf xtef xflt120()lim(coscos)toaat120(|)coscoslimto taat12coscosaa由上可知，当由上可知，当f 在点在点(x0,y0)处可微时，处可微时，f沿任意沿任意l方向的方向导数均存在方向的方向导数均存在.目录 上页 下页 返回 结束 特别地，特别地，f 在在(x0,y0)处的两个偏导数均存在处的两个偏导数均存在.当当 分别取分别取(1,0)和和(0,1)时，时，由上式可得由上式可得于是由全微分定义，定理得证！于是由全微分定义，定理得证！(cos,cos)le100(,)xafxy200(,)yafxy函数函数 z=f(x,y)在点在点 (x0,y0)可微可微0000(,)(,)()xyzfxyxfxyyo 二元函数在一点处的全微分不仅与二元函数在一点处的全微分不仅与 f 在该点处的各个在该点处的各个偏导数有关，还与各自变量的改变量偏导数有关，还与各自变量的改变量x,y有关有关.目录 上页 下页 返回 结束 如果如果f 在区域在区域 的每一点均可微，则称的每一点均可微，则称 f 是是 内内的的可微函数可微函数.此时全微分可简记为此时全微分可简记为df 或或 dz，其计算公，其计算公式为式为2R dfffdxdyxy可微与偏导数的关系（可微与偏导数的关系（1）:函数可微函数可微偏导数存在偏导数存在),(yxf2222,0 xyxyxy0,022 yx例例f在原点处两个偏导数在原点处两个偏导数都存在，但是在原点都存在，但是在原点却不连续，故不可微！却不连续，故不可微！目录 上页 下页 返回 结束 例例3.7 讨论函数讨论函数),(yxf在点在点O(0,0)处的连续性与可微性处的连续性与可微性.22220 xyyxyxy易见易见 f 在点在点(0,0)处连续处连续.再由偏导数的定义，可得再由偏导数的定义，可得0,2222yxyxyx0,022 yx证证:由由0(0,0)(0,0)(0,0)lim0 xxfxffx(0,0)0yf同理，故故 f 在点在点(0,0)处的两个偏导数均存在处的两个偏导数均存在.目录 上页 下页 返回 结束 例例3.7 讨论函数讨论函数),(yxf在点在点O(0,0)处的连续性与可微性处的连续性与可微性.0,2222yxyxyx0,022 yx证证:)0,0()0,0(yfxfzyx因此因此,函数在点函数在点(0,0)不可微不可微.)(o22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0目录 上页 下页 返回 结束 ),(yyxxf定理定理3.2(充分条件充分条件)yzxz,证：证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),(yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),(yxf),(yyxfyyxfy),(若函数若函数),(yxfz 的偏导数的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点则函数在该点可微分可微分.0lim00yx,0lim00yx目录 上页 下页 返回 结束 zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数所以函数),(yxfz),(yxyx在点在点可微可微.0lim00yx,0lim00yx注意到注意到,故有故有)(o目录 上页 下页 返回 结束 例例3.8 计算函数计算函数在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.yxze解解:xz22e2)1,2(,e)1,2(yzxzyxzde2ded22)1,2(例例3.9 计算函数计算函数的全微分的全微分.zyyxue2sin解解:udxd1yyd)cos(221 zyzydeyz,eyxyyxxe)d2d(e2yx zyze目录 上页 下页 返回 结束 可微与偏导数的关系（可微与偏导数的关系（2）:偏导数连续偏导数连续函数可微函数可微 例例在点在点(0,0)处可微，处可微，),(yxf22221()sin,(,)(0,0)xyx yxy)0,0(),(,0yx但偏导数在点但偏导数在点(0,0)不连续不连续.证明函数证明函数证证:易求得易求得 ,因此因此 有有(0,0)(0,0)0 xyff(0,0)(0,0)(,)(0,0)00 xyffxfyfxyf 2211()sinsin()2222xyoxy 故故f 在点在点(0,0)处可微。处可微。目录 上页 下页 返回 结束 当当 f 不在点不在点(0,0)处时，有处时，有222222121(,)2 sincosxxfx yxxyxyxy由于由于22001lim2 sin0 xyxxy而而22222002111limcoslimcos2xxy xxxyxyxx不存在，不存在，所以所以 在点在点(0,0)处间断，同理处间断，同理 也在也在点点(0,0)间断间断.(,)xfx y(,)yfx y目录 上页 下页 返回 结束 xxu推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如例如,三元函数三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作记作uxd称为称为偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分为的全微分为yyuzzu于是于是uuuzyxd,d,d目录 上页 下页 返回 结束 例例3.11 求求 的全微分的全微分.2221(,)f x y zxyz解解:显然，在除了原点之外的所有点，显然，在除了原点之外的所有点，f 的所有偏的所有偏 导数均存在且连续，因此由导数均存在且连续，因此由定理定理知知 f 可微，则可微，则xyzdff dxf dyf dz222 3/2()xdxydyzdzxyz 2220 xyz（）目录 上页 下页 返回 结束 例例3.12 求 的近似值.331.971.01解解 令令 (,)33f x yxy00(,)(2,1),xy10.030.0 xy ，2(2,1)3(2,1)2233xxfxy2(2,1)31(2,1)2233yyfxy(,)(,)(,)330000001.971.01f xx yyf xydf xy(2,1)(2,1)(2,1)2.945xyffxfy 二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用目录 上页 下页 返回 结束 一、复习一、复习:沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,001()()cosniiif xf xxl且有若 n 元函数 f 在点 可微，0 x则函数在该点12(cos,cos,cos)lne为l 方向上其中的单位向量。第五章 梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系目录 上页 下页 返回 结束 方向导数公式令向量这说明 方向：f 变化率最大的方向模（范数）:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：00012()()(),nf xf xf xgxxx0(),lf xg el 0()maxf xglcos(,)lgg e 001()()cosniiif xf xxl12(cos,cos,cos)lne当与 的方向一致时，legg目录 上页 下页 返回 结束 定义（梯度）定义（梯度）0(),grad f x即00()()grad f xf x 0(),f x或或00012()()(),nf xf xf xgxxx设函数则称向量12()(,)nuf xf x xx在点 可微，0 x00012()()(),nf xf xf xxxx为函数 f(gradient),在点 处的梯度向量，简称梯度0 x记作00012()()(),nf xf xf xxxx目录 上页 下页 返回 结束 12,nxxx 其中称为向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.它本身没有意义，将 作用于函数 f 就得到一向量，即0()f x00012()()(),nf xf xf xxxx同样可定义二元函数),(yxf),(yxP),(,),(),(yxfyxfyxffyxgrad在点处的梯度 目录 上页 下页 返回 结束 注：注：1.方向导数可以表示成：000()(),(),llf xgradf xef xel 2.若记，则利用梯度可将12(,)ndxdx dxdxf 在点 x 处的全微分写成：()(),df xf x dx方向导数公式001()()cosniiif xf xxl目录 上页 下页 返回 结束 例例3.11 求二元函数22uxxyy在点 P（-1，1）处沿方向1(2,1)5le 的方向导数，并指出u 在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u 沿哪个方向减小的最快？沿着哪个方向u 的值不变化？解：解：(1,1)(1,1)(1,1)(,)(2,2)(3,3)uuxyuxyyx(1,1)(1,1)13,(63)55luuel 目录 上页 下页 返回 结束(1)方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向，方向导数的最大值为(1,1)3 2.uu 沿梯度的负向即的方向减小的最快。1(1,1)21(1,1)2量为(2)(3)下求使 u 的变化率为零的方向。令(cos,sin)le则：(1,1)(1,1),3cos3sinluuel 3 2sin()4令0ul得,44，此时u 的值不变化。目录 上页 下页 返回 结束 2.梯度的运算法则梯度的运算法则ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad)(3)uvvuvugradgradgrad)(4)uufufgradgrad)()()6(00)1(cc或grad为常数）c(ucuc)(或vuvu)(或uvvuvu)(或uufuf)()(或2)()5(vvuuvvugradgradgrad2)(vvuuvvu或目录 上页 下页 返回 结束 3.4 高阶偏导数高阶偏导数1.定义定义 如果 n 元函数()uf x的偏导函数()if xx在点 对变量 的偏导数存在，则称这个偏导0 xjx数为f 在点 先对变量 再对变量 的二阶偏导二阶偏导0 xixjx数数，记为：020()()jijix xf xfxxxx 或0()ijx xfx或(2)0()ijfx其中1,1injn 目录 上页 下页 返回 结束 例如：例如：二元函数 z=f(x,y)的二阶偏导数共有四个，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy按求导顺序不同,有22xz);,(yxfxx2zy x),(yxfyx2(,);y xzfx yx y x其中 和 为二阶混合偏导数。(,)x yfx y(,)yxfx y目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶)(y1nnzy x 偏导数为11nnxz二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数。目录 上页 下页 返回 结束 yxe22例例3.12 求函数yxez2.23xyz解解:xz22xz3222()zzy xyx yz2zx y 2 zy x 22 yz注意注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及 目录 上页 下页 返回 结束,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理定理.例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等(证明略)证明 目录 上页 下页 返回 结束 例例 证明函数22222)(yxxy22222)(yxxy22lnyxz满足拉普拉斯方程02222yzxz证：证：xz22xz2222zzzxy 22yxx22222)(2yxxxyx0yz22yxy22yz22222)(2yxyyyx22222)(yxyx22222)(yxyxz 目录 上页 下页 返回 结束 3.5 多元复合函数的偏导数和全微分多元复合函数的偏导数和全微分在一元函数的求导法中，复合函数的链式法则发挥了非常重要的作用。函数。本部分将把链式法则推广到多元论述链式法则。(,),(,)zf u x y v x y为了论述简洁，我们以由两个中间变量和两个自变量构成的复合函数为例来定理定理设(,)uu x y和(,)vv x y均在点(,)x y处可微，而函数(,)zf u v在对应的点(,)u v处处可微，则复合函数(,),(,)zf u x y v x y在(,)x y目录 上页 下页 返回 结束 也必可微，且其全微分为yyzxxzzddddzuzvyuyvyuzvzuz(dd)uuxyxy(dd)vvxyxyduvzdvdzuzvxuxvx（全微分形式不变性）（全微分形式不变性）证明：证明：令自变量,x y分别有改变量,xy则函数,u v相应地分别有改变量,uv从而函数f目录 上页 下页 返回 结束 有改变量.z由于,u v均在点(,)x y处可微，故有1(),uuuxyxy 2(),vvvxyxy 其中22,xy()(1,2)ii 是当0时关于的高阶无穷小。又由于函数f在(,)x y所对应的(,)u v处可微，故有22(),zzzuvuvuv 将上述(1)(2)两式带入(3)式并加以整理，(1)(2)(3)则得目录 上页 下页 返回 结束 (,),(,)zf u x y v x y复合函数的改变量为,zuzvzuzvzxyuxv xuyv y (4)其中2212()()().zzuvuv 要证明定理成立，只需证明（4）式中的为的高阶无穷小，即22120()()()lim0.zzuvuv 注意到zzuv、均与无关，以及0()lim0(1,2),ii 目录 上页 下页 返回 结束 从而有120()()lim0.zzuv 因此，以下只需证明220()lim0.uv由于22222222()(),uvuvuvuv(5)而当充分小时，由（1）式可知1()1uxyuuuuxyxy 故u有界，同理可知v也有界，因此22uv有界。目录 上页 下页 返回 结束 又由,u v的可微性知,u v在(,)x y处连续，即当0时，有0u 及0,v 所以有22220()lim0uvuv于是由（5）式知220()lim0.uv证毕。由定理可见，复合函数(,),(,)zf u x y v x y有链式法则：,zzuzvxuxv x .zzuzvyuyv y 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的复合可以有多种情况，例如：（1）设(,),zf u v(),ux()vx均可微，则复合函数(),()zfxx是x的一元可微函数，zvuxx可得dzz duz dvdxu dxv dx此式称为复合函数z对x的全导数公式全导数公式。（2）设(),(,)f u ux y z均可微，则复合函数(,)f u x y z可微，它有一个中间变量、三个自变量，可得：,dududuxduxyduyzduz目录 上页 下页 返回 结束（3）设(,),(,)uf x y zzx y均可微，则复合函数,(,)uf x y z x y可微，它有三个中间变量，两个自变量，可得：,.uffzuffzxxzxyyzy 注意注意:这里uxxfux表示 xf表示与不同,(,)uf x y z x y固定 y 对 x 求导,(,)uf x y z固定 y、z对 x 求导。目录 上页 下页 返回 结束 例例3.16 设设(,),zf x xy其中(,)zf u v可微，求,.zzxy解解:由于ux及vxy显然可微，故复合函数可微，,zf dufvffyxu dxv xxv .zfvfxyv yv 把(,)f x xy中的x看作是第一个变量，xy看作是第二变量，有时采用下面的记号更为方便清晰：12.zfyfx其中1f表示f对第一个变量的偏导数，2f表示f对第二个变量的偏导数。说明：说明：目录 上页 下页 返回 结束 例例3.17 设设22(),uxy其中可导，0.uuxyyx证证:把看作是由函数()uz复合而成，分别对()2,()2,uuzxzyxy从而求证：22()uxy及22zxyx与y求导得2()2()0.uuxyxyzxyzyx目录 上页 下页 返回 结束 例例设设(,),zf u x y其中f具有对各变量的连续的2.zy x 二阶偏导数，且,yuxe求解解:根据函数的复合结构及复合函数的链式法则，得12yzfuff efxuxx 注意到12ff、都是,u x y的三元函数，再有链式法则，2121()yyffzzef ey xyxyy 111312123()yyyyf xefef ef xef其中ijf表示f先对第i个变量求导，再对第j个求导.目录 上页 下页 返回 结束 在解决物理、力学等问题时，常需要把一种坐标系下的偏导数转化成另一种坐标系下的偏导数，如下例：例例求22()()uuxy与2222uuxy在极坐标中的表达式，其中(,)uF x y具有连续的二阶偏导数。解解:令cos,sin,xy从而22,arctan,yxyx此时(,)(cos,sin)uF x yF 22(,)(,arctan)yFFxyx 可以把(,)uF x y看作(,)uF 与22,arctanyxyx复合而成(1)目录 上页 下页 返回 结束 应用链式法则得,uuuuuuxxxyyy由（1）式得2222cos,sin,xxyyxyxyxy2222sincos,yxxxyyxy (2)把四个式子代入（2）式得sincos,uuuxcossin,uuuy(3)(4)目录 上页 下页 返回 结束 将（3）（4）两式平方相加得222221()()()()uuuuxy将（3）式两端再对 x 求偏导数，得22sin(cos)uuuxxsin(cos)uux22221cos2sincosuu 222222sincossinsin2uuu目录 上页 下页 返回 结束 同理，将（4）式两端对 y 求偏导，并化简可得2222221sin2sincosuuuy 222222sin coscoscos2uuu所以，22222222211uuuuuxy 在一元函数中，一阶微分具有形式不变性，下面我们讨论多元函数一阶全微分形式的不变性。多元函数一阶全微分形式的不变性。目录 上页 下页 返回 结束 以二元复合函数为例以二元复合函数为例设函数),(,),(,),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvzvd都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.目录 上页 下页 返回 结束 设12()(,)myff u uuu其中1(,)iinuu xx对于多元复合函数对于多元复合函数若 f 可微，u 也可微，则12112njnjjnyyyydydxdxdxdxxxxx1111()()mmiiniiiinuuyydxdxuxux11111()mmuuyydxuxux1,2,im11()mnnmnuuyydxuxux目录 上页 下页 返回 结束 11111()nnuudxdxxyxu11()mmmnnuudxdxxyux1122mmdududuyyyuuu即1212mmyyydydududuuuu把12(,)myf u uu中的(1,2,)iuim看作中间变量或自变量时的全微分形式完全一样，这一性质称为一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性（高阶全微分不具有此性质）目录 上页 下页 返回 结束 全微分的有理运算法则全微分的有理运算法则(1)()d uvdudv；(2)()d uvvduudv；21(3)()(),0udvduudv vvv；例例设(,)f u v可微，求(,)x yzfy x的偏导数。解解:利用一阶全微分形式不变性，可得12()()xxdzf df dyy1222ydxxdyxdyydxffyx12122211()()yxff dxff dyyxyx 所以，12122211,zyzxffffxyxyyx目录 上页 下页 返回 结束 3.6 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法常会遇到一些函数，其因变量与自变量的关系以方程形式联系起来，例如：2221xyz可把 x、y 看作自变量，z 看作因变量，则方程确定了两个连续的二元函数：221()zxy 22(,)1Dx y xy设方程1(,)0nF xxy若存在 n 元函数1(,)nyxx代入方程恒成立11(,(,)0nnF xxxx则称1(,)nyxx是由1(,)0nF xxy确定的隐函数隐函数目录 上页 下页 返回 结束 定理（隐函数存在定理）定理（隐函数存在定理）0,0()x y),(yxF;0),(00yxF则方程(,)0F x y 个有连续导数的函数 y=f(x),00()yf xyxFFxydd(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：的某邻域内某邻域内可唯一确定一满足：0),(00yxFy 在点它满足：若二元函数的某邻域内有连续的偏导数；在点0,0()x y以及,()0,F x f x并且目录 上页 下页 返回 结束 (,)0,F x yyf x其中两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则目录 上页 下页 返回 结束 若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数:)(yxFFxxyxxydd则还可求隐函数的 目录 上页 下页 返回 结束 定理（推广）定理（推广）若函数),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数;则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数,),(000yxfz 定一个连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确目录 上页 下页 返回 结束(,)0,(,)F x y zzf x y其中两边对 x 求偏导xFxzFzxF zyFFyz同样可得(,)(,)0zf x yF x y z设隐数是方程所确定的函,则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在(隐函数求导公式隐函数求导公式)目录 上页 下页 返回 结束 例例设(,)u v具有连续的一阶偏导数，方程(,)0cxaz cybz确定了函数解解:令(,)(,),F x y zcxaz cybz所以，111212xxzFcczzxFabab(,),zz x y求.xyazbz显然复合函数(,)F x y z具有连续的一阶偏导数，得221212yyzFcczzyFabab.xyazbzc目录 上页 下页 返回 结束 例例设方程2222xyzxyz确定了函数解解:利用隐函数求导公式在点（1，0，-1）处222222()/(),xxzzyzxyxyzxyz(,),zz x y求点（1，0，-1）处的全微分2.dzdxdy.dz222222()/(),yyzzxzxyxyzxyz 1,2,xyzz 从而目录 上页 下页 返回 结束 P57 1 偶数题 3，4，5，7，14，18，21，23 第二节 作作 业业