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1定积分的物理应用定积分的物理应用一一.变力沿直线作功变力沿直线作功若物体在常力若物体在常力F作用下沿作用下沿F方向移动方向移动s距离距离,.由由x=a移到移到x=b,可用微元法解决做功问题可用微元法解决做功问题.dW=F(x)dx则则badxxFW)(F(x)abx x+dx则则W=Fs 若物体在变力若物体在变力F(x)作用下沿力的方向作用下沿力的方向 取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.相应于任意小区间相应于任意小区间x,x+dx的功的微元的功的微元2 例例1 设设9.8牛顿的力能使弹簧伸长牛顿的力能使弹簧伸长1厘米厘米,解解从而从而由公式由公式1.001.0029.4|490980)(xxdxdxxFWba(焦耳焦耳)例例2 形如圆锥台的形如圆锥台的水桶水桶内盛满了水内盛满了水(如图如图),解解 设想将水分成许多薄层设想将水分成许多薄层,问将全部水吸出需作多少功问将全部水吸出需作多少功?(水比重为水比重为9800牛顿牛顿/立方米立方米)0yx13(3,2)xx+dx求伸长求伸长10厘米需作多少功厘米需作多少功?所以所以k=980.F=9.8牛顿牛顿,而而x=0.01米时米时,已知已知 F=kx,F=980 x.吸出各层水所作的功的总和即为所求吸出各层水所作的功的总和即为所求.3 取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为xdxxdW2)13(9800 则则302)13(9800 xdxxW)(124950|)219236(980030234Jxxx 例例3 一桶水重一桶水重10kg,由一条线密度由一条线密度0.1kg/m的的0yx13(3,2)xx+dx因此功的微元因此功的微元吸出这层水的位移近似于吸出这层水的位移近似于x.的薄层水近似于圆柱的薄层水近似于圆柱,0,2.相应于任意小区间相应于任意小区间x,x+dx绳子系着绳子系着,将它从将它从20m深的井里提上来需作多少功深的井里提上来需作多少功?4 解解 将水桶从井里提上来所作的功为将水桶从井里提上来所作的功为)(1960208.9101JW 将绳子从井里提上来所作的功将绳子从井里提上来所作的功,)(1968.91012002JdxxW则所作的总功为则所作的总功为)(2156196196021JWWWxo20 xx+dx即变力沿直线作的功为即变力沿直线作的功为5二二.静液压力静液压力 设有一面积为设有一面积为A的平板的平板,水平放置在液体下深水平放置在液体下深度度h处处,则平板一侧所受压力为则平板一侧所受压力为 N=h A.(为液体为液体比重比重)则平板一侧所受压力须用微元法解决则平板一侧所受压力须用微元法解决.取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.oxyabxx+dxy=f(x)近似于水近似于水深深x处处水平放置的水平放置的长方形窄条所受的压力长方形窄条所受的压力.相应于相应于x,x+dx的窄条所受到的压力的窄条所受到的压力 如果平板垂直放置在液体下如果平板垂直放置在液体下,以如图曲边梯形为例以如图曲边梯形为例:6则压力微元为则压力微元为dN=xydx=xf(x)dx因此整个平板所受压力为因此整个平板所受压力为badxxxfN)(例例4 一个横放的半径为一个横放的半径为R的圆的圆柱形油桶内有半桶油柱形油桶内有半桶油(比重比重),求一个求一个端面所受的压力端面所受的压力.解解 由对称性由对称性12NN 从而转化为上述曲边梯形情形从而转化为上述曲边梯形情形,即即RdxxRxNN022122 30232232)(32RxRR oxyabxx+dxy=f(x)xy1No7例例5 求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力.解解 由对称性由对称性12NN 也可转化为曲边梯形情形也可转化为曲边梯形情形,曲边为曲边为22xy则压力为则压力为201)(22dxxxfNN)(52267|)6(980022032Nxx三三.引力引力由万有引力定律由万有引力定律,两质点之间的引力为两质点之间的引力为221rmmGF 若要计算细棒对质点的引力若要计算细棒对质点的引力,须用微元法解决须用微元法解决.2o2xy(2,1)1N20)22(2dxxx 8 例例6 设有质量为设有质量为M,长度为长度为l的均匀细杆的均匀细杆,任意小段任意小段x,x+dx近似于质点近似于质点,且质量且质量为为则引力微元为则引力微元为22)()(axlMdxmGaxdxlMmGdFdxlMoxx+dxxal另有一质量为另有一质量为m的质点位于同一直线上的质点位于同一直线上,且到杆的近段距离为且到杆的近段距离为a,求杆对求杆对质点的引力质点的引力.取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为0,l,9则引力为则引力为dxaxlGmMFl20)(1oxx+dxxal四四.连续函数的平均值连续函数的平均值n个数的平均值为个数的平均值为nynyyyyniin 121而连续函数而连续函数f(x)在区间在区间a,b上的平均值上的平均值,需要用定积分计算需要用定积分计算.)(|)11(0laaGmMxlGmMl10将将a,bn等分等分,在每个小区间上依次任取在每个小区间上依次任取,21n 则则nfnfffyyniinn 121)()()()(由定积分定义可知由定积分定义可知nfyniin 1)(limabxfniiin 1)(lim)()(limabnabfniin 1 badxxfab)(111例例1 求从求从0秒到秒到T秒这段时间内秒这段时间内自由落体的平均速度自由落体的平均速度.解解 .2|201002gTTgtgtdtTvTT注意注意:积分中值定理中的积分中值定理中的f()就是就是f(x)在区间在区间a,b上的平均值上的平均值.
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