第二章第3讲函数的奇偶性与周期性配套课件

第3讲函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性的定义f(x)f(x)(1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有(或)，则称 f(x)为奇函数奇函数的图像关于对称f(x)f(x)0原点(2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有则称 f(x)为偶函数偶函数的图像关于(或，轴对称f(x)f(x)f(x)f(x)0)y第一页，编辑于星期六：七点 二十八分。(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)2函数的周期性的定义对于函数 f(x)，如果存在一个每一个 x 值，都满足，使得定义域内的，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期非零常数 Tf(xT)f(x)第二页，编辑于星期六：七点 二十八分。)B1对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x)有(Af(x)f(x)0Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0Df(0)02若 f(x)是偶函数，且当 x0，)时，f(x)x1，则不等式 f(x1)0 的解集是()CAx|1x0Bx|x0 或 1x2Cx|0 x2Dx|1x0，求实数 m 的取值范围f(x)xx4第十二页，编辑于星期六：七点 二十八分。212mm12，解得实数m的取值范围是解题思路：欲求 m 的取值范围，就要建立关于 m 的不等式，可见，只有从 f(m1)f(2m1)0 出发，利用 f(x)的奇偶性和单调性将外衣“f”脱去解析：f(x)是定义在(2,2)上的奇函数，对任意 x(2,2)有 f(x)f(x)由条件 f(m1)f(2m1)0，得 f(m1)f(2m1)f(12m)，f(x)是定义在(2,2)上的减函数，第十三页，编辑于星期六：七点 二十八分。利用函数的奇偶性，可以求关于原点对称区间上的函数的表达式【互动探究】3偶函数 f(x)(xR)满足：f(4)f(1)0，且在区间0,3与3，)上分别递减和递增，则不等式 xf(x)0 的解集为()A(，4)(4，)C(，4)(1,0)B(4，1)(1,4)D(，4)(1,0)(1,4)解析：由已知条件通过 f(x)(xR)的草图得知函数 f(x)(xR)的值在(，4)，(1,1)，(4，)上都为正，在(4，1)，(1,4)上为负，故不等式 xf(x)0 的解集为(，4)(1,0)(1,4)D第十四页，编辑于星期六：七点 二十八分。错源：没有考虑定义域例 4：判断函数 f(x)(1x)的奇偶性误解分析：对函数奇偶性定义实质“函数的定义域关于原点对称”理解不全面这是函数具备奇偶性的必要条件正解：f(x)(1x)有意义时，必须满足1x1x01x1，即函数的定义域是x|10 时，f(x)x22x1.(1)若 f(x)为 R 上的奇函数，求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)为 R 上的偶函数，能确定 f(x)的解析式吗？请说明理由第十六页，编辑于星期六：七点 二十八分。解析：(1)当 x0 时，f(x)x22x1.设 x0，有 f(x)(x)22(x)1x22x1，f(x)为 R 上的奇函数，f(x)f(x)，x0 时，f(x)x22x1.当 x0 时，f(0)f(0)f(0)，即 f(0)0.(2)若 f(x)为 R 上的偶函数，不能确定 f(x)的解析式，因为不知 f(0)的结果第十七页，编辑于星期六：七点 二十八分。.【互动探究】解析：由 f(x2)1f(x)得 f(x4)1f(x2)f(x)，所以 f(5)f(1)5，则 ff(5)f(5)f(1)1f(12)15.第十八页，编辑于星期六：七点 二十八分。关于周期函数的几种判定方法：(1)对于函数 f(x)定义域中的任意的 x，总存在一个常数T(T0)，使得 f(xT)f(x)恒成立，则 T 是函数 yf(x)的一个周期；(2)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(xa)(a0)，则 T2a 是它的一个周期；(3)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(x)(a0)，则 T2a 是它的一个周期；1f(x)(a0)，则 T2a 是它(4)若函数 yf(x)满足 f(xa)的一个周期；第十九页，编辑于星期六：七点 二十八分。1f(x)(a0)，则 T2a 是它的(5)若函数 yf(x)满足 f(xa)一个周期；(6)若函数 yf(x)满足 f(xa)1f(x)1f(x)(a0)，则 T2a 是它的一个周期；(7)若函数 yf(x)(xR)的图像关于直线 xa 与 xb 对称，则 T2|ba|是它的一个周期；(8)若函数 yf(x)(xR)的图像关于点(a,0)与直线 xb 对称，则 T4|ba|是它的一个周期第二十页，编辑于星期六：七点 二十八分。函数 y ln1(2010 年江西)给出下列三个命题：121cosx x与 ylntan 是同一函数；1cosx 2若函数 yf(x)与 yg(x)的图像关于直线 yx 对称，则函若奇函数 f(x)对定义域内任意 x 都有 f(x)f(2x)，则 f(x)为周期函数其中真命题是()CABCD第二十一页，编辑于星期六：七点 二十八分。解析：考虑定义域不同，错误；排除 A、B；验证，f(x)f2(x)f(2x)，又通过奇函数得 f(x)f(x)，所以f(x)是周期为 4 的周期函数A 第二十二页，编辑于星期六：七点 二十八分。