向量的正交分解和坐标表示2.3.3向量的坐标运算.ppt

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 1.思考平面向量基本定理的内容 . 如果 是同一平面内的两个不共线的向量，那 么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 1, 2 使得 2.什么叫平面的一组基底 ? 3.平面的基底有多少组 ? 12e,e a 1 1 2 2a e e . 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量 正交分解 . 如图， 光滑斜面上一个木块 受到重力 的作用，产生两个效 果，一是木块受平行于斜面力 的作用，沿斜面下滑；一是木块 产生垂直于斜面的压力 叫做把重力 分解 . G 1F 2 1 2F G F F， ， G 思考： 如图在直角坐标系中，已知 A(1,0),B(0,1),C(3,4), D(5,7).设 ，填空： ,O A i O B j （ 1） | | _ _, | | _ _ , | | _ _ ; ij OC （ 2）若用 来表示 ，则： ,ij ,OC OD _, _ .O C O D34ij 57ij 1 1 5 A B C D o x y i j 3 5 4 7 （ 3）向量 能否由 表示出来？ 可以的话，如何表示？ CD ,ij 如图， 是分别 与 x轴、 y轴方向 相同 的单位向量，若以 为基底，则 ,ij ,ij + a a i j xy xy 对于该平面内的任一向量 ， 有且只有一对实数 、 ，可使 A B C D o x y i j a 这样，平面内的任一向量 都可 由 x、 y唯一 确定，我们 把有序数对 （ x,y） 叫做向量 的坐标，记作 ( , )a x y 其中， x叫做 在 x轴上的坐标， y叫做 在 y轴上的坐标， 式叫做向量的 坐标表示 . a a 显然 ， i , 0 , j 0 , , 0 0 , 0 .11 O x y A i j a x y +a xi y j +O A xi y j 设 ，则向量 的坐标（ x,y）就是终点 A的 坐标；反过来，终点 A的坐标 (x,y)也就是向量 的坐标 . 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个 有序实数对唯一表示 . O A x i y j OA OA 在直角坐标平面中，以原点 O为起点作 ，则点 A的位置由向量 唯一确定 . OA a a 例 1.如 图，分别用基底 ， 表示向量 、 、 、 ，并求出 它们的坐标 . i j a b c d A A1 A2 b a c d 思考： 已知 ，你能得出 的坐标吗？ 1 1 2 2( , ) , ( , )a x y b x y ,a b a b a 例 2.如 图，已知 ，求 的坐标 . 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y AB x y O B A 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标 . 例 4.如图，已知 ABCD的三个顶点 A、 B、 C的坐标分别是 （ -2， 1）、（ -1， 3）、（ 3， 4），试求顶点 D的坐标。 A B C D x y O 例 3.已知 ，求 的坐标 . ( 2 , 1 ) , ( 3 , 4 )ab , , 3 4a b a b a b 则点 B的坐标为 _. 1.下列说法正确的有（ ）个 （ 1）向量的坐标即此向量终点的坐标 （ 2）位置不同的向量其坐标可能相同 （ 3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标 （ 4）相等的向量坐标一定相同 A 1 B 2 C 3 D 4 B 2 . A ( - 1 - 5 ) a = A B = 3 a已 知 ， 和 向 量 （ ， ） ， 若 （ 5， 4） 3.已知：点 A(2， 3)、 B(5， 4)、 C(7， 1) 若 ，试求 为何值时 , （ 1）点 P在一、三象限角平分线上 ? （ 2）点 P在第三象限内 ? ()A P A B A C R ( 5 2 , 4 3 ) (7 , 1 0 ) ( 2 , 3 ) A B A C ( , ) ( , ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 3 ) xy A P x y x y 设 点 P 的 坐 标解 为 ， 则 ： ， ( 3 5 , 1 7 ) ， ( 2 , 3 ) ( 3 5 , 1 7 )A P A B A C x y ， ， 713 532 y x ， ， 74 55 y x ， . ( 5 5 , 4 7 )P ， （ 1）若点 P在一、三象限角平分线上 ,则 5+5=4+7 ， （ 2）若点 P在第三象限内， -1,即只要 -1,点 P就在第三象限内 . 1 2 ； 074 055 则 ， ， 7 4 1 ，