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2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量 唉 , 哪儿去了 ? 嘻嘻 !大笨猫！ B A 猫能捉住老鼠吗 ? 老鼠由 A向东北方向以 6m/s 的速度逃窜 ,而猫由 B向东南 方向 10m/s的速度追 . 问猫能 否抓到老鼠 ? C D 老鼠由 A向西北逃窜，猫在 B处向东追 去，设问：猫能否追到老鼠？ A B C D 猫的速度再快 也没用，因为方向 错了 . 结论： 情境设置 一、 向量的实际背景及概念。 G F 在物理学中，我们学过位移是既有大少 又有方向的量，那么在物理中还有没有其 它这样的量吗？例如，力既有大小又有方 向，如下面图： 你还能举出物理 学中的一些实例 吗？ 例如：速度、加速度、 动量、相位等。 实际上在生活中我们已经遇到过一种只有大 小的量，例如，一棵树、一本书、一支笔、温 度、路程、密度等，我们曾把这种量称为数量 . 既有大小，又有方向的量叫做向量 （物理学 中称为矢量） 现在像位移、力 . 这些既有大小又有方 向的量数学中对它进行抽象得到一种新的量 只有大小，没有方向的量（如年龄、身高 长度等）叫做数量（物理学中称为标量） 讲授新课 1. 向量的概念： 我们把既有大小又有方向的量叫 向量 . 由于实数与数轴上的点一一对应，所以 数量 常常用数轴上的一个点表示，如 3， 2， -1， 而且不同的点表示不同的数量。 对于 向量 ，我们常用带箭头的线段来表示，线段 按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的 大小，箭头表示向量的方向。 0 1 2 3 -1 有向线段： 在线段 AB的两个端 点中，规定一个顺序，假设 A为 起点， B为终点，我们就说线段 AB具有方向。具有方向的线段 叫做有向线段。 有向线段的三个要素： 起点、方向、长度 A（起点） B（终点） 2、向量的字母表示 ： 1） a, b, c ,. （ 2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如， AB， CD 1、向量的几何表示 ：用有向线段表示。 思考 : “向量就是有 向线段 ,有向线段就 是向量 .”的说法对吗 ? 向量 AB的大小， 也就是向量 AB的 长度 （或称 模 ）， 记作 |AB|。 长度为 0的向量叫做 零向量 .记作 0。 长度等于 1个单位的向量，叫做 单位向量 。 2.向量的模是一个正实数。（ ） 3.若 |a|b| ，则 a b ( ) 1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 判断题 注 :向量不能比较大小 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向 量， 但是两个向量之间 只有相等关系 ，没有大小之分， “对于向 量 ， ， ，或 ”这种说 法是错误的 . a b ba a b 平行向量又叫做共线向量 各向量的终点与直线 l之间有什么关系？ 如： a b c （） 平行向量： 方向 相同 或 相反 的 非零向量 叫做平行向量。 记作 a b c 规定： 0与任一向量平行。 问： 把一组平行于直线 l的向量的起点平移到直线 l上 的一点 O ，这时它们是不是平行向量？ o l . C OC = c A OA = a OB = b B 向量相等 向量平行 平行向量一定是相等向量吗 ? 相等向量一定是平行向量吗 ? （ 2） 相等向量： 长度 相等 且 方向相同 的向量叫做相等向量。 记作： a = b 规定： 0 = 0 a b 1.若非零向量 AB/CD ，那么 AB/CD吗？ 2.若 a/b ,则 a与 b的方向一定相同或相反吗？ o . A B C D D C B A 11个 例 1如图设 O是正六边形 ABCDEF的中心，写出图中 与向量 OA相等的向量。 OA = DO = CB 变式 一 ：与向量 OA长度相等的 向量有多少个？ 变式二：是否存在与向量 OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE CB、 DO、 FE 变式三： 与向量 OA长度相等的共线向量有哪些？ BC、 OD、 EF AO 概念辨析： （ 1 ） 模 相 等 的 两 个 平 行 向 量 是 相 等 的 向 量 ； （ 2） 若 和 都 是 位 向 量 ， ;单 则a b a = b 长(3)任 一 向 量 与 它 的 相 反 向 量 (度 相 同 ， 方 向 相 反 的 向 量 )都 不 相 等 ； （ 4 ） 共 线 的 向 量 ， 若 起 点 不 同 ， 则 终 点 也 不 同 ； 则（ 5） 若 AB / CD ， AB/CD； 则（ 6） 若 AB/CD， AB / CD ； （ 7） 与 共 ， 与 共 ， 与 也 共 ；线 线 则 线a b b c a c （ 8） 向 量 与 不 共 ， 与 都 是 非 零 向 量 ；线 则 不a b a b 图 纸 个 别 图 点 为 点 终 点 个 长 线 个 例 2： 在 中 的 4 5方 格 中 有 一 向 量 A B ， 分 以 中 的 格 起 和 作 向 量 ， （ 1） 其 中 与 A B 相 等 的 向 量 有 多 少 ？ （ 2） 与 A B 度 相 等 的 共 向 量 有 多 少 ？ （ A B 除 外 ） A B ( 1 ) 7 AB共 有 个 向 量 与 相 等 ( 2 ) 1 5 AB共 有 个 向 量 与 共 线 2.下面几个命题： （ 3）若 |a|=|b|，则 a = b （ 2）若 |a|=0，则 a = 0 |a|=|b| a b （ 4）两个向量 a、 b相等 的充要条件是 （ 1）若 a = b， b = c，则 a = c。 当 b 0时成立。 变：若 a b， b c, 则 a c A 0 B. 1 C. 2 D. 3 其中正确的个数是 ( ) （ 5）若 A、 B、 C、 D是不共线的四点，则 AB=DC 的充要条件是 四边形 ABCD是平形四边形。 A B D C B A C D 合作探究： 如 ： 以 1 1方 格 中 的 格 起 和 的 所 有 向 量 中 ， 可 得 到 多 少 种 不 同 的 模 ？ 有 多 少 种 不 同 的 向 量 ？ 图 纸 点 为 点 终 点 零向量、单位向量概念： 向量的概念 : 向量的表示方法： 共线向量与平行向量关系： 平行向量定义： 相等向量定义： 讲授新课 A(起点 ) B (终点 ) a 数量只有大小，是一个代数量，可以 进行代数运算、比较大小；向量有方向， 大小，双重性，不能比较大小 . 2. 数量与向量的区别： 讲授新课 3. 向量的表示方法： AB 用有向线段表示； 用字母 a、 b(黑体，印刷用 )等表示； 用有向线段的起点与终点字母： 的大小 长度称为向量的模， 向量 AB 记作 AB . ； 讲授新课 具有方向的线段就叫做有向线段， 三个要素： 起点、方向、长度 . 4. 有向线段： 讲授新课 具有方向的线段就叫做有向线段， 三个要素： 起点、方向、长度 . 向量与有向线段的区别： 4. 有向线段： 讲授新课 具有方向的线段就叫做有向线段， 三个要素： 起点、方向、长度 . 向量与有向线段的区别： (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点 无关，只要大小和方向相同，这两个向 量就是相同的向量； (2)有向线段有起点、大小和方向三个素， 起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段 . 4. 有向线段： 讲授新课 5. 零向量、单位向量概念： 长度为 1个单位长度的向量 , 叫 单位向量 . 长度为 0的向量叫零向量，记作 0. 0的方向是任意的 . 注意 0与 0的含义与书写区别 . 讲授新课 5. 零向量、单位向量概念： 长度为 1个单位长度的向量 , 叫 单位向量 . 长度为 0的向量叫零向量，记作 0. 0的方向是任意的 . 注意 0与 0的含义与书写区别 . 说明： 零向量、单位向量的定义都只是限制 了大小 . 讲授新课 a b c 6.平行向量定义： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 我们规定 0与任一向量平行 . 讲授新课 6.平行向量定义： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 我们规定 0与任一向量平行 . a b c 说明： (1) 综合、才是平行向量的完整定义； (2) 向量 a、 b、 c平行，记作 a b c. 讲授新课 例 1. 如图，试根据图 中的比例尺以及三地 的位置，在图中分别 用向量表示 A地至 B、 C两地的位移，并求 出 A地至 B、 C两地的 实际距离 (精确到 1km). A B C 讲授新课 例 2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？ 讲授新课 不一定 例 2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？ 讲授新课 不一定 零向量 例 2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？ 讲授新课 不一定 零向量 平行向量 例 2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？ 讲授新课 不一定 零向量 平行向量 练习 .教材 P.77练习 第 1、 2、 3题 . 例 2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？ 1.描述向量的两个指标： 模和方向 . 2. 平面向量的 概念 和向量的 几何表示 ； 3. 向量的模、零向量、单位向量、平行 向量等概念 . 课堂小结 1. 阅读教材 P.74-P.76； 2.学案 P.49的 学法引导 ； 3.学案 P.44的 单元检测卷 . 课后作业
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