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数值计算方法实验实验2 用雅克比迭代法解方程组一、 实验目的1、 学习使用雅克比迭代法求解方程组,加深对雅克比迭代法的认识。2、 在误差允许的范围内,在循环次数较少的情况下,求解方程组的稳定解。3、 进一步加深对Matlab的学习。二、 实验题目用雅克比迭代法解方程组:5x1+2x2+x3=8 , 2x1+8-3x3=21 , x1-3x2-6x3=1 ,三、 实验原理 设有n元线性方程组AX=b, 其中系数矩阵A的对角元素aii0(i=1,2,3,n) 从方程组的第i个方程中可以解出 xi ,可得到以下等价方程组:x1= 1a11(b1-a12x2-a13x3-a1nxn) ,x2= 1a22(b2-a21x1-a23x3-a2nxn) ,,xn= 1ann(bn-an1x1-an3x3-an,n-1xn-1) .记D为A的对角线矩阵,L为A的下三角阵,U为A的上三角阵,即 则有:X=-D-1(L+U)X+D-1b;令 B=-D-1(L+U), d=D-1b;则有:X=BX+d;其中B成为迭代矩阵上式即为雅克比迭代法的迭代公式。取定一个x(0)以后,便可得 x(1)=B*x(0)+d,再往下迭代得到:x(2)=B*x(1)+d,如此反复迭代,一般的有:x(k+1)=B*x(k)+d, k=0,1,2,由此便得到一个向量序列 X(k).若limkX(k)=X*,则X*就是方程组的解。反之:若limkX(k)不存在,即 X(k)不收敛,就不能用雅克比迭代法计算。可将上述迭代过程改为如下形式:xi(k+1)= 1aii (bi-j=1i-1aijxjk-j=i+1naijxjk) = xi(k)+1aii(bi-j=1naijxjk), (i=1,2,3,n)四、 实验内容按照上述迭代法可得到如下的算法:设方程组为:AX=b, 其中系数矩阵A的对角元素aii0(i=1,2,3,n)max_iter为迭代数容许的最大值,eps为容许误差:1. 取初始向量,令k=0;2. 对i=1,2,n,计算: .3. 如果,则输出,结束。否则,执行下一步;4. 如果max_iter=50,则该迭代法不收敛,终止程序;否则转2.建立一个M文件,程序如下:function x,iter=jacobi1(A,b,x_0)A=5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6;b=8 21 1;eps=10e-6;x_0=0 0 0;n=3;x=x_0;max_iter=100;y=0 0 0;for k=1:n if(A(k,k)=0) return endend iter=1;while itermax_itertemp=0; for i=1:n for j=1:n temp=temp+A(i,j)*x(j); end temp=(b(i)-temp)/A(i,i); y(i)=x(i)+temp; end x=y; iter=iter+1; if abs(temp)eps returnendend五、 实验结果 ans = 1.0000 2.0000 -1.0000六、 实验结果分析该方程组用雅克比迭代法求解是收敛的。七、 实验出现的问题及体会1、用M函数文件创建的函数可以输出两个参量。
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