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课题三、船体型线光顺的数学描述课题三、船体型线光顺的数学描述 （二）单根曲线光顺性判别（二）单根曲线光顺性判别 一、曲线不光顺的类型一、曲线不光顺的类型1、曲线存在多余拐点；、曲线存在多余拐点；2、曲线曲率数值变化不均匀、曲线曲率数值变化不均匀什么可以反映曲线的弯曲方向，它就可以用来判断曲线什么可以反映曲线的弯曲方向，它就可以用来判断曲线有没有（多余）拐点。有没有（多余）拐点。什么可以反映曲线的弯曲程度，它就可以用来判断曲线的什么可以反映曲线的弯曲程度，它就可以用来判断曲线的弯曲程度变化是否均匀。弯曲程度变化是否均匀。二、多余拐点的判别二、多余拐点的判别1、多余拐点的类型、多余拐点的类型（1 1）相邻三个型值点出现）相邻三个型值点出现2 2个拐点个拐点拐点拐点（2 2）相邻四个型值点出现）相邻四个型值点出现3 3个拐点个拐点原因：中间点不满足光原因：中间点不满足光顺要求。顺要求。解决办法：调整中间点解决办法：调整中间点原因：有一个拐点为设原因：有一个拐点为设计要求的拐点，二个多计要求的拐点，二个多余拐点。余拐点。解决办法：调整第二点或第三点解决办法：调整第二点或第三点根据曲率符号的变化可以判断有没有拐点，但是往往曲率根据曲率符号的变化可以判断有没有拐点，但是往往曲率数值我们无法得到，那么有没有一种方法不用求曲率值就数值我们无法得到，那么有没有一种方法不用求曲率值就可以判断有没有拐点呢？可以判断有没有拐点呢？（3 3）相邻五个型值点出现）相邻五个型值点出现4 4个拐点个拐点这种情况可以视为第一种这种情况可以视为第一种情况的叠加。情况的叠加。原因：第原因：第2点、第点、第4点不满足光点不满足光顺要求。顺要求。解决办法：调整第解决办法：调整第2点和第点和第4点点2、多余拐点的判别、多余拐点的判别（1 1）初光顺法）初光顺法这种方法无需求出插值函数，仅根据给定的型值就可以判这种方法无需求出插值函数，仅根据给定的型值就可以判断有没有多余拐点。断有没有多余拐点。可以看出，用直线连可以看出，用直线连接各型值点，直线的接各型值点，直线的交点朝向与曲线在某交点朝向与曲线在某处的弯曲方向相同。处的弯曲方向相同。那么，直线连接点的朝向用什么判别呢？那么，直线连接点的朝向用什么判别呢？做各点的一阶差商：做各点的一阶差商：),(11yxi1ii1ixxyyki即连接两相邻型值点的直线斜率！即连接两相邻型值点的直线斜率！),(22yx),(33yx),(44yx),(55yx),(11yx),(22yx),(33yx),(44yx),(55yx012121xxyyk023232xxyyk034343xxyyk045454xxyyk012 kk),(22yx为凸点为凸点023 kk),(33yx为凹点为凹点034 kk),(33yx为凸点为凸点),(11yx),(22yx),(33yx),(44yx),(55yx结论：结论：某点如果前后斜率（一阶差商）之差小于某点如果前后斜率（一阶差商）之差小于0，则此点处曲，则此点处曲线为凸；反之，若斜率之差大于线为凸；反之，若斜率之差大于0则此点处曲线为凹。则此点处曲线为凹。我们不难发现：曲线在我们不难发现：曲线在某点处的凸凹情况可以某点处的凸凹情况可以用前面两段直线的斜率用前面两段直线的斜率之差来判断。之差来判断。021 kk032 kk这样也可以判断曲线的凸凹情况，为什么不采用这种方式？这样也可以判断曲线的凸凹情况，为什么不采用这种方式？主要是想和曲率的符号保持一致！主要是想和曲率的符号保持一致！1iiikkY令显然有：显然有：0122kkY0233kkY0344kkY),(11yx),(22yx),(33yx),(44yx),(55yx这是相邻这是相邻3点出现点出现2个拐个拐点的情况。点的情况。中间点是产生拐点的原因，中间点是产生拐点的原因，需要调整。称为需要调整。称为“坏点坏点”！存在多余拐点的判别式为：存在多余拐点的判别式为：004332YYYY在实际的操作中，往往将两斜率之差再加上分母：在实际的操作中，往往将两斜率之差再加上分母：1i1i1ii1iii1ii1iixxxxyyxxyyY此即某点处的二阶差商，根据其的正负情况可以判断曲此即某点处的二阶差商，根据其的正负情况可以判断曲线在该点处的凹凸情况。线在该点处的凹凸情况。此方法的优点：此方法的优点：不用先建立曲线，只是根据给定的型值点数据就可以直接不用先建立曲线，只是根据给定的型值点数据就可以直接进行判断有无拐点存在。进行判断有无拐点存在。这再一次验证了：什么可以反映曲线的弯曲方向，它就可这再一次验证了：什么可以反映曲线的弯曲方向，它就可以用来判断曲线有无拐点存在。以用来判断曲线有无拐点存在。一个需要说明的问题一个需要说明的问题),(11yx),(22yx),(33yx),(44yx),(55yx首末两点的弯曲方向是无法得到的，所以也就无法得到首末两点的弯曲方向是无法得到的，所以也就无法得到1、2两点，两点，4、5两点间有无拐点存在。两点间有无拐点存在。怎么样才能得到怎么样才能得到1、2两点，两点，4、5两点间有无拐点存在？两点间有无拐点存在？只要能够给定两端点处的一阶导数（斜率），就可以进只要能够给定两端点处的一阶导数（斜率），就可以进行判断了。行判断了。例题例题1 1 已知如下型值，用初光顺法判断曲线有没有拐点已知如下型值，用初光顺法判断曲线有没有拐点存在存在2002004004006006008008001000100012001200240240362362408408370370338338244244ip1p2p3p4p5p6pixiy解：求各型值点二阶差商解：求各型值点二阶差商 00095.020060020040024036240060036240813121223232xxxxyyxxyyY00105.040080040060036240860080040837024232334343xxxxyyxxyyY000075.06001000600800408370800100037033835343445454xxxxyyxxyyY00075.0800120080010003703381000120033824446454556565xxxxyyxxyyY032YY点之间没有拐点；与32pp043YY点之间存在拐点；与43pp054YY点之间存在拐点。与54pp（2 2）函数法）函数法初光顺法适用于不知道函数表达式的情况，但是，有些时初光顺法适用于不知道函数表达式的情况，但是，有些时候曲线知道函数表达式，但是不知道型值点。候曲线知道函数表达式，但是不知道型值点。0)()(1ii xfxf)(xf其有无拐点的判别式为：其有无拐点的判别式为：三、曲率数值变化均匀性判别三、曲率数值变化均匀性判别某曲线的曲率数值如下：某曲线的曲率数值如下：一、一、0.5；二、；二、0.7；三、；三、1.9；四、；四、6.8；五、；五、2.3；六、；六、3.8可见，该曲线在第五点处曲率数值变化不均匀。可见，该曲线在第五点处曲率数值变化不均匀。判断曲线曲率数值变化是否均匀只要判断曲线曲率是否满判断曲线曲率数值变化是否均匀只要判断曲线曲率是否满足一直增加（减少）就可以了。足一直增加（减少）就可以了。KX连接各点形成一个分段的线性函数连接各点形成一个分段的线性函数)(xK显然，只要该函数满足单调性即可。显然，只要该函数满足单调性即可。但是，分段函数的单调性是不容易判别的。但是，分段函数的单调性是不容易判别的。那么，有没有一种方法不用判别函数的单调性，只需要根那么，有没有一种方法不用判别函数的单调性，只需要根据各点值就可以得到其变化趋势呢？据各点值就可以得到其变化趋势呢？在实际的应用中，只要曲率数值的变化不发生连续变号就在实际的应用中，只要曲率数值的变化不发生连续变号就认为曲率数值变化是均匀的。认为曲率数值变化是均匀的。一、一、0.5；二、；二、0.7；三、；三、1.9；四、；四、6.8；五、；五、2.3；六、；六、2.0 22)(1dxydx)(xf已知某样条函数，如何判已知某样条函数，如何判断其曲率数值变化是否均断其曲率数值变化是否均匀？匀？可见，曲率数值变化是否均匀可以用函数的二阶导数变可见，曲率数值变化是否均匀可以用函数的二阶导数变化是否均匀来代替。化是否均匀来代替。如果出现图中所示情况则曲率数值变化不均匀。如果出现图中所示情况则曲率数值变化不均匀。同样，计算各点二阶差商，如果二阶差商发生变号则说明同样，计算各点二阶差商，如果二阶差商发生变号则说明曲线存在局部的凸凹点，曲线不满足单调条件，曲线曲率曲线存在局部的凸凹点，曲线不满足单调条件，曲线曲率变化则不均匀。变化则不均匀。令曲线的曲率为令曲线的曲率为Ki曲率的二阶差商可以反映曲率的二阶差商可以反映曲率在这里的变化情况。曲率在这里的变化情况。111111YiiiiiiiiiiixxxxKKxxKK0YY1ii则说明则说明i点和点和i-1点之间曲率数值变化不均匀。点之间曲率数值变化不均匀。作业作业已知如下型值，用初光顺法判断曲线有没有拐点存在已知如下型值，用初光顺法判断曲线有没有拐点存在100100200200300300400400500500600600252536364040373734342424ip1p2p3p4p5p6pixiy并判断哪一点为坏点。并判断哪一点为坏点。
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