湖南省八校2023届高三上学期第二次联考(数学理)

湖南省八校20232023学年度高三年级联考数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70m/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以石得山将被处罚的汽车人约有 ( )A30辆B40辆C60辆D80辆2若，则下列不等式中不一定成立的是（ ）ABCD3已知集合，则（ ）ABCD4设，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）ABCD5已知函数的值域是，则它的定义域可以是（ ）ABCD6已知函数在区间上的最小值是，则的取值范围为（ ）ABCD7函数是（ ）A周期为的偶函数B周期为的非奇非偶函数C周期为的偶函数D周期为的非奇非偶函数8已知函数，其中，则使得在上有解的概率为（ ）ABCD9设双曲线的右顶点为，为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q，R两点，其中O为坐标原点，则与的大小关系为（ ）ABCD不确定10平面向量的集合A到A的映射由确定，其中为常向量若映射满足对恒成立，则的坐标不可能是（ ）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是_12如图，在ABC中，于H，M为AH的中点，若，则_13将抛物线按向量平移后所得抛物线的焦点坐标为_14若等差数列的前项和为，且，则_15给出定义：若 （其中为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作，即在此基础上给出下列关于函数的四个命题：的定义域是，值域是；点是的图像的对称中心；函数的最小正周期为1；函数在上是增函数；则其中真命题是_三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分10分）已知等比数列中，分别为的三内角的对边，且（1）求数列的公比；（2）设集合，且，求数列的通项公式17（本小题满分12分）已知为坐标原点，向量，点是直线上的一点，且点分有向线段的比为（1）记函数，讨论函数的单调性，并求其值域；（2）若三点共线，求的值18（本小题满分12分）若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间内，记点对应的区域为（1）设，求的取值范围；（2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程19（本小题满分13分）已知函数的反函数为，定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“a和性质”（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）若，其中满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得对任意的恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由20（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，若以F2为圆心，为半径作圆F2，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且|PT|的最小值不小于（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k0）的直线与椭圆相交于A，B两点，若，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值21（本小题满分14分）已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设（1）求数列xn的通项公式；（2）记，数列的前项和为Sn，试比较Sn与的大小；（3）记，数列dn的前n项和为Tn，试证明：参考答案1B 2B 3D 4A 5A 6C 7B 8A 9C 10B11 12 13 1412 1516解：（1）依题意知：，由余弦定理得：， （3分）而，代入上式得或，又在三角形中，或； （6分）（2），即且，（8分）又，所以，或（10分）17解：依题意知：，设点的坐标为，则：，所以，点的坐标为（2分）（1），（4分）由可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为， （6分）所以，其值域为；（8分）（2）由三点共线得，（10分），（12分）18解：方程的两根在区间和上的几何意义是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组，即，则在坐标平面内，点对应的区域如图阴影部分所示，易得图中三点的坐标分别为，（4分）（1）令，则直线经过点时取得最小值，经过点时取得最大值，即，又三点的值没有取到，所以；（8分）（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即（12分）19解：（1）函数的反函数是，而，其反函数为,故函数不满足“1和性质”；（6分）（2）设函数满足“2和性质”，而，得反函数由“2和性质”定义可知=对恒成立，即函数，在上递减，（9分）所以假设存在实数满足，即对任意的恒成立，它等价于在上恒成立，易得而知，所以综合以上有当使得对任意的恒成立（13分）20解：（1）依题意设切线长，当且仅当取得最小值时取得最小值，而，（2分），从而解得，故离心率的取值范围是；（6分）（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为，联立方程组 ，得，设，则有，代入直线方程得，又，（10分），直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，所以（14分）21解：（1）依题意点的坐标为，（2分）（2），由，当时，；（8分）（3），所以易证：，当时，（当时取“”）（11分）另一方面，当时，有：又，所以对任意的，都有（14分）