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、（11）填空题（1） 1948年，美国数学家 香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创 立了信息论。（2） 必然事件的自信息是 0。（3） 离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的 。（4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为信源符号等概分布。（5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3。（6） 对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是。（7） 已知某线性分组码的最小汉明距离为3,那么这组码最多能检测出 个码元错误， 最多能纠正L_个码元错误。（8） 设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R小于 C （大 于、小于或者等于），则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。（9） 平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与译码规则和_编码方 法有关（9，）判断题（1）信息就是一种消息。（2） 信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠 性。（/）（3）概率大的事件自信息量大。（4）互信息量可正、可负亦可为零。（5）信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。(6) 对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。(/)(7) 非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。(x )(8) 信源变长编码的核心问题是寻找紧致码(或最佳码)，霍夫曼编码方法构造的是最佳码。(/)(9) 信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数.(x )三、(5，)居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75(2分)故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375( 2分)I(A|B)=-log0.375=1.42bit( 1分)四、(5)证明：平均互信息量同信息熵之间满足I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)g)/ZC-同理I（X ; Y ）= H（Y ） H Y|X ）（1分）H G|x ）= H（Y ） I（X ; Y ）因为H（XY ）= H（X ）+ H Y X ）（1分）故H（XY ）= H（X ） + H Y ） I（X ; Y）即I（X ; Y ）= H（X ） + H Y ）- H（XY ）（1分）五、（18）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：1）黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H（X ）；2）假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为商白）=9，（黑，白），3，*、八、， =0 8，求其熵 H “（X ）。3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。解：1）信源模型为昭=黑知二白（1分）0. 30. 72五（=-皿）1吧汽妃=0.鸵1诚/符号（2分）2-12）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。（2分）由（4分）+ 5 = 1 得极限状态概率（2分）HgtX) = -wyx昭泪 0j/q)lc备尹(./%) = 0.5533 如符号(3 分) 3)H (X)Y 1 = 1 -= 0.119（1分）（1分）log 2 2Y = 1 H山(X)= 0.4472log 2 2y 1。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）六、（腮勺.信源空间为-X -XXXXXXX=1234567P (X)0.20.190.180.170.150.10.01曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。，试分别构造二元香农码和二元霍夫信源消息符号概率累加概率与-logp()码字长度L码字们0.2002.3230000.190.22.3930010.180.392.473Oil0.170.S72.563100保0.150.742.7431010.100.893.32411100.010.996.64711111100. 200.200. 190. 1910. 180.180. 170.170. 15。. 15 十L =丈 pH (X) R = =L0. 260. 200. 190. 18 -0-/0. 17 _L(a )l = 3.142.61=0.8313.140. 35f0. 39/o. 260. 35/ 0. 200. 260. 19 _L0A 61?E ()0. 39o. 10气-11信源符号概率/码字w,码长I,0. 01 _L%0.20102_7E = p(%)Li=l= 2.72q0.19112%0.180003码兀/符号0.170013%0.150103H(X) 2.61X = U.V6a60.1001104L 2.72比特/符号0.01011141/21/31/6七（6）.设有一离散信道，其信道传递矩阵为1/61/21/31/31/61/2最大后验概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，并计算相应的平均错误概率。1P （x ）=14、，r1，并设 p（ x 2）= 2，1p（x）= 一34试分别按1）（3分）最小似然译码准则下，有，2）（3分）最大后验概率准则下，有，血=瓦= &Pe = 24=河八（10）.二元对称信道如图。3 11）若 p（0）= ，p。）=，求 H（X ）、H（X I Y ）和 I（X ; Y ）；4 4解：1）共6分= 0.8113 诚/符号H（X I Y ）= 0.749 bit / 符号= 0.0616 如打符号2）,C=0.0庞 诚/符号（3分）此时输入概率分布为等概率分布。（1分）0 0 0 1 1 1九、（18 ）设一线性分组码具有一致监督矩阵H = 0 110 0 110 10 111）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？2）求此分组码的生成矩阵G。3）写出此分组码的所有码字。4）若接收到码字（101001）,求出伴随式并给出翻译结果。解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分）c、C =（C C C C C C）t I ITT 曰2）设码子5 4 3 2 1 0由HC T = 0T得CCC = 0 CCC = 0CCCC = 0I 5310（3分）令监督位为C2Cf 0），则有C2C1C0=CC=CC=CC43（3分）生成矩阵为10 0 110010 0 1100 110 1（2分）3）所有码字为000000, 001101, 010011,011110, 100110, 101011,110101, 111000。（4分）4）由 St = HRT 得S = G01）, （2分）该码字在第5位发生错误，（101001）纠正为（101011）,即译码为（101001） （1分）
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