不定积分求解方法及技巧0001

不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别 典型例子，运用技巧解题。一.不定积分的概念与性质定义1如果F(x)是区间I上的可导函数，并且对任意的XG I，有 F(x) =f(x) dx则称F(x)是乂)在区间I上的一个原函数。定理1(原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续，那么f (x)在区间I上一定有原 函数，即存在可导函数F (x)，使得F (x) =f (x) (xG I)简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F (x)是f (x)在区间I上的一个原函数，则(1) F (x) +C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；(2) f (x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数.定义2 设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F (x) +C 称为f(x)在区间I上的不定积分，记为j f (x)d(x)，即j f(x)d(x) =F(x)+C 其中记号j称为积分号,f(x)称为被积函数，f(x)d (x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。性质 1 设函数 f(x)和 g(x)存在原函数，则 j f(x)土g(x)dx=j f (x) dxj g(x) dxo性质2设函数f (x)存在原函数,k为非零常数，则j kf (x) dx=k j f (x) dx.二.换元积分法的定理如果不定积分j g(x) dx不容易直接求出,但被积函数可分解为g (x) =f 甲(x)甲 (x).做变量代换u=甲(x)，并注意到甲(x) dx=d甲(x),则可将变量x的积分转化成变量u的 积分，于是有j g(x)dx=j f中(x)中 (x) dx=j f(u)du。如果j f (u) du可以积出，则不定积分j g(x) dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分 定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u= P(x)可导,则有换元公式J f甲(x)甲(x)dx=J f (u)du=F (u) +C=F 甲(x)+C.第一类换元法是通过变量代换u=P(x)，将积分J f甲(x)甲(x)dx化为J f(u)du。 但有些积分需要用到形如x=P (t)的变量代换,将积分J f (x) dx化为J f甲(t)甲 (t)。在求出后一积分之后，再以x=P (t)的反函数七二甲-1(X)带回去，这就是第二类换元法。即J f(x) dx=J f甲(t)甲 (t) dtt =MX)为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=P -1 (x)存在的条件，给出下面的定理。定理2设x=P (t)是单调，可导的函数，并且P (t)。0.又设f甲(t)甲 (t)具有原函数 F (t)，则 J f(x)dx= J fP (t) P(t)dt=F(t) +C=F p 一i (x) +C其中p -1 (x)是乂=p (t)的反函数。三.常用积分公式1基本积分公式(1) J kdx=kx+C(k 是常数)；(2) Jxu+ixu dx= +C (u。1)；u +1(3) J =ln x | +C；dx(5) J , =arcsinx+C；(7) J sinxdx=cosx+C ；(9) J = J csc 2 xdx=cotx+C；sin 2 x(11) J cscxcotxdx=cscx+C；(13) J ax dx= ex +C;(15) J chxdx=shx+C。dx=arctanx+C;1 + x2cosxdx=sinx+C;(8)(10)J dx JJ sec 2 xdx=tanx+C；COS2 XJ secxtanxdx=secx+C；(12) J(14) J(16) Je x dx= e x +C;shxdx=chx+C;tanxdx=In |cosx |+C;(17)J cotxdx=ln sinx +C;(18) Jsecxdx=ln secx + tanx +C；(19) cscxdx=ln CSCX-cot工 +C；(20) Jdxa 2 + x 21 x - a =-ln+C;a x + a(21 ) J=arcsin - +C ；(22)a2 x2adx.=ln(x+： x2 + a 2 +C; a 2 + x 2f dx;(23) J / =ln x +寸x2 a2 +C.2。凑微分基本类型积分类型换元公式第一类换元积分法1.7如+ /(同)成吹+切(5)1J fixxdx =o 0)3, j 氏2J 性;珈“、&4(+)A =5. | f(ax)(txdx = JJ f(a)dax6. j /(Iti.v) - irfv = J /(lnA：yin x7. J f(ex-exdx =8 J /(sin xy cosxrfx = J /(sin x)d sin xJ / cosx)-sia xdv=J/(cos x)dct)sxu =ax + hu =对u = -Jx1 /f Xu =axU=llXIt w =sinxu - cos Xu = tanxJ f(tAnx)sex2xdx = J /(tan x/(aiiA：第一类换元积分法j f(cotx)cse2x(lx = - J /(cot ycotx ft. J sin wtvcosmvfirsin fnxsin ftxdxCOS/A!XlOS/lXfZv10, J sinxJxf(m 为奇数)lljsindxJ coxdx(跑为偶数)12J/(amtanjc) : .dx = |/(arctanxXCarctanx)j ；arc%in*)-ctx = J/(arcsinresinx)U =OtA：利用积化制差公式进行变换用公式.1 sin- x = mirA1 cat-x = sin: a 进行变换化为倍角的三角函 数降幕后再独分/ arctanxu = a resin a*四.解不定积分的基本方法四.求不定积分的方法及技巧小汇总1. 利用基本公式。（这就不多说了）2. 第一类换元法.（凑微分）设f（U ）具有原函数F（u）。则=F 甲(x) + Cj f 甲(x) 甲(x)dx = j f 甲(x)d (x)其中中（x）可微。或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容， 同时为下一步积分做准备.当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中 拿出部分算式求导、尝试，例1： jln(x + D 预 x dx x(x +1)【解】(ln(x +1)-lnx) x +1 xx( x + 1)jln(* +1)nndx = _j(m(x +1)一lnx)d(ln(x +1)-Inx) =-2(ln(x +1)-Inx)2 + C例2： J上蛀dx(x In x)2【解】(xInx)=1 + Inxf 1 + In x _ f dx In x _1x( x +1)2(x ln x)2x In x3.第二类换元法：设x = p (t)是单调、可导的函数，并且里览)。0.乂设/中(帅。)具有原函数，则有换元公式f f (x)dx =f f 甲(t 诉(t )dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用.主要有以下几种：(1) % a2 一 x2： x = a sin t； x = a cos ti(2) * x2 + a2： x = a tan t； x = a cot t； x = ashtI(3) x2 一 a2： x = a sec t； x = a csc t； x = acht(4) ax + b：nax + b = t有时倒代换x =1也奏效。tax + b 、ax + b _ n cx + d cx + d(6)当被积函数含有尤-max2 + bx + c,4. 分部积分法.公式：jpdv= -jpdv分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成 不定积分。具体选取日、v时，通常基于以下两点考虑：(1) 降低多项式部分的系数(2) 简化被积函数的类型举两个例子吧！x3 - arccos x , 例 3： f dx：1 x 2【解】观察被积函数，选取变换t = arccos x,则f x 3arccos x dx = f B t (- sin t )dt = f-1 cos3 tdt = V1 - x 2sin tj t (sin2t 1)d sin t = j td (3 sin31 - sin t)=11 .、，t sin3-1 sin t - (-sin31 - sin t)dt = 33t sin3 -1 sin t + j(sin21 - 1)d cos t = 33L，2,1t sin3 -1 sin t- cos t- cos31 + C =339x3 - x- (x2 + 2) i；1 - x2 arccos x + C933例4:j arcsin2 xdx【解】j arcsin 2 xdx = x sin2 x-j x 2 arcsin x1 dx1 x2x arcsin x + j 2 arcsin xd1 - x 2 =x arcsin x + 2 1 - x2 arcsin x - j x： 1 - x2dx =v 1 x2!x arcsin x + 2,1 - x2 arcsin x - 2x + C上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型。 有时,分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在jpdv = v-jpdv中，日、v的选取有下面简单的规律：(1川=P (x)，v =Qax, sin ax, cos ax(2) p = In x, arctan x, arcsin x， v = P (x)(3) p = eax， v = cos Px, sin Px(3) 会出现循环，注意p，v选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：(lnx arcsinx)Pm(x )(aAxsinx)uV但是，当p = lnx，v = arcsinx时，是无法求解的.对于(3)情况，有两个通用公式：I = j eax sin bx - dx =牛_ (a sin bx - b cos bx) + C 1a 2 + b 2eaxI = eax cos bx - dx =订(a cos bx + b sin bx) + C5. 几种特殊类型函数的积分。(1) 有理函数的积分有理函数竺)先化为多项式和真分式毕旦之和，再把竺坦分解为若干 Q (x)Q (x)Q (x)个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现=d n (a 2 + X 2)n【解】万能公式时，记得用递推公式：/ = X+ 2n - n 2a2(n一 1)(x2 + a2)n-1 2a2(n-1) n-x6 + x 4 4 x2 2例 5： J dxx 3( x 2 + 1)2x 6 + x 4 4 x 2 2x 6 + x 44 x 2 + 2 x4 x 2 + 2x3 (x2 + 1)2x3 (x2 + 1)2x3 (x2 + 1)2x2 + 1x3 (x2 + 1)2x1dx = ln( x 2 +1) + Cx 2 +12 x 2 + 24 x 2 + 22 x 2 +1, Jdx = Jxdx = Jdx 2 h = x 2 I )应尽量避免。对于只含有tanx （或cotx）的分式，必化成 主生或竺*。再用待定系数 cos x sin x来做。a cos x + b sin xA(a cos x + b sin x) + B (a cos x + b sin x)（3）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用.如:同时出现.衣和+!时，可令x = tan21 ；同时 出现x和板匚x时，可令 x = sin 21 ； 同时出现气112和 arcsin x 时，可令 x=sint ； 同时出现1 -x2和arccosx时，可令x=cost等等.学习完不定积分，觉得这部分内容对我们思维的灵活性要求很大，应该加大习 题量，达到见多识广的效果，做完习题注意总结，以及类似题目的整理.熟记三 角函数公式，不定积分基本公式，掌握各种求积分的方法。x 3( x 2 + 1)2x 4( x 2 + 1)2x 4( x 2 + 1)2j 2H +1d H = j(H +1)2一四2 dH =H 2( h + 1)2h 2( h + 1)2L 11 w _ 11 厂 1 厂J( G 一 浒币)dHBH+C=xF+C故不定积分求得。(2) 三角函数有理式的积分2 tan -2sin x =、， x1 + tan2 2x1 - tan 2 2 cos x =x1 + tan2 2j竺空冬dx可用变换I = tanx化为有理函数的积分，但由于计算较烦，Q (sin x, cos x)2