万有引力定律在天文学的应用

万有引力定律在天文学上的应用知识要点（一）万有引力定律在天文学上的应用1. 求大体质量M、密度p的方法：通过观测大体卫星运动的周期T、轨道半径r,把卫星的运动看成匀速圆周运动，根据向心力来源于万有引力得：G = m（当2rM = 3r 2TGT 2如果知大体的半径R可得大体的体积为V = 4兀R3/3二p = M /V = /（兀R3）=（如果卫星在大体表面运行，r = R,GT 2 3GT 2 R 32.研究大体运动情况的一般方法：把大体运动看成匀速圆周运动，向心力来Mm mv 2,2k源于万有引力，即：G= m32r = m（）2r = m（2nf）2rr 2rT根据研究的实际情况选用恰当的公式进行分析，必要时还可用到物体在大体 表面时受到的引力等物体的重力。即：GMmRT=mg3,海王星及冥王星的发现:（二）人造卫星、宇宙速度1.第一宇宙速度（环绕速度）：7.9km/s。是地球卫星的最小发射速度。Mm v 2:GM推导：当卫星在地球附近运行时，e r地由G= m得v =6.67 x 10 - iix 5.98 x 1024-m/ s = 7.9 x 103 (m/ s)r 2 r 地地6.4 x 106推导：当卫星在地球附近运行时，%= mgV 2由 mg = m 一 得 v =、: gr =、9.8 x 6.4 x 106 = 7.9 x 103 （m / s）地2. 第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s，使物体可以挣脱地球吸引力束缚， 成为绕太阳运行的人造行星（或飞到其他行星上去）的最小发射速度。3. 第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s，使物体挣脱太阳引力的束缚，飞 到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度。（三）卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系1. 由 G = = mv2 得：v = ，GM 即 v；（r 越大 v 越小）r 2rV r r可见第一宇宙速度也可以说成是卫星环绕地球的最大速度。MmfGM12. 由 G= m3 2r 得：3 =：即 3 g 、一 ，（r 越大3 越小）r 2r 3r 33.普=峙得:* 即T心（越大T越大）（四）地球同步卫星运转周期与地球自转周期相同（T=24h），所有的地球同步卫星的轨道平 面均在赤道平面内，且轨道半径和环绕速度均相同。IMm,2兀GMT2小【一.【一推导由G = m（）2r得.r = 3 : T恒定 -r恒定r 2 T 4兀 2（五）卫星的运行及规律一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的 运行速率及轨道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运行即 变轨运动；而当它所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变 化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行。对于稳定运行状态的卫星，运行速率不变：轨道半径不变：万有 引力提供向心力，即GMm/r2= mv2 /r成立。其运行速度与其运行轨道处于一一 对应关系，即每一轨道都有一确定速度相对应，而不稳定运行的卫星则不具备上 述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化。（六）同步卫星的四定地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行卫星。1. 地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任 意夹角。而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。2. 地球同步卫星的同期地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。3. 地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有GMm / r2 = m 2r，得 0r =日GM / j， 0与地球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为r = 4.24 x 104km其离地面高度也是一定的。4. 地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为v = 0 r = 3.08 x 103 m / s,为定值，绕行方向与地球自转方向相同。三.有关行星运动的一些解题方法1. 距离问题已知地球半径约为6.4 x 106 m，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为 m。（结果保留一位有效数字）解：月球绕地球运转一周的时间约为30天，合2.6x 106s。万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律G = mr虹r 2 T 2对地球上质量为m的物体有mfg = GMm-R 2小EE曰:R2gT2.（6.4 x 106）2 x 10 x （2.6 x 106）2. m联立解得 r = 3：-一 = m = 4 x 108 m3 4兀 24 x 3.1422. 周期问题组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周 运动，由此能得到半径为r，密度为p，质量为M且均匀分布的星球的最小自转 周期T，下列表达式中正确的是： _A. T = 2m；B. T = 2冗GMC. T =D.T = Gp解析：万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律解得T = 2兀GM又质量M =nr3p，代入上式得T = 3Gp所以正确选项为A、D3, 质量问题为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M，已知地球半径R = 6.4x 106m，地球质量m = 6.0x 1024kg，日地中心的距离r = 1.5x 1011 m，地球表面处的重力加速度g = 10m/S2，1年约为3.2 x 1075，试估算目前太阳的质 量M。解析：地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有GMm = mr去r2 T2对地球表面处质量为m物体有mfg =弓匝R 2联立解得M = m*)2 二=6.0x 1024 x (04)2 x(1-5 x 1011)3kgT R2g3.2x 107(6.4x 106)2 x 10=2.0 x 1030 kg4.密度问题中子星是恒星演化过程中一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观 察到它的自转周期为L 5。问该中子星的最小密度应为多少才能维持该星体的稳30定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数G = 6.67 x 10 -11N - m 2/kg 2）解析：考虑中子星赤道一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它 随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为p，质 量为M，半径为r，周期为T，位于赤道处的小块物质质量为m，则有G = mr-，又因为M =nr3p，由以上各式解得r 2T 23一3 兀3 x 3.14p =kg / m 3 = 1.27 x 1014 kg / m 3GT 26.67 x 10-11 x G)2305,速度问题俄罗斯“和平号”空间站在人类航天史上写下了辉煌的篇章，因不能保障其继 续运行，于2001年3月20号坠入太平洋，坠落时地面指挥系统使空间站在极 短的时间内向前喷出部分高速气体，使其速度瞬间变小，在万有引力的作用下坠 落。设该空间站在离地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动，地球表面的 重力加速度为g,地球半径为R。求该空间站做圆周运动时的速度？解析：空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G Mjm = m-(R + h)2R + h又在地面表面附近质量为m物体有mg = GMm-R 2I联立解得v = J 旦_ R + h6.加速度问题经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心圆形轨道上运行，轨道半径约为 2.8x 1020m,转动一周的时间约为6.3x 10155。太阳做圆周运动的向心力是来自 它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中 心来处理问题。求：(1)从给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量 Mo(2)太阳在圆周运动轨道上的加速度a。解析：(1)设太阳质量为m,轨道半径为R,周期为T,由牛顿第二定律有八Mm4兀2G= mRR 2T 2所以 M = 4 2R3 = 3.3x 1041 kgGT 2(2)太阳在圆周运动轨道上的加速度就是太阳的向心加速度，所以有a = w 2 R=R = 2.8 x 10-10 m/ 52 oT 2通过以上分析可见，这五种题型表面上看各不相同，每种类型都是一个独立 的个体，但在解法上都用了牛顿第二定律知识，即万有引力提供向心力，万 向心力o四.万有引力定律在圆周运动中的应用高中阶段，万有引力定律主要应用于分析大体运动和人造卫星问题。处理此 类问题的基本方法：(1)将大体运动和人造卫星的运动近似看成匀速圆周运动， 其所需向心力由万有引力提供，即GMm = m兰=mw2r = m(竺)2r,应用时根 r 2rT据实际情况选择不同的关系式。(2)物体在任何大体表面受到的重力近似等于 万有引力，即G% = mg，其中R是大体半径。在实际应用中，形形色色的问 R 2题又可以演化为下面三个模型。1. “点”绕“点”的问题。此类问题中做圆周运动的大体及提供向心力的大体，当两者间距远大于各自 形体大小时，均视为质点。卜 一 Mm v 22兀、有 G= m = m 2 r = m()2 rr rT此时轨道半径r等于两天体间距离。m-、-x、/ 、/ r 、M、 /例1：已知地球绕太阳的公转轨道半径为1.49 x 1011 m，公转周期为3.16x 107 s，万有引力恒量G = 6.67 x 10-11N - m2 /kg2。试估算太阳的质量是多 少？解析：设太阳质量为M，地球质量为m，地球到太阳的距离为r，公转周期 为T。由万有引力提供向心力，对地球GMm = m（四）2rr 2T4兀 2 r 3解得 M = 1.96 x 1030 kgGT 22. “点”绕“球”的问题。此类问题中做圆周运动的物体可视为质点，而提供向心力的大体不能视为质点。有GMm = m兰=m2r = m（竺）2r，此时轨道半径r = R + h，当物体在大 r 2rT体近表面飞行时，有h = 0，r = R。例2：已知一颗近地卫星的周期约为5100s。今要发射一颗地球同步卫星, 它离地面高度约为地球半径的多少倍？解析：设地球质量为M，卫星质量为m，地球半径为R，同步卫星离地面 高度为h，近地卫星、同步卫星的周期分别为TT2。由万有引力提供向心力有对近地卫星GMm = m(攵)2 R(1)R 2 T1对同步卫星 G业竺一=m()2 (R + h)(2)(R + h)2T2代入数据可得h = 5.6 R百宙 R 3 T2由工得=,(2)(R + h)3 T 223.“点”在“球”上的问题此类问题中物体处于大体表面，随大体而同步转动。有G* - Fn = mR 2冗=mgR = m（T）2R，此时轨道半径r = R，并且两者具有相同的周期。mIr RM例3：某行星一昼夜运动时间T = 6h，若用一弹簧秤去测量同一物体的重 0力，结果在行星赤道上是在两极处的90%。已知万有引力恒量G = 6.67 x 10-11N - m2 /kg 2，若行星能看做球体，则它的平均密度为多少？解析：设行星质量为M，物体质量为m，行星半径为R。在两极对物体有：Fn = G* 在赤道对物体有：GMm -矿=m(至)2R R 2N T0 其中 F = 90%F NN_ 4祈2 R 3,一 4解得：M =，又有行星的体积V =兀R3GT 230所以密度p = M =史七=3.03 x 103kg /m3V GT 20【模拟试题】1. 设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间 开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开 采前相比（）A. 地球与月球间的万有引力将变大B. 地球与月球间的万有引力将变小C. 月球绕地球运动的周期将变长D. 月球绕地球运动的周期将变短2. 地球同步卫星到地心的距离r可由r3 =竺竺2求出。已知式中a的单位是4兀2m， b的单位是s， c的单位是m/s2，贝。（）A. a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度B. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度C. a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度D. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力 加速度3. 用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，3。表示地球自转的角速度， 则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小（）0A, 等于 0B, 等于m*0 g0（R + h）2 0C,等于m3R2g尸4D,以上结果都不对4. 中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度。通过观察已知某中子星的自转速度=6Srad/s，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实 人们可以推知中子星的密度。试写出中子星的密度最小值的表达式为p =， 计算出该中子星的密度至少为 kg/m3。（假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有效数字）5. 假设站在赤道某地的人 恰能在日落后4小时的时候，观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运 动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估 算此人造地球卫星绕地球运行的周期为 s。6. 三颗人造地球卫星A、B、C绕地球作匀速圆周运动，如图所示：已知m - m v = vB.周期关系：T T = TABCABCC.向心力大小：七=Fb FCD.半径与周期关系：立=笠=快ABCC7. 宇航员在一行星上以速度为v0竖直上抛一个物体经t秒钟后落回手中，已知该行星半径为R，要使物体不再落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少应 是（）A. v t/RB. jRv /1 C. 2Rv /t D.、v /2Rt0V 0V0V 08. 同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星（）A. 它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同的 值B. 它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的C. 它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值D. 它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的9. 地球绕太阳公转的周期为T1，轨道半径为R1，月球绕地球公转的周期为T2，轨道半径为R2，则太阳的质量是地球的质量的 倍。10. 已知地球的半径约为6.4x 106m，又知月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离为 m。（结果保留一位有效数字）11. 若已知行星绕太阳公转的半径为r,公转的周期为T,万有引力恒量为G,则由此可求出（）A.某行星的质量 B.太阳的质量 C,某行星的密度 D.太 阳的密度12. 如果地球自转速度加快到使赤道上的物体对地面正好没有压力，地球半径 为R，地球表面的重力加速度为g，求地球的自转角速度？【试题答案】1. BD2. AD3. B4. 32/4kG；1.3 x 10145.1.4 x 1046. ABD7. C8. DR 3T 29.1 210. 4 x 10811. BR 3T 212112.旦R