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1.6 1.6 微积分基本定理微积分基本定理,1,.,211033dxxdxxxxf例如分对于有些定积却比较麻烦的值计算但直接用定积分的定义非常简单虽然被积函数现从前面的学习中可以发.dxx121定义计算定义计算请你尝试利用定积分请你尝试利用定积分几乎不可能几乎不可能.?,?,.和定积分的联系和定积分的联系我们先来探究一下导数我们先来探究一下导数呢呢利用这种联系求定积分利用这种联系求定积分我们能否我们能否内在的联系呢内在的联系呢这两个概念之间有没有这两个概念之间有没有导数和定积分导数和定积分的概念的概念中两个最基本和最重要中两个最基本和最重要学学我们已经学习了微积分我们已经学习了微积分另外另外方法求定积分呢方法求定积分呢加简便、有效的加简便、有效的有没有更有没有更那么那么直接用定义计算直接用定义计算?Stvts,Sb,atstvt,.tss,16.1吗吗表示表示、你能分别用你能分别用内的位移为内的位移为设这个物体在时间段设这个物体在时间段的速度的速度时刻时刻它在任意它在任意由导数的概念可知由导数的概念可知运动规律是运动规律是物体的物体的一个作变速直线运动的一个作变速直线运动的如图如图探究探究 0ta1t1itit1nt ntb BA1h1hihihnhnSiS1S tss StSo16.1图图如何用s(t)表示物体在a,b内的位移S?引导学生观察s=s(t)的图像探索发现并得出：)a(s)b(ss2.如何用V(t)表示物体在a,b内的位移S？在上一节“汽车行驶的路程”中，学生知道了位移就是对速度函数v(t)的定积分 ，已知路程函数s(t),因此关键在于建立v(t)与s(t)的关系()baSV t dt由以上探究同学们得出什么结论？)t(v)t(s 微积分基本定理：设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且上连续，并且F(x)f（x)，则，则，baaFbFxxf)()(d)(这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).).()()(d)(aFbFxFxxfbaba或记作 .dxx1x22;dxx11:131221计算下列定积分计算下列定积分例例,x1xln1因为解2121|xlndxx1所以.2ln1ln2ln ,x1x1,x2x222因为dxx1xdx2dxx1x23123131231312x1|x.32213119()()|()()bbaaf x dxF xF bF a找出找出f(x)的原的原函数是关键函数是关键练习练习1:_4_3_2_112131031010 dxxdxxxdxdx12141415banbannxdxx121 ：公公式式abxdxxbabalnlnln11 ：公公式式12微积分基本定理表明：微积分基本定理表明：一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意:求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系微积分基本定理：.Stv,来求位移由我们还可以利用定积分另一方面 .asbsS,atbttssS,即处的函数值之差处与在是函数物体的位移显然.nabttt,t,t,t,t,t,t,t,t:nb,abttttta1iin1ni1i2110ni1i10 每个小区间的长度均为个小区间等分成将区间用分点微积分基本定理：证明：11111,.iiiiiiiitttv tv tbaShv tts tts tn 当很小时 在上的变化很小 可以认为物体近似地以速度作匀速运动 物体所作的位移PDCots1its itsiSiht1itit tss 26.1图图.ttstDPCtanhS,tsPD,PPD,Pttss,26.11iii1i1i于是的斜率等于切线导数的几何意义知由点处的切线是点为对应的上与设曲线图从几何意义上看iihS tDPC tan ttyi 1n1iin1iihSS,16.1可得物体总位移结合图.ttsttv1in1in1i1i,b,a,t,n,的分划就越细区间越小即越大显然1in1in1in1in1i1itvnablimS.SttsttV由定积分的定义有的近似程度就越好与1in1intsnablim .dttsdttvbaba .asbsdttsdttvSbaba有结合|bacx11|1nbaxn+cos|bax-sin|bax定积分公式定积分公式6)()xxbxae dxee7)()lnaxbxxa dxaaa15)(ln)1baxxdxx1)()bacxccdx12)bnnnaxnxdxx3)(sin)coscosbaxdxxx 4)(cos)sinsinbaxdxxxln|bax|xbae|lnxbaaa 练习练习2：_14_1233_12_2312121221102 dxedxxxdxxxdttx12ln23 912 ee说明：说明：牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积只要求出被积函数函数 f f(x x)的一个原函数的一个原函数F F(x x)，然后，然后计算原函数计算原函数在区间在区间 a,ba,b 上的增量上的增量F F(b b)F F(a a)即可即可.该公式把该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。计算定积分归结为求原函数的问题。:0,还可能是还可能是也可能取负值也可能取负值定积分的值可能取正值定积分的值可能取正值可以发现可以发现;,),36.1(x1且等于曲边梯形的面积且等于曲边梯形的面积定积分的值取正值定积分的值取正值图图轴上方时轴上方时当对应的曲边梯形位于当对应的曲边梯形位于.,),46.1(x2反数反数的相的相且等于曲边梯形的面积且等于曲边梯形的面积定积分的值取负值定积分的值取负值图图轴下方时轴下方时当对应的曲边梯形位于当对应的曲边梯形位于oxy211xsiny 36.1图图oxy112xsiny 46.1图图.xx),56.1(0,xx3轴下方的曲边梯形面积轴下方的曲边梯形面积边梯形的面积减去位于边梯形的面积减去位于轴上方的曲轴上方的曲且等于位于且等于位于图图定积分的值为定积分的值为时时积积形面形面梯梯曲边曲边下方的下方的轴轴梯形的面积等于位于梯形的面积等于位于轴上方的曲边轴上方的曲边当位于当位于.,.,成果成果分中最重要、最辉煌的分中最重要、最辉煌的微积分基本定理是微积微积分基本定理是微积可以毫无夸张地说可以毫无夸张地说科学科学远的远的成为一门影响深成为一门影响深来来使微积分学蓬勃发展起使微积分学蓬勃发展起它它分学中最重要的定理分学中最重要的定理微积分基本定理是微积微积分基本定理是微积积分的一种方法积分的一种方法同时它也提供了计算定同时它也提供了计算定在联系在联系积分之间的内积分之间的内和定和定导数导数微积分基本定理揭示了微积分基本定理揭示了oxy112xsiny 56.1图图
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