高二数学教案-椭圆

实验实验1:能用手上的绳子作出一个圆吗能用手上的绳子作出一个圆吗?实验实验2:将绳两端固定在两个定点上，将绳两端固定在两个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动铅笔，观察套上铅笔，拉紧绳子，移动铅笔，观察画出的轨迹是什么曲线？画出的轨迹是什么曲线？一一、动手实验动手实验MF1F2观察做图过程：观察做图过程：1绳长应当大于绳长应当大于F1、F2之间之间的距离。的距离。2由于绳长固定，所以由于绳长固定，所以 M 到到两个定点的距离和也固定。两个定点的距离和也固定。讨论以下问题：讨论以下问题：（1）在纸板上作图说明了什么？）在纸板上作图说明了什么？（2）在绳长不变的条件下，改变两个图钉的距离，画出）在绳长不变的条件下，改变两个图钉的距离，画出的椭圆有何变化？的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？么？当两个图钉固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗当两个图钉固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？能画出的图形吗？能画出的图形吗？F1F2M设设|F1F2|2c，|MF1|MF2|2a定义：定义：平面内平面内与两个定点与两个定点 F1 ，F2 的距离的和等于的距离的和等于常数常数2a 的点的轨迹的点的轨迹.(1)焦点：定点焦点：定点 F1，F2MF1F2二二.椭圆的定义：椭圆的定义：当当2a=|F1 F2|时时线段线段当当2a0)(3)ac在平面内动点在平面内动点M到两个定点到两个定点F1 ，F2的距离之和等的距离之和等于定值于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？的点的轨迹是否一定为椭圆？思考：思考：（2a|F1 F2|）yxO),(yxPr设圆上任意一点设圆上任意一点P(x，y)以圆心以圆心O为原点，建立直角坐标系为原点，建立直角坐标系 rOP ryx 22两边平方，得两边平方，得 222ryx 回忆在必修回忆在必修2中是如何求圆的方程的？中是如何求圆的方程的？椭圆标准方程的推导：椭圆标准方程的推导：思考思考：如何建立椭圆的方程？如何建立椭圆的方程？建系设点建系设点点的集合点的集合化简方程化简方程代数方程代数方程根据求曲线方程的一般步骤：根据求曲线方程的一般步骤：坐标法坐标法 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、对称、“简洁简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy解：取过焦点解：取过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的的垂直平分线为垂直平分线为y轴，轴，建建立平面直角坐标系立平面直角坐标系(如图如图).设设M(x,y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一点，椭圆的焦距点，椭圆的焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a(2a2c)，则，则F1、F2的坐的坐标分别是标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化化简？）简？）aMFMF221222221)(,)(ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222 得方程由椭圆的定义得，由椭圆的定义得，限限制条件制条件：代代入坐标入坐标1)椭圆的标准方程的推导由两点间的距离公式，可知：由两点间的距离公式，可知：2222()()2xcyxcyaxyOF1F2(c,0)M(-c,0)(x,y)2222()2()xcyaxcy所所以以2222222()44()()xcyaaxcyxcy两边平平方方得得:222()acxaxcy即：即：两边平方得：两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因因2a2c，即，即ac，故，故a2-c20，令令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式，代入上式 ,可得：可得：yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)222221xyaac两边同时除以两边同时除以a2(a2-c 2)得：得：这就是所求这就是所求椭圆的标准方程椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在，它表示的椭圆的焦点在x轴轴上，焦点是上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)这里这里c2=a2-b222221(0)xyabab思考：思考：如图，如果焦点如图，如果焦点F1、F2在在y轴上，轴上，且且F1、F2的坐标分别是的坐标分别是(0,-c)，(0,c)，a、b的意义的意义同上，那么椭圆的方程是什么？同上，那么椭圆的方程是什么？22221(0)yxababyxOF1F2M(0,-c)(0,c)这个方程也是椭圆的标准方程。这个方程也是椭圆的标准方程。0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的关系之间的关系c2 2=a2 2-b2 2MF1+MF2=2a (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM3)两类标准方程的对照表注注:共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.15422yx1、已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：,则则 a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：焦点坐标为：_，焦距，焦距 等于等于_;2、已知椭圆的方程为、已知椭圆的方程为 则则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：焦点坐标为：_.21(0,-1)、(0,1)25 5PF1F2练习：22416xy422 3 3 2,0,2,03333课堂练习11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.1、填空：填空：（P36 练习练习 第一题）第一题）椭圆椭圆 上一点上一点P到焦点到焦点F1的距离等的距离等于于6，则点，则点P到另一个焦点到另一个焦点 F2的距离是的距离是_。13610022yx14a=10,b=6且有且有|PF1|+|PF2|=20练习：练习练习、（、（P36 练习练习 第二题）第二题）写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)a=4，b=1,焦点在焦点在x轴上轴上 (2)a=4，b=,焦点在焦点在y轴上轴上 (3)a+b=10，c=152 52213616xy64ab，2211636xy或22116xy2211516xy3、填空：、填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_1162522yx543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD|CF1|+|CF2|=2a|DF1|+|DF2|=2a例例1、两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），且），且 椭圆经过点椭圆经过点P 。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的方程为：轴上，所以可设它的方程为：)0(12222babyax由椭圆的定义可知：由椭圆的定义可知：又因又因 c=2，所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：221106xy)23,25(102)23()225()23()225(22222a1 10 0所所以以a a 故故 b2=a2-c2=10-22=6你来能用你来能用其他方法其他方法吗？吗？作业布置作业布置 1 1、习题：、习题：A A组组42P第2题 平面内到两定点平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数的距离之和等于常数(大于大于|F1F2|)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距两焦点的距离叫做焦距一一.椭圆的定义椭圆的定义F1F2M判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：已知已知F1(-4,0)、F2(4,0)1、到、到F1、F2两点的距离之和为两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆。的点的轨迹是椭圆。2、到、到F1、F2两点的距离之和为两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆。的点的轨迹是椭圆。求动点轨迹求动点轨迹方程的一般步骤：方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点上任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件P的点的点M的集合；的集合；(可以省略，可以省略，直接列出曲线方程直接列出曲线方程)（3）用坐标表示条件）用坐标表示条件P（M），列出方程），列出方程 （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点曲线上的点(可以省略不写可以省略不写,如有特殊情况，可以如有特殊情况，可以适当予以说明适当予以说明)(,)0f x y(,)0f x y（4）化方程）化方程 为最简形式；为最简形式；3.3.列等式列等式4.4.代坐标代坐标5.5.化简方程化简方程1.1.建系建系2.2.设坐标设坐标作业布置作业布置 1 1、习题：、习题：A A组组 2 2、思考：、思考：若方程若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在y轴轴上的椭圆，求上的椭圆，求k的取值范围。的取值范围。42P第2题2：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求轴上的椭圆，求k的取值范围。的取值范围。解：解：由由 4x2+ky2=1114122kyx可得因为因为方程表示的曲线是焦点在方程表示的曲线是焦点在y轴轴上的椭圆上的椭圆41k1所以即：即：0k4所以所以k的取值范围为的取值范围为0k4。F1F2MxyO012222babyax012222babxay表示焦点在x轴，焦点为F1（-c,0），F2（c,0）表示焦点在y轴，焦点为F1（0,-c），F2（0,c）xyoF2F1M练习、练习、方程方程x2+ky2=2的曲线是焦点在的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则k的的取值范围是（取值范围是（）A、（、（0，+）B、（、（0，2）C、（、（1，+）D、（、（0，1）1162422kykx练习、练习、方程方程 表示焦点在表示焦点在X轴上的椭圆，轴上的椭圆，则则k的取值范围为的取值范围为 .若去掉焦点在若去掉焦点在y轴上的条件呢轴上的条件呢?若去掉焦点在若去掉焦点在X轴上的条件呢轴上的条件呢?D2416kk240k160k42416kkk 164kk