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第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 三年三年3636考考 高考指数高考指数:1.1.了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数不超过三次）调性，会求函数的单调区间（对多项式函数不超过三次）.2.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）；会求求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）.3.3.会利用导数解决某些实际问题会利用导数解决某些实际问题.1.1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的极值（最值）是考查重点；极值（最值）是考查重点；2.2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点；点；3.3.题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等知识题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等知识点交汇则以解答题为主，难度较大点交汇则以解答题为主，难度较大.1.1.导数与函数单调性的关系导数与函数单调性的关系（1 1）函数）函数y=f(xy=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导若若f(xf(x)0 0，则，则f(xf(x)在这个区间内在这个区间内_；若若f(xf(x)0 0，则，则f(xf(x)在这个区间内在这个区间内_._.（逆命题（逆命题不成立）不成立）如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f(xf(x)=0)=0，则，则f(xf(x)为为_._.单调递增单调递增单调递减单调递减常数函数常数函数(2)(2)单调性的应用单调性的应用若函数若函数y=f(xy=f(x)在区间在区间(a,b(a,b)上单调，则上单调，则y=f(xy=f(x)在该区间上不在该区间上不变号变号.【即时应用【即时应用】（1 1）函数）函数f(xf(x)=1+x-sinx)=1+x-sinx在在(0,2)(0,2)上的单调情况是上的单调情况是_._.（2 2）若函数）若函数y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是R R上的单调函数，则实数上的单调函数，则实数m m的取值范的取值范围是围是_._.【解析【解析】（1 1）在（）在（0 0，2)2)上有上有f(xf(x)=1-cosx0)=1-cosx0，所以，所以f(xf(x)在在(0,2)(0,2)上单调递增上单调递增.（2 2）函数）函数y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是R R上的单调函数，只需上的单调函数，只需y=3xy=3x2 2+2x+m+2x+m00恒成立，恒成立，即即=4-12m0=4-12m0，m .m .答案：答案：（1 1）单调递增）单调递增 （2 2）mm13132.2.函数极值的概念函数极值的概念设函数设函数f(xf(x)在点在点x x0 0附近有定义，且在附近有定义，且在x x0 0两侧的单调性相反（或导两侧的单调性相反（或导数值异号），则数值异号），则x x0 0为函数为函数f(xf(x)的极值点，的极值点，f(xf(x0 0)为函数的极值为函数的极值.若若先增（减）后减（增），则称先增（减）后减（增），则称f(xf(x0 0)为函数的一个为函数的一个_,_,称称x x0 0为为_._.极大极大(小小)值值极大极大(小小)值点值点【即时应用【即时应用】（1 1）判断下列结论的正误）判断下列结论的正误.（请在括号中填（请在括号中填“”或或“”）导数为零的点一定是极值点导数为零的点一定是极值点.().()如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧f(xf(x)0 0，右侧，右侧f(xf(x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0)是是极大值极大值.().()如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧f(xf(x)0 0，右侧，右侧f(xf(x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0)是是极小值极小值.().()如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧f(xf(x)0 0，右侧，右侧f(xf(x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0)是是极大值极大值.().()（2 2）函数）函数f(xf(x)的定义域为开区间的定义域为开区间(a(a，b)b)，导函数，导函数f(xf(x)在在(a(a，b)b)内的图象如图所示，则函数内的图象如图所示，则函数f(xf(x)在开区间在开区间(a(a，b)b)内有极小值内有极小值点的个数为点的个数为_._.【解析】【解析】(1)(1)由极值的定义可得，只有由极值的定义可得，只有正确；正确；(2)(2)从从f(x)f(x)的的图象可知图象可知f(x)f(x)在在(a(a，b)b)内从左到右的单调性依次为增内从左到右的单调性依次为增减减增增减，所以减，所以f(x)f(x)在在(a(a，b)b)内只有一个极小值点内只有一个极小值点.答案：答案：(1)(1)(2)1 (2)13.3.函数极值与最值的求法函数极值与最值的求法(1)(1)求可导函数极值的步骤：求可导函数极值的步骤：求导数求导数f(x)f(x)；求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根；的根；列表，检验列表，检验f(x)f(x)在方程在方程f(x)=0f(x)=0的根左右两侧的符号（判的根左右两侧的符号（判断断y=f(x)y=f(x)在根左右两侧的单调性），确定是否为极值，是极大在根左右两侧的单调性），确定是否为极值，是极大值还是极小值值还是极小值.（2 2）求函数最值可分两步进行：）求函数最值可分两步进行：求求y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内的内的_；将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)f(a)、f(b)f(b)比较，比较，其中其中_为最大值，为最大值，_为最小值为最小值.极值极值最大的一个最大的一个最小的一个最小的一个【即时应用】【即时应用】（1 1）思考：最值是否一定是极值？）思考：最值是否一定是极值？提示：提示：不一定不一定.如果最值在端点处取得就不是极值如果最值在端点处取得就不是极值.（2 2）函数）函数f(x)=3x-4xf(x)=3x-4x3 3，x0,1x0,1的最大值是的最大值是_._.【解析】【解析】由由f(x)=3-12xf(x)=3-12x2 2=0=0得得x=x=，f(0)=0f(0)=0，f()=1f()=1，f(1)=-1f(1)=-1，f(x)f(x)maxmax=1.=1.答案：答案：1 11212（3 3）已知函数）已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=1x=1处取极值处取极值1010，则，则f(2)=f(2)=_._.【解析】【解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax+b+2ax+b，由题意，由题意 ,即即 ,得得a=4a=4或或a=-3.a=-3.但当但当a=-3a=-3时，时，b=3,f(x)=3xb=3,f(x)=3x2 2-6x+30-6x+30，故不存在极值，故不存在极值，a=4a=4，b=-11b=-11，f(2)=18.f(2)=18.答案：答案：1818f110f 10（）（）21aba1032ab0 4.4.导数的实际应用导数的实际应用导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型（函数关系），再利用导数研究其单调性和最值型（函数关系），再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中解题过程中要时刻注意实际问题的意义要时刻注意实际问题的意义.【即时应用】【即时应用】（1 1）已知某生产厂家的年利润）已知某生产厂家的年利润y y（单位：万元）与年产量（单位：万元）与年产量x x（单位：万件）的函数关系式为（单位：万件）的函数关系式为y=-xy=-x3 3+81x-234+81x-234，则使该生，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为产厂家获得最大年利润的年产量为_._.（2 2）将边长为）将边长为1 m1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记成两块，其中一块是梯形，记S=,S=,则则S S的最小值的最小值是是_._.132（梯形的周长）梯形的面积【解析】【解析】（1 1）y=-xy=-x2 2+81,+81,令令y=0y=0得得x=9x=9或或x=-9x=-9（舍去），当（舍去），当x x9 9时时yy0 0；当当x x9 9时时yy0 0，故当，故当x=9x=9时函数有极大值，也是最大值；时函数有极大值，也是最大值；即该生产厂家获得最大年利润的年产量为即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9 9万件万件.（2 2）设剪成的小正三角形的边长为）设剪成的小正三角形的边长为x x，则：则：2(3x)S13(x1)(1x)22224(3x)(0 x1),1x3224(3x)S(x)1x3 2222224(2x6)(1x)(3x)(2x)42(3x1)(x3)S x(1x)(1x)33令令S(x)=0S(x)=0（0 0 x x1 1）,得得x=,x=,当当x(0,)x(0,)时，时，S(x)S(x)0,S(x)0,S(x)递减；递减；当当x(,1)x(,1)时，时，S(x)S(x)0,S(x)0,S(x)递增；递增；故当故当x=x=时，时，S S取得最小值取得最小值 .答案：答案：（1 1）9 9万件万件 （2 2）1313131332 3332 33 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性【方法点睛】【方法点睛】1.1.导数在函数单调性方面的应用导数在函数单调性方面的应用（1 1）利用导数判断函数的单调性；）利用导数判断函数的单调性；（2 2）利用导数求函数的单调区间；）利用导数求函数的单调区间；（3 3）已知函数单调性，求参数的范围）已知函数单调性，求参数的范围.2.2.导数法求函数单调区间的一般流程导数法求函数单调区间的一般流程求定义域求定义域求导数求导数f(x)f(x)求求f(x)=0f(x)=0在定义域内的根在定义域内的根 用求得的根划分定义区间用求得的根划分定义区间 确定确定f(x)f(x)在各个区间内的符号在各个区间内的符号 得相应区间上的单调性得相应区间上的单调性【提醒】【提醒】当当f(x)f(x)不含参数时，也可通过解不等式不含参数时，也可通过解不等式f(x)0f(x)0（或（或f(x)0f(x)2x2时，时，y=-2sinx0y=-2sinx0，排除，排除D.D.由由y=-2cosx0y=-2cosx0得得cosx ,cosx ,在满足上式的在满足上式的x x的区间内，的区间内，y y是是增函数增函数,由由y=-2cosx0y=-2cosx ,cosx ,在满足上式的在满足上式的x x的区间内，的区间内，y y是减是减函数函数.由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个,BB不正确，不正确，C C正确正确.x212141214（2 2）a=a=时，时，f(x)=x(ef(x)=x(ex x-1)-x-1)-x2 2，f(x)=ef(x)=ex x-1+xe-1+xex x-x=(e-x=(ex x-1)(x+1).-1)(x+1).当当x(-,-1)x(-,-1)时时,f(x),f(x)0;0;当当x(-1,0)x(-1,0)时，时，f(x)f(x)0;0;当当x(0,+)x(0,+)时，时，f(x)f(x)0.0.所以所以f(x)f(x)在在(-,-1)(-,-1)和和(0,+)(0,+)上单调递增，上单调递增，在（在（-1-1，0 0）上单调递减）上单调递减.故故f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-,-1),(0,+),(-,-1),(0,+),单调递减区间为单调递减区间为(-1,0).(-1,0).1212f(x)=x(ef(x)=x(ex x-1-ax).-1-ax).令令g(x)=eg(x)=ex x-1-ax-1-ax，则，则g(x)=eg(x)=ex x-a.-a.若若a1a1，则当，则当x(0,+)x(0,+)时，时，g(x)g(x)0 0，g(x)g(x)为增函数，而为增函数，而g(0)=0g(0)=0，从而当从而当x0 x0时时,g(x)0,g(x)0，即，即f(x)0.f(x)0.若若a a1 1，则当，则当x(0,lna)x(0,lna)时，时，g(x)g(x)0 0，g(x)g(x)为减函数，而为减函数，而g(0)=0g(0)=0，从而当从而当x(0,lna)x(0,lna)时时,g(x),g(x)0 0，即，即f(x)f(x)0.0.综合得综合得a a的取值范围为的取值范围为(-,1.(-,1.【互动探究】【互动探究】本例（本例（2 2）第）第问中条件改为问中条件改为“若当若当x0 x0时，时，f(x)0”f(x)0”，则，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】由例题知，若由例题知，若a1a1，则当，则当x(-,0 x(-,0时，时，g(x)g(x)为减为减函数，而函数，而g(0)=0g(0)=0，g(x)0,f(x)0g(x)0,f(x)0；若若a a1 1，则当，则当x(lna,0)x(lna,0)时，时，g(x)g(x)为增函数，而为增函数，而g(0)=0g(0)=0，g(x)g(x)0,f(x)0,f(x)0,0,不合题意，不合题意，aa的取值范围是的取值范围是1,+).1,+).答案：答案：1,+)1,+)【反思【反思感悟】感悟】1.1.求函数的单调区间时，切记定义域优先的原求函数的单调区间时，切记定义域优先的原则，一定要注意先求定义域则，一定要注意先求定义域.2.2.恒成立问题的处理，一般是采用恒成立问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化分离参数，最值转化”的的方法方法.【变式备选】【变式备选】已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-ax-1.-ax-1.（1 1）若）若f(x)f(x)在实数集在实数集R R上单调递增，求实数上单调递增，求实数a a的取值范围；的取值范围；（2 2）是否存在实数）是否存在实数a,a,使使f(x)f(x)在（在（-1-1，1 1）上单调递减？若存在，）上单调递减？若存在，求出求出a a的取值范围；若不存在，说明理由的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】【解析】（1 1）由已知）由已知f(x)=3xf(x)=3x2 2-a,-a,f(x)f(x)在（在（-,+-,+）上单调递增，）上单调递增，f(x)=3xf(x)=3x2 2-a0-a0在（在（-,+-,+）上恒成立，）上恒成立，即即a3xa3x2 2对对xRxR恒成立恒成立.3x3x2 20,0,只需只需a0,a0,又又a=0a=0时，时，f(x)=3xf(x)=3x2 200且只有且只有ff（0 0）=0,=0,故故f(x)=xf(x)=x3 3-1-1在在R R上是增函数，上是增函数，a0.a0.（2 2）由）由f(x)=3xf(x)=3x2 2-a0-a0在在(-1,1)(-1,1)上恒成立，上恒成立，得得a3xa3x2 2在在(-1,1)(-1,1)上恒成立上恒成立.-1x1,3x-1x1,3x2 23,3,只需只需a3.a3.当当a=3a=3时，时，f(x)=3(xf(x)=3(x2 2-1),-1),在在(-1,1)(-1,1)上，有上，有f(x)0,f(x)0,即即f(x)f(x)在（在（-1-1，1 1）上为减函数，）上为减函数，a3.a3.故存在实数故存在实数a3,a3,使使f(x)f(x)在（在（-1-1，1 1）上单调递减）上单调递减.利用导数研究函数的极值（最值）利用导数研究函数的极值（最值）【方法点睛】【方法点睛】应用函数极值应注意的问题应用函数极值应注意的问题(1)(1)注意极大值与极小值的判断注意极大值与极小值的判断.(2)(2)已知极值求参数的值已知极值求参数的值:注意注意f(xf(x0 0)=0)=0是函数是函数y=f(x)y=f(x)在在x x0 0处取处取得极值的必要不充分条件得极值的必要不充分条件.(3)(3)数形结合求参数的范围数形结合求参数的范围.利用导数研究了函数的单调性和极利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范围围.【例【例2 2】(2011(2011重庆高考重庆高考)设设f(x)=2xf(x)=2x3 3+ax+ax2 2+bx+1+bx+1的导数为的导数为f(x),f(x),若函数若函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=-x=-对称，且对称，且f(1)=0.f(1)=0.(1)(1)求实数求实数a,ba,b的值的值;(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的极值的极值.【解题指南】【解题指南】y=f(x)y=f(x)的图象是抛物线，易确定对称轴，从而的图象是抛物线，易确定对称轴，从而可求可求a a，b b；然后按照求函数极值的步骤求极值即可；然后按照求函数极值的步骤求极值即可.12【规范解答】【规范解答】(1)f(x)=6x(1)f(x)=6x2 2+2ax+b=6(x+)+2ax+b=6(x+)2 2+b-+b-，函数，函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=-x=-对称，所以对称，所以-=-=-a=3a=3，又又f(1)=0f(1)=06+2a+b=06+2a+b=0b=-12b=-12；(2)(2)由由(1)(1)知知f(x)=2xf(x)=2x3 3+3x+3x2 2-12x+1,f(x)=6x-12x+1,f(x)=6x2 2+6x-12+6x-12，令，令f(x)f(x)=0=0得得x x1 1=-2,x=-2,x2 2=1=1；所以函数所以函数f(x)f(x)在在(-,-2)(-,-2)上递增，在上递增，在(-2,1)(-2,1)上递减，在上递减，在(1,+)(1,+)上递增，所以函数上递增，所以函数f(x)f(x)在在x=-2x=-2处取得极大值处取得极大值f(-2)=21f(-2)=21，在，在x=1x=1处处取得极小值取得极小值f(1)=-6.f(1)=-6.a62a6a6a612【反思【反思感悟】感悟】1.1.求函数的极值时，一定要注意观察极大值与求函数的极值时，一定要注意观察极大值与极小值的情况，否则极易弄混极大值、极小值极小值的情况，否则极易弄混极大值、极小值.2.2.利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，为数形结合解题提供了方便为数形结合解题提供了方便.【变式训练】【变式训练】(20112011北京高考）已知函数北京高考）已知函数f(x)=(x-k)ef(x)=(x-k)ex x.（1 1）求）求f(x)f(x)的单调区间；的单调区间；（2 2）求）求f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值上的最小值.【解析】【解析】（1 1）f(x)=(x-k+1)ef(x)=(x-k+1)ex x.令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=k-1,f(x)x=k-1,f(x)与与f(x)f(x)的变化情况如下：的变化情况如下：所以所以f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,k-1)(-,k-1)；单调递增区间是单调递增区间是(k-1,+).(k-1,+).x x(-,k-1)(-,k-1)k-1k-1(k-1,+)(k-1,+)f(x)f(x)0 0+f(x)f(x)-e-ek-1k-1 （2 2）当）当k-10k-10，即，即k1k1时，函数时，函数f(x)f(x)在在0,10,1上单调递增，所上单调递增，所以以f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为f(0)=-kf(0)=-k；当；当0 0k-1k-11 1，即，即1 1k k2 2时，由（时，由（1 1）知）知f(x)f(x)在在0,k-1)0,k-1)上单调递减，在上单调递减，在(k-1,1(k-1,1上单调递增，所以上单调递增，所以f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为f(k-1)=-ef(k-1)=-ek-1k-1.当当k-11,k-11,即即k2k2时，函数时，函数f(x)f(x)在在0,10,1上单调递减，所以上单调递减，所以f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为f(1)=(1-k)e.f(1)=(1-k)e.综上，当综上，当k1k1时，时，f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为-k-k；当当1k21k3,c3,所以所以c-20,c-20,所以令所以令yy0 0得得:令令yy0 0得得:0:0r r ,2160r328(c2)r20,0r2.r320r;c2320c2当当3 3c c ，即，即 22时，函数时，函数y y在（在（0 0，2 2上是单调递上是单调递减的，故建造费用最小时减的，故建造费用最小时r=2.r=2.当当c c ，即，即0 0 2 2时，函数时，函数y y在（在（0 0，2 2上是先减后增上是先减后增的，故建造费用最小时的，故建造费用最小时r=.r=.92320c292320c2320c2【反思【反思感悟】感悟】1.1.解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能否解决这个问题否解决这个问题.2.2.解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域，往往是这类解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域，往往是这类题目失分的主要原因题目失分的主要原因.【变式训练】【变式训练】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量的耗油量y y（升）关于行驶速度（升）关于行驶速度x x（千米（千米/小时）的函数解析式可小时）的函数解析式可以表示为：以表示为：y=xy=x3 3-x+8(0-x+8(0 x120).x120).已知甲、乙两地已知甲、乙两地相距相距100100千米千米.（1 1）当汽车以）当汽车以4040千米千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？要耗油多少升？（2 2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？少？最少为多少升？1128 000380【解析】【解析】（1 1）当）当x=40 x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了时，汽车从甲地到乙地行驶了 =2.5=2.5小小时，时，要耗油要耗油(40403 3-40+8)40+8)2.52.5=17.5=17.5（升）（升）.答：当答：当汽车以汽车以4040千米千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油油17.517.5升升.10041128 000380（2 2）当速度为）当速度为x x千米千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小小时，设耗油量为时，设耗油量为h(x)h(x)升，升，依题意得依题意得h(x)=(0h(x)=(0 x120),x120),h(x)=h(x)=100 x3213100180015(xx8)x128 00080 x1 280 x43322x800 x800 x120.640 x640 x令令h(x)=0,h(x)=0,得得x=80.x=80.当当x(0,80)x(0,80)时，时，h(x)h(x)0,h(x)0,h(x)是减函数；是减函数；当当x(80,120 x(80,120时，时，h(x)h(x)0,h(x)0,h(x)是增函数是增函数.当当x=80 x=80时，时，h(x)h(x)取到极小值取到极小值h(80)=11.25.h(80)=11.25.因为因为h(x)h(x)在在(0,120(0,120上只有一个极值，所以它是最小值上只有一个极值，所以它是最小值.答：答：当汽车以当汽车以8080千米千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为油最少，最少为11.2511.25升升.【变式备选】【变式备选】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3 3元，并且每件产品需向总公司交元，并且每件产品需向总公司交a a元（元（3a53a5）的管理费，预）的管理费，预计当每件产品的售价为计当每件产品的售价为x x元（元（9x119x11）时，一年的销售量为）时，一年的销售量为(12-x)(12-x)2 2万件万件.（1 1）求分公司一年的利润）求分公司一年的利润L L（万元）与每件产品的售价（万元）与每件产品的售价x x的函数的函数关系式；关系式；（2 2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L L最大，最大，并求出并求出L L的最大值的最大值Q Q（a a）.【解析】【解析】（1 1）分公司一年的利润）分公司一年的利润L L（万元）与售价（万元）与售价x x的函数关系的函数关系式为：式为：L=(x-3-a)(12-x)L=(x-3-a)(12-x)2 2,x,x9,119,11.(2)L=(12-x)(2)L=(12-x)2 2-2(x-3-a)(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).=(12-x)(18+2a-3x).令令L=0L=0得得x=6+ax=6+a或或x=12x=12（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）.3a5,86+a .3a5,86+a .在在x=6+ax=6+a两侧，由左向右两侧，由左向右LL的值由正变负的值由正变负.232328323所以所以当当86+a86+a9 9即即3a3a 时，时，L Lmaxmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)=L(9)=(9-3-a)(12-9)2 2=9(6-a).=9(6-a).当当96+a 96+a ，即，即 a5a5时，时，L Lmaxmax=L(6+a)=(6+a-3-a)=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)12-(6+a)2 2=4(3-a)=4(3-a)3 3.所以所以Q(a)=Q(a)=2392232839223232313399 6a 3a2.194 3a a532 即：若即：若3a3a ，则当每件售价为，则当每件售价为9 9元时，分公司一年的利润元时，分公司一年的利润L L最大，最大值最大，最大值Q Q（a a）=9(6-a)=9(6-a)（万元）；若（万元）；若 a5a5，则当每，则当每件售价为件售价为(6+a)(6+a)元时，分公司一年的利润元时，分公司一年的利润L L最大，最大值最大，最大值Q(a)=4(3-a)Q(a)=4(3-a)3 3(万元万元).).92922313【满分指导】【满分指导】函数综合题的规范解答函数综合题的规范解答 【典例】（【典例】（1414分）分）(2011(2011湖南高考湖南高考)设函数设函数f(x)=x-alnxf(x)=x-alnx(aR).(aR).(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的单调性；的单调性；(2)(2)若若f(x)f(x)有两个极值点有两个极值点x x1 1和和x x2 2，记过点，记过点A(xA(x1 1,f(x,f(x1 1),B(x),B(x2 2,f(xf(x2 2)的直线的斜率为的直线的斜率为k k，问：是否存在，问：是否存在a a，使得，使得k=2-ak=2-a？若存？若存在，求出在，求出a a的值，若不存在，请说明理由的值，若不存在，请说明理由.1x【解题指南】【解题指南】（1 1）对）对f(x)f(x)求导，就求导，就a a的取值分类讨论；的取值分类讨论；（2 2）假设存在）假设存在a a满足条件，判断条件是否满足满足条件，判断条件是否满足.【规范解答】【规范解答】（1 1）f(x)f(x)的定义域为的定义域为(0,+).(0,+).f(x)=1+-=f(x)=1+-=2 2分分令令g(x)=xg(x)=x2 2-ax+1,-ax+1,其判别式其判别式=a=a2 2-4.-4.当当|a|2|a|2时，时，00，f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递上单调递增增.3 3分分当当a a-2-2时，时，0,g(x)=00,g(x)=0的两根都小于的两根都小于0 0，在，在(0,+)(0,+)上，上，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增.4 4分分21xax22xax1x当当a a2 2时，时，0,g(x)=00,g(x)=0的两根为的两根为当当0 0 x xx x1 1时，时，f(x)f(x)0 0；当；当x x1 1x xx x2 2时，时，f(x)f(x)0 0；当；当x xx x2 2时，时，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)分别在分别在(0,x(0,x1 1),(x),(x2 2,+),+)上单调递增，上单调递增，在在(x(x1 1,x,x2 2)上单调递减上单调递减.6 6分分2212aa4aa4x,x22，（2 2）由（）由（1 1）知，）知，a a2.2.因为因为所以所以 8 8分分1212121212xxf xf xxxa lnxlnxx x，1212121212f xf xlnxlnx1k1axxx xxx 又由又由(1)(1)知，知，x x1 1x x2 2=1.=1.于是于是若存在若存在a a，使得，使得k=2-a,k=2-a,则则 即即lnxlnx1 1-lnx-lnx2 2=x=x1 1-x-x2 2，亦即亦即x x2 2-2lnx-2lnx2 2=0(x=0(x2 21)(1)(*)1010分分1212lnxlnxk2a,xx1212lnxlnx1,xx21x再由（再由（1 1）知，函数）知，函数h(t)=t-2lnth(t)=t-2lnt在在(0,+)(0,+)上单调递增，而上单调递增，而x x2 21 1，所以，所以x x2 2-2lnx-2lnx2 21-2ln1=0.1-2ln1=0.这与这与(*)式矛盾式矛盾.1313分分故不存在故不存在a a，使得，使得k=2-a.k=2-a.1414分分1t21x11【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)利用导数判断函数单调性和求极值利用导数判断函数单调性和求极值(或最值或最值)不熟练不熟练,忽视忽视a a的值对的值对f(x)f(x)符号的影响符号的影响.(2)(2)对存在性命题的解题方法不熟悉，不能确定准确、有对存在性命题的解题方法不熟悉，不能确定准确、有效的解题思路效的解题思路.备备考考建建议议解决函数的综合问题时，还有以下几点在备考时要高度关解决函数的综合问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：注：（1 1）函数的定义域、单调性、最值（极值）求解熟练；）函数的定义域、单调性、最值（极值）求解熟练；（2 2）与数列、三角、解析几何、不等式等综合时，能够）与数列、三角、解析几何、不等式等综合时，能够迅速、准确地进行转化；迅速、准确地进行转化；另外需要较强的运算能力，才能快速正确地解决一些函数另外需要较强的运算能力，才能快速正确地解决一些函数综合问题综合问题.1.(20111.(2011湖南高考）设直线湖南高考）设直线x=tx=t与函数与函数f(x)=xf(x)=x2 2,g(x)=lnx,g(x)=lnx的图的图象分别交于点象分别交于点M M，N N，则当，则当|MN|MN|达到最小时达到最小时t t的值为的值为()()(A)1 (B)(C)(D)(A)1 (B)(C)(D)125222【解析】【解析】选选D.D.由题意由题意|MN|=t|MN|=t2 2-lnt(t-lnt(t0)0)，不妨令不妨令h(t)=th(t)=t2 2-lnt-lnt，则，则h(t)=2t-h(t)=2t-，令，令h(t)=0,h(t)=0,解得解得t=t=，因为，因为t(0,)t(0,)时，时，h(t)h(t)0 0，当，当t(,+)t(,+)时，时，h(t)h(t)0 0，所以当，所以当t=t=时，时，|MN|MN|达到最小达到最小.1t222222222.(20122.(2012温州模拟）已知函数温州模拟）已知函数f(x)=(m-2)xf(x)=(m-2)x2 2+(m+(m2 2-4)x+m-4)x+m是偶函数，是偶函数，g(x)=-xg(x)=-x3 3+2x+2x2 2+mx+mx在在(-,+)(-,+)内单调递减，则实数内单调递减，则实数m=()m=()（A A）2 2 （B B）-2 -2 （C C）2 2 （D D）0 0【解析】【解析】选选B.B.由由f(x)f(x)是偶函数知是偶函数知m m2 2-4=0,m=-4=0,m=2,2,又又g(x)=-xg(x)=-x3 3+2x+2x2 2+mx+mx在在(-,+)(-,+)内单调递减，内单调递减，所以所以g(x)=-3xg(x)=-3x2 2+4x+m0+4x+m0恒成立，恒成立，=4=42 2+12m0,m-,m=-2.+12m0,m-,m=-2.433.(20123.(2012杭州模拟）定义在杭州模拟）定义在R R上的可导函数上的可导函数f(x)=xf(x)=x2 2+2xf(2)+2xf(2)+1515，在闭区间，在闭区间0,m0,m上有最大值上有最大值1515，最小值，最小值-1-1，则，则m m的取值范的取值范围是围是_._.【解析】【解析】f(x)=xf(x)=x2 2+2xf(2)+15,+2xf(2)+15,f(x)=2x+2f(2),f(2)=4+2f(2).f(x)=2x+2f(2),f(2)=4+2f(2).f(2)=-4,f(2)=-4,故故f(x)=xf(x)=x2 2-8x+15-8x+15=(x-4)=(x-4)2 2-1,-1,又又f(x)f(x)在在0,m0,m上有最大值上有最大值15,15,最小值最小值-1,-1,4m8.4m8.答案：答案：4 4，8 84.(20114.(2011广东高考）函数广东高考）函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2+1+1在在x=_x=_处取得极小值处取得极小值.【解析】【解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2-6x=3x(x-2),-6x=3x(x-2),f(x)f(x)的单调递增区间为：的单调递增区间为：(-,0)(-,0)和和(2,+),(2,+),递减区间为递减区间为(0,2),(0,2),f(x)f(x)在在x=2x=2处取得极小值处取得极小值.答案：答案：2 2
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