2.2.2椭圆的几何性质

2.2.2椭圆的几何性椭圆的几何性质质D 椭圆的定义、标准方程是什么？椭圆的定义、标准方程是什么？n平面上到两个定点的距平面上到两个定点的距离的和（离的和（2a）等于定长）等于定长（大于（大于|F1F2|）的点）的点的轨迹叫椭圆。的轨迹叫椭圆。n定点定点F1、F2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点。焦点。n两焦点之间的距离叫做两焦点之间的距离叫做焦距（焦距（2C）。）。)0(12222babyax)0(12222babxay2021/3/103一、椭圆的范围一、椭圆的范围 oxy由由12222byax即即byax和说明：椭圆位于直线说明：椭圆位于直线X=a和和y=b所围成的所围成的矩形之中。矩形之中。112222byax和2021/3/104二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性)0(12222babyax在在之中，把（之中，把（）换成（）换成（），），方程不变，说明：方程不变，说明：椭圆关于（椭圆关于（）轴对称；）轴对称；椭圆关于（椭圆关于（）轴对称；）轴对称；椭圆关于（椭圆关于（）点对称；）点对称；故，坐标轴是椭圆的对称轴，故，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心原点是椭圆的对称中心中心：椭圆的对称中心中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心叫做椭圆的中心 oxy2021/3/105三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点)0(12222babyax在在中，令中，令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点（轴的交点（，），），令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点（轴的交点（，）*顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴。和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2 F1 F20 ba 02021/3/106 可知长度分别为可知长度分别为a，b，c的三条线段构的三条线段构成一个直角三角形，长度为成一个直角三角形，长度为a的线段是斜边。的线段是斜边。由由a，b，c满足关系式满足关系式a2=b2+c2.abc2021/3/107四、椭圆的离心率四、椭圆的离心率 oxyace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：因为因为 a c 0，所以，所以1 e 02离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，椭圆就越扁就越小，椭圆就越扁2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越大（？），椭圆就越大（？），椭圆就越圆就越圆3）特例：）特例：e=0，则，则 a=b，则，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方，两个焦点重合，椭圆方程变为圆的方程。程变为圆的方程。2021/3/108?B?2?B?1?A?2?A?1?F?2?F?1?x?O?y?B?2?B?1?A?2?A?1?x?O?y说明：当e0，c?0时椭圆接近于圆?当e?1，c?a时椭圆就越扁就越扁2021/3/1091椭圆标准方程椭圆标准方程)0(12222babyax所表示的椭圆的存在范围是什么？所表示的椭圆的存在范围是什么？2上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？3椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？4对称轴与长轴、短轴是什么关系？对称轴与长轴、短轴是什么关系？52a 和和 2b是什么量？是什么量？a和和 b是什么量？是什么量？6关于离心率讲了几点？关于离心率讲了几点？回回 顾顾2021/3/1010小结一：基本元素小结一：基本元素 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A21基本量：基本量：a、b、c、e、（共四个量）、（共四个量）2基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）3基本线：对称轴（共两条线）基本线：对称轴（共两条线）请考虑：基本量之间、基请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系）（位置、数量之间的关系）2021/3/1011方程图形?范围对称性顶点离心率12222byax12222bxay xyB1B2A1A2 F1 F2YXF1OF2 0bybaxa,ayabxb,bBbBaAaA,0,0),0,(,0,21210,0,),0(,02121bBbBaAaA)10(eace)10(eace关于x轴，y轴，原点对称。关于x轴，y轴，原点对称。2021/3/1012四四.练习练习两段，求其离心率两段，求其离心率1 1已知椭圆的一个焦点将长轴分为已知椭圆的一个焦点将长轴分为32:625e2311ee)(:)(caca解：由题意，解：由题意，=32:,即即,解得解得?2.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是此椭圆的离心率是 3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，为坐标原点，F是一是一个焦点，个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，求椭圆的方程，求椭圆的方程.1351351352114416922yx14416922xy=1或=1.2021/3/1013例例1求椭圆求椭圆4x2+9y2=36的长轴长和短轴长、的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形。法画出它的图形。解：把椭圆的方程化为标准方程解：把椭圆的方程化为标准方程22194xy 可知此椭圆的焦点在可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴的轴上，且长半轴的长长a=3，短半轴的长，短半轴的长b=2，5c 又得半焦距又得半焦距2021/3/1014 因此椭圆的长轴长因此椭圆的长轴长2a=6，短轴长，短轴长2b=4，两点焦点的坐标分别是两点焦点的坐标分别是(，0)，(，0)；四个顶点的坐标分别是四个顶点的坐标分别是(3，0)，(3，0)，(0，2)，(0，2)；55椭圆的离心率椭圆的离心率e=53ca2021/3/1015 为了画出此椭圆的图形，将椭圆方程变为了画出此椭圆的图形，将椭圆方程变形为形为 229 (33)3yxx 由由229 (03)3yxx 可以求出椭圆在第一象限内一些点的坐可以求出椭圆在第一象限内一些点的坐标标(x，y)，列表如下：，列表如下：x00.511.522.53y21.97 1.89 1.73 1.49 1.1102021/3/1016 先描点并用光滑曲线顺次连接这些点，先描点并用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限的图形，再利用椭圆得到椭圆在第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆的对称性画出整个椭圆.2021/3/1017例例2我国自行研制的我国自行研制的“中星中星20号号”通讯卫通讯卫星，于星，于2003年年11月月15日升空精确的进入预定日升空精确的进入预定的轨道，这颗卫星的运行轨道，是以地球的的轨道，这颗卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点的椭圆，中心为一个焦点的椭圆，近地点近地点与地球表面与地球表面的距离为的距离为212km，远地点远地点与地球表面的距离与地球表面的距离是是41981km，已知地球半径约为，已知地球半径约为6371km，求，求这颗卫星运行轨道的近似方程这颗卫星运行轨道的近似方程(长、短半轴长、短半轴长精确到长精确到0.1km).2021/3/1018解：以卫星运行的椭圆形轨道的中心解：以卫星运行的椭圆形轨道的中心O为原为原点，建立平面直角坐标系，使地球的中心点，建立平面直角坐标系，使地球的中心F在在x轴上，点轴上，点F(c，0)是椭圆的一个焦点，椭是椭圆的一个焦点，椭圆与圆与x轴的交点轴的交点A，B分别是近地点和远地点。分别是近地点和远地点。设所求的卫星运行轨道的方程为设所求的卫星运行轨道的方程为22221 (0)xyabab2021/3/1019由已知，由已知，得得ac=|FA|=6371+212=6583，a+c=|FB|=6371+41981=48352，解得解得a=27467.5，c=20884.5.22()()48352658317841.0bacacac因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为 2222127467.517841.0 xy2021/3/1020例例3求适合下列条件的椭圆方程：求适合下列条件的椭圆方程：（1）长轴是短轴的）长轴是短轴的2倍，且过点倍，且过点(2，6);解：（解：（1）设椭圆的标准方程为）设椭圆的标准方程为12222byax 因为长轴是短轴的因为长轴是短轴的2倍，所以倍，所以a=2b，又，又椭圆过点椭圆过点(2，6)，所以所以 2243612abab解得解得 2214837ab所以椭圆方程为所以椭圆方程为 22114837xy2021/3/1021又设椭圆的标准方程为又设椭圆的标准方程为 22221yxab因为长轴是短轴的因为长轴是短轴的2倍，所以倍，所以a=2b，又椭，又椭圆过点圆过点(2，6)，所以所以 2236412abab解得解得 225213ab所以椭圆方程为所以椭圆方程为 2215213yx2021/3/1022（2）在）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连轴上的一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，且焦距为线相互垂直，且焦距为6.解：（解：（2）由题意知）由题意知c=3，且，且b=c，所以所以a2=b2+c2=18，椭圆的标准方程是椭圆的标准方程是 221189xy2021/3/1023例例4已知椭圆已知椭圆mx2+5y2=5m的离心率的离心率e=，求求m的值。的值。105解：由已知椭圆方程为解：由已知椭圆方程为 2215xym当焦点在当焦点在x轴上时，轴上时，5m，a=，c=55m所以所以 51055m解得解得m=3.当焦点在当焦点在y轴上时，轴上时，m5，a=，c=55m所以所以 51055m解得解得m=2532021/3/1024作业：作业：活页活页P73