24223切线长定理和三角形的内切圆

1、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线2、和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线3、经过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线1.切线和圆只有一个公共点切线和圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心经过切点垂直于切线的直线必过圆心.oop1.连结连结OP2.以以OP为直径作为直径作 O，与与 O交于交于A、B两点。两点。AB即直线即直线PA、PB为为 O的切线的切线 如图，如图，O外一点外一点P，你能用尺规过点，你能用尺规过点P作作 O的切线吗？的切线吗？通过作图你能发现什么呢？通过作图你能发现什么呢？1.过圆外一点作圆的切线可以作两条过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点点A和点和点B关于直线关于直线OP对称对称经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，段的长，叫做这点到圆的切线长。叫做这点到圆的切线长。切线长是切线长是一条线段一条线段opAB如图，如图，PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点。如果连结为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的，图中的PA与与PB，APO与与BPO有什么关系？有什么关系？PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点OAPA，OBPB又又OAOB，OPOPRtAOP RtBOPPAPB，APOBPO切线长定理：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。opAB PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点PAPB，APOBPO如图，假设连接如图，假设连接AB，那么，那么OP与与AB有什么关有什么关系？系？PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点PAPB，APOBPOOPAB，且，且OP平分平分ABCD从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。点所成的弧。AD与与BD相等吗？相等吗？例1，如图，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.直直线线 OP 交交 O 于点于点 D、E，交，交 AB 于于 C.1写出图中所有的垂直关系；写出图中所有的垂直关系；2写出图中所有的全等三角形写出图中所有的全等三角形.3如果如果 PA=4 cm,PD=2 cm,求半径求半径 OA 的长的长.AOCDPBE解：解：(1)OAPA,OBPB,OPAB(2)OAP OBP,OCA OCB ACP BCP.(3)设设 OA=x cm,那么那么 PO=PD+x=2+x(cm)在在 RtOAP 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA 2+OA 2=OP 2 即即 4 2+x 2=(x+2)2 解得解得 x =3 cm 所以，半径所以，半径 OA 的长为的长为 3 cm.POABc如图，如图，P为为 O 外一点，外一点，PA、PB分别切分别切 O于于A、B两点，两点，OP交交 O于于C，若，若PA6，PC2 ，求，求 O的半径的半径OA及两切线及两切线PA、PB的夹角。的夹角。3解：连接解：连接OA、AC，那么，那么OAAP在在RtAOP中，设中，设OAx则则OP x23OA2PA2OP2即即 x262（x2 ）23解得解得x2 ，即，即OAOC233OP4 3在在RtAOP中，中，OP2OAAPO30PA、PB是是 O的切线的切线APB2APO60 O的半径为的半径为2 ，两，两切线的夹角为切线的夹角为603ABCDEO21例2如图，：在如图，：在ABC中，中，B90，O是是AB上上一点，以一点，以O为圆心，为圆心，OB为半径的圆交为半径的圆交AB于点于点E，交，交AC与点与点D。求证：。求证：DEOC证明：连接证明：连接，为，为 的半径的半径是是 的切线的切线是是 的切线，是切点的切线，是切点，是是 的直径的直径，即，即 如图是一块三角形木料，木工师傅要如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？的圆的面积尽可能大呢？ABC三角形的内切圆的定义：三角形的内切圆的定义：ABC和三角形各边都相切的圆叫和三角形各边都相切的圆叫三角三角形的内切圆形的内切圆 三角形叫三角形叫圆的外切三角形圆的外切三角形 如图，是一张三角形的铁皮，如何在它如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？积尽可能大呢？ICABDEF I I与与ABCABC的三边的三边相相切切于点于点D D、E E、F.F.因此因此ID=IE=IF=IID=IE=IF=I的半径的半径r r.问题：问题：作圆的关键是什么？作圆的关键是什么？问题：问题：怎样确定圆心的位置？怎样确定圆心的位置？问题：问题：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ABC确定圆心和半径确定圆心和半径作两条角平分线，其交点就是圆心的位置作两条角平分线，其交点就是圆心的位置过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径 作圆，使它和三角形的各边都相切作圆，使它和三角形的各边都相切：ABC如图如图求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆问题问题:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗?不能任何一个三角形都只有一个内切圆不能任何一个三角形都只有一个内切圆 如何作出这个圆？尺规作图如何作出这个圆？尺规作图ICABEDFu与三角形的各边都相切的与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的圆叫做三角形的内切圆内切圆，内，内切圆的圆心是三角形切圆的圆心是三角形三条角三条角平分线的交点平分线的交点，叫做三角形，叫做三角形的的内心内心。u三角形的内心到三角形三三角形的内心到三角形三边的距离相等。边的距离相等。3、以、以I为圆心，为圆心，ID为半径作为半径作 I，I就是所求的圆就是所求的圆.例例1 作圆，使它和三角形的各边都相切作圆，使它和三角形的各边都相切：ABC如图如图求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆ABCMNID作法：作法：1 1、作、作ABCABC、ACBACB的平分线的平分线BMBM和和CNCN，交点为，交点为I.I.2 2、过点、过点I I作作IDBCIDBC，垂足为，垂足为D.D.三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的内心内心三角形的内心到三边的距离相等三角形的内心到三边的距离相等三角形的内心是三角形角平分线的交点三角形的内心是三角形角平分线的交点三角形的内心一定在三角形的内部三角形的内心一定在三角形的内部三角形内心的性质定义：和多边形各边都相切的圆定义：和多边形各边都相切的圆叫做叫做 ，这个，这个多边形叫做多边形叫做 。多边形的内切多边形的内切 圆圆圆的外切多边形圆的外切多边形内切内切外切外切如上图，四边形如上图，四边形DEFG是是 O的的 四边形，四边形，O是四边形是四边形DEFG的的 圆，圆，DEFG.O思考思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？(菱形，正方形一定有内切圆菱形，正方形一定有内切圆)1.1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4.4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。ABCO名称名称确定方法确定方法图形图形性质性质 ABCO 内内 心心三角形三角形内切圆的内切圆的圆心圆心三 角 形 三三 角 形 三边 中 垂 线边 中 垂 线的交点的交点三角形三条三角形三条角平分线的角平分线的交点交点(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在外心不一定在三角形的内部三角形的内部1到三边的到三边的距离相等；距离相等；2OA、OB、OC分别平分分别平分BAC、ABC、ACB；3内心在三内心在三角形内部角形内部外外 心心(三角形三角形外接圆的外接圆的圆心圆心)例例3 3 如图如图,ABC,ABC的内切圆的内切圆O O与与BCBC、CACA、ABAB分分别相切于点别相切于点D D、E E、F F，且，且AB=9cm,BC=14cmAB=9cm,BC=14cm，CA=13cm,CA=13cm,求求AFAF、BDBD、CECE的长度。的长度。xOCABFDExx9x13x9x13例例2 如图，在如图，在ABC中，点中，点O是内心，是内心，（1）若）若ABC=50，ACB=70，求，求BOC的度数的度数ABCO2 2假设假设A=80 A=80,那么那么BOC=BOC=度。度。3 3假设假设BOC=100 BOC=100，那么，那么A=A=度。度。BOC=180-（ABC ACB）12=180 60=120 同理同理 OCB=OCA=12ACB=35 解解（1）点点O是是ABC的内心，的内心，ABC=25 OBC=OBA=12试探讨试探讨BOC与与A之间存在怎样的数量关系？之间存在怎样的数量关系？请说明理由请说明理由4 4、如图，、如图，ABCABC中，中，ABC=50ABC=500 0,ACB=75ACB=750 0,点点O O是内心，求是内心，求BOCBOC的度数。的度数。CABO0000117.5OCBOBC180BOC37.5ACB21OCB25ABC21OBCO是内心是内心点点解：解：思考：如果如果ABCDEF如果如果ABCABC的的BC=aBC=a，CA=bCA=b，AB=cAB=c，内切圆，内切圆I I和和BCBC、ACAC、ABAB分别相切于点分别相切于点D D、E E、F F，AF AF、BD BD、CE CE分别等于多少？分别等于多少？.Ixyzy+z=ax+z=bx+y=c分析：分析：设设 AF=xAF=x，BD=yBD=y，CE=zCE=z 例例4 4 如图如图,ABC,ABC的内切圆的内切圆O O与与BCBC、CACA、ABAB分分别相切于点别相切于点D D、E E、F F，且，且AB=c,BC=aAB=c,BC=a，CA=b,CA=b,求求AFAF、BDBD、CECE的长度。的长度。xOCABFDExyyzz5 5、ABCABC中的内切圆半径为中的内切圆半径为r，ABCABC的周的周长为长为l，求，求ABCABC的面积的面积S S。CABOFDElrrrrr21CABCAB21CA21BC21AB21SSSSOCOBOAOABCCOABOCAOB、，连接，连接的内心为的内心为解：记解：记6 6、三角形的内切圆半径为、三角形的内切圆半径为3 3，三角形的周，三角形的周长为长为2020，那么该三角形的面积为，那么该三角形的面积为 。CABO7 7、RtRtABCABC中，斜边中，斜边AB=10cmAB=10cm，AC=6cmAC=6cm，那，那么内切圆半径为么内切圆半径为 .ABCO8 8、如图、如图,ABCABC中，中，AB=AC=10cmAB=AC=10cm，BC=8cmBC=8cm，求求ABCABC的外接圆半径的外接圆半径r和内切圆半径和内切圆半径R.CABDOI长度。长度。直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆:如图如图,O,O是是RtRtABCABC的内切圆的内切圆,C,C是直角是直角,AC=3,BC=4.,AC=3,BC=4.求求OO的半径的半径r.r.12543rABCOODEF这个结论可表达为这个结论可表达为“直角三角形内切圆的直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和减去斜边直径等于两直角边的和减去斜边.直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆:如图如图,O,O是是RtRtABCABC的内切圆的内切圆,C,C是直是直角角,三边长分别是三边长分别是a,b,c.a,b,c.求求OO的半径的半径r.r.ABCODEF.2cbar三角形的内切圆三角形的内切圆:如图如图,ABCABC的面积的面积S=4cm2,S=4cm2,周周长等于长等于10cm.10cm.求内切圆求内切圆OO的半径的半径r.r.ABCOODEFw老师提示老师提示:wABCABC的面积的面积=AOBAOB的面积的面积+BOCBOC的面积的面积+AOCAOC的面积的面积.三角形的内切圆三角形的内切圆:如图如图,ABCABC的面积为的面积为S,S,三边长三边长分别为分别为a,b,c.a,b,c.求内切圆求内切圆OO的半径的半径r.r.2cbaSrABCOODEF这个结论可表达为这个结论可表达为:三角形的面积等于其周三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半长与内切圆半径乘积的一半.21cbarS三角形的内切圆三角形的内切圆:如图如图,O,O是是RtRtABCABC的内切的内切圆圆,C,C是直角是直角,BC=5,r=2.,BC=5,r=2.求求ABCABC的周长的周长.ABCODEFA梯形梯形 B菱形菱形 C矩形矩形 D平行四边形平行四边形1、以下图形中，一定有内切圆的四边形是、以下图形中，一定有内切圆的四边形是 2、如图，、如图，ABC中，中，E是内心，是内心，A的平分线和的平分线和ABC的外接圆相交于点的外接圆相交于点D.求证：求证：DEDB3、如图，菱形、如图，菱形ABCD中，周长为中，周长为40，ABC=120，那，那么内切圆的半径为么内切圆的半径为 （A）（B）（C）（D）332232225325ABCDEFO4、如图，、如图，O是是ABC的内切圆，的内切圆，D、E、F是切点，是切点，A=50，C=60，那么，那么DOE=A A7070 B B110110 C C120120 D D130130 5、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为 （A）1 （B）122 （C）1 2 2 （D）12323 23336、存在内切圆和外接圆的四边形一定是、存在内切圆和外接圆的四边形一定是 A矩形矩形 B菱形菱形 C正方形正方形 D平行四边形平行四边形7、画一个边长为、画一个边长为3cm的等边三角形，在画出它的内切的等边三角形，在画出它的内切圆圆 1、本节课从实际问题入手，探索得出三、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法角形内切圆的作法.2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。内切圆、圆的外切多边形的概念。3、学习、学习 时要明确时要明确“接和接和“切的含义、切的含义、弄清弄清“内心与内心与“外心的区别，外心的区别，4、利用三角形内心的性质解题时，要注意、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。转化为数学问题。