平面几何 五大定理及其证明

1）证明：运用面积比可得DB = +ABDPS=AADC SABDC平面几何定理及其证明梅涅劳斯定理1梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线与A ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F,且D、E、F均 不是A ABC的顶点，则有AD BE CFx x= 1DB EC FA证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G. 因为CG / AB,所以CG =虫AD FA2）因为CG / AB,所以CG = ECDB BE由（1）f（2）可得竺=竺-CF,即得丝-竽 EL=iAD EC FADB EC FA2梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在A ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F,若AD BE CF = 1 DB EC FA ，那么，D、E、F三点共线.证明：设直线EF交AB于点D/,则据梅涅劳斯定理有AD / BE CF = 1 D/ B EC FA因为AD竺 CF = 1，所以有AD =如.由于点D、D/都在线DB EC FADB D/ B段AB 上，所以点D与D/重合.即得D、E、F三点共线.二、 塞瓦定理3塞瓦定理及其证明定理：在A ABC内一点P,该点与A ABC的三个顶点相连所在的 三条直线分别交A ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F,且D、E、F 三点均不是A ABC的顶点，则有AD BE CF_ = 1DB EC TA-根据等比定理有SSS- SSAADP = AADC =AADP = AAPC ,SSS- SSABDPABDCABDCABDPABPC所以AD SDBAAPC 同理可得BEABPC三式相乘得ADBECFEC SAAPBAAPCCFFAABPCAAPBDBECFA4塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在A ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F,且D、E、F均不是A ABC的顶点,AD BE CF 1若DB EC FA =1，那么直线cd、AE、BF三线共点.证明：设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交AB于点D/,则 据塞瓦定理有AD / BE CF- - =1 D/ B EC FA因为 竺.竺.CF = 1，所以有竺=ADL .由于点D、D/都在线 DB EC FADB D / B段AB 上，所以点D与D/重合.即得D、E、F三点共线.三、 西姆松定理5西姆松定理及其证明定理：从A ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线.证明：如图示，连接PC,连接EF交BC于点D/,连接PD/.因为PE丄AE,PF丄AF,所以A、F、P、E四点共圆，可得上FAE =上FEP. 因为 A、B、P、C 四点共圆，所以 ZBAC = ZBCP，即 ZFAE = ZBCP.所以，ZFEP = ZBCP，即 ZD/EP = ZD/CP，可得 C、D/、P、E 四点 共圆所以，ZCD/P + ZCEP = 1800。而ZCEP = 90。，所以ZCD/P = 90。, 即PD/丄BC.由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，即得 D、E、F三点共线.四、 托勒密定理 6托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有ABCD + BCAD = AC BD.证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD 上找一点，使得Z DAE =ZBAM.因为 Z ADB = Z ACB,即 Z ADE = Z ACB,所以 A ADEs A ACB，即得AD = DE 即 AD - BC 二 AC - DE（1）AC BC E由于 ZDAE = Z BAM,所以 Z DAM = Z BAE,即 Z DAC = Z BAE。而 Z ABD = Z ACD,即 Z ABE =Z ACD,所以 A ABEs AACD.即得EjAB = BE，即 AB - CD 二 AC-BE(2)AC CD由(1)+(2)得AD - BC + AB - CD 二 AC - DE + AC - BE 二 AC - BD .所以ABCD + BCAD = ACBD.7托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形ABCD满足ABXCD + BCXAD = ACXBD，那么A、B、C、D四点共圆. 证法1(同一法)：在凸四边形 ABCD 内取一点 E,使得 ZEAB = ADAC, ZEBA = ZDCA，则 A EAB s ADAC . 可得 ABXCD = BEXAC(1)2)AE _ AB ADAC则由ZDAE =ZCAB及(2)可得ADAE s ACAB .于是有ADXBC = DEXAC(3)由(1)+(3)可得 ABXCD + BCXAD = ACX( BE + DE ).据条件可得BD = BE + DE,则点E在线段BD 上.则由ZEBA = ZDCA, 得ZDBA = ZDCA，这说明A、B、C、D四点共圆.8.托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有ABXCD + BCXAD ACXBD证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点EZEBA = ZDCA，则 AEAB s ADAC .可得 ABXCD = BEXAC1)且 AE _ AB2)则由 ZDAE _ZCAB及(2)可得 ADAE s ACAB .于是ADXBC = DEXAC(3) 由(1)+(3)可得 ABXCD + BCXAD = ACX( BE + DE ) 因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知ABXCD + BCXAD丰 ACXBD所以BE + DE丰BD,即得点E不在线段BD 上，则据三角形的性质有BE + DE BD.所以 ABXCD + BCXAD ACXBD.五、 欧拉定理9.欧拉定理及其证明定理：设AABC的重心、外心、垂心分别用字母G、0、H表示.则 有G、0、H三点共线(欧拉线)，且满足OH _ 3OG .证明(几何法)：连接OH, AE，两线段相交于点G/；连B0并延长 交圆0于点D；连接CD、AD、HC,设E为边BC的中点，连接0E和0C, 如图.因为CD丄BC, AH丄BC，所以AH / CD.同理CH / DA.所以，AHCD为平行四边形.可得 AH = CD.而 CD = 20E，所以 AH = 20E.因为 AH / CD, CD / OE,所以 AH / OE.可得A AHG/s A EOG/. 所以必=如=怛=2.OE G / E G / O 1由 匹=2，及重心性质可知点G/就是A ABC的重心，即G/与点G重合.G/ E 1所以，G、O、H三点共线，且满足OH = 3OG.