平面内三点共线的向量表示

2. 平面内三点共线的向量表示 描述平面内三点共线方法有很多种，其中的向量表示，有以下两种，我们可以把它 们作为结论来应用【结论1】点A、B、C共线的充要条件是存在实数t,使得AC = tAB.【结论2】设O是平面内任意一点，点A、B、C共线的充要条件是存在实数九、卩， 使得OC二九OA +卩OB，其中九+卩二1.【结论1】很容易理解，下面我们利用【结论1】来证明【结论2】 先证明充分性：如果存在实数九、卩，使得OC二九OA + ROB，其中X + = 1，贝yOC =九OA + (1 九)OB，将这个式子变形后可得OC OB =九(OA OB)，即BC二九AB，所以A、B、C三点共线。再来证明必要性：如果A、B、C三点共线，则存在实数t，使得AC = tAB.在平面内任取一点 O，则有 OC OA =t (OB OA)，即 OC = (1 t )OA + tOB令九=1 t，卩t，则存在实数九、卩，使得OC = OA + POB，其中九+卩=1. 故结论 2 成立。【说明】(1)由于结论1和结论2中A、B、C三点地位平等，所以结论可以作相 应的改变。(2)由结论2的证明可以理解，三点共线的这两种向量形式可以互化。下面我们通过一些例题谈一谈三点共线的这两种向量形式的应用。41.【例1】如图，已知AP = 3AB，AQ = 3AB，用0A，OB表示OP，则OP =()C满足ocOA+卩OB，且Q + 卩二1,则点C的轨迹方程为（）A. 3x + 2y -10 = 0B. （x -1）2 + （y -1）2 = 4C. 2 x + y 5 = 0D. x + 2 y 5 = 0【解析】本题根据结论2,易知A、B、C三点共线，故点C的轨迹是直线ab ,选D.【例3】如图，已知点G是AABC的重心，点M是边AB的中点。(1)求 GA + GB + GC ；过AABC的重心G，且CA = a，CB = b,1 1CQ = nb，求证：一 + _ 二 3.mn2）若 PQCP = ma，c解析】(1)已知点G是AABC的重心，点M是边AB的中点,/. GA + GB + GC = 2GM + GC = 0.（2）本题既可以利用结论1解决，也可以利用结论2解决。2. 1 1解法 1： CG = - CM = 3（ca + CB） = 3（a + b），设 PG =九 PQ，则 CG = CP + PG = CP + 九（CQ CP） = （1九）CP + 九 CQ1=（1 一九）ma + Xnb，（1 一九）ma + Xnb = _ （a + b）又 a、b不共线,1（1 一九）m =3 1， 九n =311消去九，得一 + 一 = 3.mn2 1 1解法 2： CG = 3CM = _（CA + CB） = 3（a + b），由 P、G、Q三点共线，可设CG = XCP + (1 -X)CQ， /. CG = Xma + (1 -X)nb， - (1 -X)ma + Xnb = 3(a + b)又 a、b不共线，.1(1 X )n =-1 3，消去x ,Xm =311得一 + = 3.mn【例4】如图所示，A, B , C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若OC = mOA + nOB，A.(0 ,1)C. (g, -1)【解析】设OC = tOD，t e (-1,0)，由 A、B、可设 OD 二九OA + (1 九)OB，所以 OC 二 tkOA +1(1 -九)OB根据题意，m + n = tX +1(1 -X) = t e (-1,0).p 1 _p【例5】如图所示，在AOAB中，OC = -OA， 4. 1 . 、 . ,OD = _OB， ad 和BC 交于点M，设OA = a， 2OB = b，以a、b为基底表示OM .选D.解析】t r1_p_r 1OM = XOC + (1 -X)OB = XOA + (1 -X)OB = _Xa + (1 -X)b，44,_pr_r 1p _ 1OM = pOA + (1 -卩)OD = pOA + _(1 -卩)OB =卩a + _(1 -卩)b， 22X= 471P = 71 X 一X = p4 1 亠1-X = _ (1 -p)13故 OM = _ a + b.77练习】1、已知数列匕为等差数列，OP = a OA + n1线，贝H S =.1002、如图所示，在AABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB AC于不同的两点M、N，若则m + n =3、在AABC中，ZA = 60。，ZA的平分线AD交BC于 d，已矢口 AB = 3 且 AD =1 AC + XAB(Xe R)，贝3AD的长为()A. 1B. 3C. 2、3D. 、込【解析】易知X = 2，确定点D的位置，选C.32兀4、在 AABC 中边 AC = 1，AB = 2，ZA = 了，过A 作 AP 丄 BC 于 P，且 AP =X AB + p AC，则 Xy =10495、在锐角三角形ABC中，sin A =兰6，cos C = 5，BC = 7，若动点P满足57 X AP = -2 AB + (l-X)AC(Xe R)，则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积是. 3話3.6