平面向量内积的坐标运算

课题： 平面向量数量积的坐标表示教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念 1 已知非零向量a与b，作oa = a, ob = b，则zaoB=e （owe w n ）叫a与b的夹角.2. 平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角是 e，则数量I a | b icose叫a与b的数量积，记作a b，即有a b = i a 11 b icose.（owe Wn ） 并规定0与任何向量的数量积为03. 向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影ib icose的乘积.4. 两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，1。e a = a e =i a icose； 2 a丄b o a b = 03。当a与b 同向时，a b = iaiib i；当a与b 反向时，a b = _iaiib i+特别的 a a = i a i2 或 i a i=、.：a - a4cos9 =； 5。1 a b | w | a | b |a|b |5 平面向量数量积的运算律交换律： a b = b a数乘结合律:(X a) b =九(a b)= a (九b) 分配律：(a + b) c = a c + b c二、讲解新课:i 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a = (x , y ), b = (x , y )，试用a和b的坐标表示a b1 1 2 2设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么a = x i + y j，b = xi + y j1 1 2 2 1 2 1 2 2 1所以 a b = (xi+ y j)(xi+ y j)= x x i2+ x y i j+ x yi j +y y j212 一AAAAA A又i i =1， j j = 1, i j = j i = 0所以 a b = xx + y y1 2 1 2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和+即 a b = x x + y y1 2 1 22. 平面内两点间的距离公式(1)设 a = (x, y)，贝川 a I2 = x2 + y2 或 I a 1= .：x2 + y2 h(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x , y )、11(x ,y )，那么1 a=百(x -x )2 +(y - y )2 (平面内两点间的距离公式) 2 2 12 123. 向量垂直的判定匚设 a = (x , y )， b = (x , y )，则 a 丄 b o x x + y y = 01 1 2 2 1 2 1 24两向量夹角的余弦（0 0兀a - bcos0 =-i a i -1 b i三、讲解范例：例1设 a = (5, 7), b = (6, 4),求 a b解：a b = 5 X (6) + (7) X (4) = 30 + 28 = 2例2已知a(1, 2), b (2, 3), c (2, 5),求证：ABC是直角三角形.证明：AB =(21, 32) = (1, 1), AC = (21, 52) = (3, 3)AB AC =1X(3) + 1X3 = 0. AB 丄 AC/.ABC是直角三角形=4的向量x例 3 已知 a = (3, 1), b = (1, 2),求满足x a = 9 与 x b解：设x = (t, s),. x= (2,3)x a 9f 3t s = 9 f t = 2由- 二彳n彳x b 411 + 2s 4 I s 3例4已知a =（i, J3）, b+ i, i）,则a与b的夹角是多 少?分析：为求a与b夹角，需先求a b及丨a丨丨b丨，再结合夹角e的范围确定其值.解：由 a =(1,生；3 ) , b =( 丫 3 + 1 ,X-3 I)有a b = ；3 + 1 +、：3 (、；3 1)=4,| a |=2,| b |=2、.；2 .记a与b的夹角为e ,则cosea bv2a b2兀又owe w疗，:.e =评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角ABC,使Zb = 90。，求点b和向量AB的坐标= =解：设b 点坐标(x,y),则OB = (x, y)， AB = (x-5, y-2)OB 丄 AB. x(x-5) + y(y-2) = 0 即： x2 + y2 -5x - 2y = 0又 JlOB | = | AB |.x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2 即：10x + 4y = 293x =227 y =2 27II x 2 + y 2 - 5 x - 2 y = 0由 |110 x + 4 y = 29x =123 或y1=- 2_733 7377 3b 点坐标(2，一2)或(22)； AB=(-亍-2)或(-22)例6在厶ABC中，AB =(2, 3)，AC =(1, ),且厶ABC的一个内角为直角,求k值.解：当 a = 90。时，AB - AC = 0,3.2X1 +3Xk=0 k=一2当 b = 90。时，AB - BC = 0,BC=AC-AB= (1-2,k-3) = (-1,k-3).2X(-1) +3 X (k-3) = 011.=7当 C= 90。时，AC -BC = 0,.-1 + k(k-3) = 0.k = 8四、课堂练习：1. 若 a = (4,3), b =(5,6),则 3| a | 24 a - b =(A.23B.57C.63D.832.已知 a (1,2), b (2,3), c (-2,5)，则 ab c 为(A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D. 不等边三角形3已知a = (4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于()3 4 4 3A.(5乜)或(5,5)3 4 3 4B. (55)或(一5一5)3 4 4 3C. (5一5)或(一5,5)3 4 3 4D. (5一5)或(一55)4. a = (2,3), b = (2,4),则(a + b )(a b )=. - 1 -5. 已知a (3,2), b (1, 1),若点P(x,-2 )在线段a b的中垂线上，则x=. L - 6. 已知 a (1, 0), b (3, 1), c (2, 0),且 a = BC, b = CA，则 a 与 b 的夹角为.7 参考答案：1.D 2.A 3.D 4.-5.6.454五、小结 两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1已知a = (2,3), b = (-4,7),则a在b方向上的投影为()B.v13v65C. 5D. 652. 已知a = (A , 2),b =(-3,5 )且a与b的夹角为钝角，则人的取值范围是( )10A.入310B丿三310C. A V310D W T3给定两个向量a = (3,4), b =(2,-1)且(a +x b )丄(a - b )，则x等于()A.2323B.-223C. 323D.44.已知| a |= J10 , b = (1,2)且a b，则a的坐标为5. 已知 a = (1,2), b (1,1), c = b -k a，若 c 丄 a，则 c =.6. 已知a = (3,0), b =(k,5)且a与b的夹角为则k的值为47. 已知a = (3,-1), b = (1,2),求满足条件xa =9 与 x b =-4的向量x.&已知点A (1, 2)和B (4, -1),问能否在y轴上找到一点C,使ZABC=90,若不能，说明理由；若能，求C点坐标.9四边形 ABCD 中=AB (6,1), BC = (x,y), CD = (-2,-3), (1)若BC DA，求x与y间的关系式;满足问的同时又有AC丄BD，求x,y的值及四边形ABCD的面积.参考答案：1.C 2.A 3.C4.(迈，2、迈)或(-亍2 ,2)5.(5 )6.-5 7.(2,-3)&不能(理由略)9.(1)x+2y=0I x 二一6亠 I x 二 2 二 3 或1 S 四边形ABCD=16七、板书设计(略)八、课后记及备用资料 已知 a =(3, 4)，b =(4, 3)，求 x,y 的值使(xa +yb )丄 a，且 | xa +yb |=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由 a =(3, 4)， b =(4, 3)，有 xa +yb =(3x+4y,4x+3y)又(xa +yb )丄 a O (xa +yb ) a =o O 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0 即 25x+24y=0 又 | xa +yb | =1 O | xa +yb |2=1 O (3 x+4y) 2+(4 x+3y) 2 =1整理得：25x2+48xy+25y2= 1即 x(25x+24y)+24xy+25y2 =1 由有 24xy+25y2=1将变形代入可得：y= 724x =-35再代回得：24 Ix =35和