导体棒在磁场中的运动问题

图 3-9-8F = F cos a 一 mg = 0 y导体棒在磁场中的运动问题近十年的高考物理试卷和理科综合试卷中，电磁学 的导体棒问题复现率很高，且多为分值较大的计算 题。为何导体棒问题频繁复现，原因是:导体棒问题 是高中物理电磁学中常用的最典型的模型，常涉及 力学和热学问题，可综合多个物理高考知识点，其 特点是综合性强、类型繁多、物理过程复杂，有利 于考查学生综合运用所学的知识，从多层面、多角 度、全方位分析问题和解决问题的能力;导体棒问题 是高考中的重点、难点、热点、焦点问题。导体棒问题在磁场中大致可分为两类：一类是通电 导体棒，使之平衡或运动;其二是导体棒运动切割磁 感线生电。运动模型可分为单导体棒和双导体棒。(一)通电导体棒问题通电导体棒题型，一般为平衡型和运动型，对于 通电导体棒平衡型，要求考生用所学的平衡条件 (包含合外力为零工f = 0，合力矩为零工M = 0 ) 来解答，而对于通电导体棒的运动型，则要求考 生用所学的牛顿运动定律、动量定理以及能量守 恒定律结合在一起，加以分析、讨论，从而作出 准确的解答。【例8】如图3-9-8所示，相距为d的倾角为a的光滑平行导轨(电源的电动势 E和内阻r，电阻R均为己知) 处于竖直向上磁感应强度为B 的匀强磁场中，一质量为m的 导体棒恰能处于平衡状态，则 该磁场B的大小为 ；当B由竖直向上逐渐变成水平向左的过程中，为保持 导体棒始终静止不动，则B的大小应是， 上述过程中，B的最小值是 。【解析】此题主要用来考查考 生对物体平衡条件的理解情 况，同时考查考生是否能利用 矢量封闭三角形或三角函数 求其极值的能力将图3-9-8 首先改画为从右向左看的侧 面图，如图3-9-9所示，分析导体棒受力，并建立直角坐标系进行正交分解，也 可采用共点力的合成法来做根据题意工F = 0，即 工F = 0,工F = 0，即：xyF = F 一 N sin a = 0x B由得：tan a = -FBmg由安培力公式：F = Bld B由闭合电路欧姆定律l=JR + r联立并整理可得：b = mg(R +r)tanaEd(2)借助于矢量封闭三角形来讨论，如图3-9-10所 示在磁场由竖直向上逐渐变成水平的过程中，安培 力由水平向右变成竖直向上，在此过程中，由图3-9-10看出F先减小后增大，最终N = 0, F = mg，bB因而磁感应强度B也应先减小后增大.(3)由图3-9-10可知，当F方向垂直于N的方向B时F最小，其B最小，故：sin a=FBmg而：J = Bld l =EBR + r联立可得：mg sina = BJd，R + r即 B = mg (R + r)sin ami=Bd【答案】mg(R + r)3a ,先减小后增大 Edmg (R + r )sin aBd点评:该题将物体的平衡条件作为重点，让考生将公 式和图象有机地结合在一起，以达到简单快速解题的目的，其方法是值得提倡和借鉴的。(二)棒生电类棒生电类型是电磁感应中最典型的模型，生电方式 分为平动切割和转动切割，其模型可分为单导棒和 双导棒。要从静态到动态、动态到终态加以分析讨 论，其中分析动态是关键。对于动态分析，可从以 下过程考虑:闭合电路中的磁通量发生变化一导体 棒产生感应电流-导体棒受安培力和其他力作用 f导体加速度变化f速度变化f感应电流变化f 周而复始地循环最后加速度减小至零速度达到 最大f导体做匀速直线运动我们知道，电磁感应现 象的实质是不同形式能量的转化过程，因此，由功 能观点切入，分清楚电磁感应过程中能量的转化关 系，往往是我们解决电磁感应问题的关键，当然也 是我们处理这类题型的有效途径.1. 单导棒问题【例9】如图3-9-11 所示，一对平行光滑轨道两轨道间距L = 0.20m，电阻R = 1.00，有一导体棒静 止地放在轨道上，与两轨道垂直，棒及轨道的电阻 皆可忽略不计，整个装置处于磁感应强度b = 0.50T 的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下现用一 放置在绝缘地面上的金属框架上端接有一电容量 为C的电容器，框架上有一质量为m，长为L的金 属棒，平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦, 棒离地面的高度为h，磁感应强度为B的匀强磁场力F与时间t的关系如图3-9-12所示。求棒的质量 m和加速度a .【解析】此题主要用来考查学生对基本公式掌握的 情况，是否能熟练将力电关系式综合在一起，再根 据图象得出其加速度a和棒的质量m的值。从图中 找出有用的隐含条件是解答本题的关键。解法一:导棒在轨道上做匀加速直线运动，用v表示止释放，问棒落地时的速度多大?落地时间多长？ 【解析】此题主要用来考查考生对匀变速直线运动 的理解，这种将电容和导棒有机地综合在一起，使 之成为一种新的题型。从另一个侧面来寻找电流的 关系式，更有一种突破常规思维的创新，因而此题 很具有代表性金属棒在重力作用下下落，下落的 同时产生了感应电动势。由于电容器的存在，在金其速度，t表示时间，则有v = at导体棒切割磁感线，产生感应电动势：E = BLv 闭合电路中产生感应电流：I = E R杆所受安培力：F = Bid B再由牛顿第定律得：F F = maB联立式得：F = ma + B2L2 atR在图线上取两点代入式，可得：a = 10m / s2, m = 0.1kg .解法二:从F t图线可建立方程F = 0.1t +1，属棒上产生充电电流，金属棒将受安培力的作用， 因此，金属棒在重力和安培力F的合力作用下向下B运动，由牛顿第二定律得：BF = BiLB由于棒做加速运动，故v、a、E、F均为同一时刻的 瞬时值，与此对应电容器上瞬时电量为Q = CE，而 E = BLv，设在时间At内，棒上电动势的变化量为 AE，电容器上电量的增加量为AQ,显然：AE = BLAv AQ = C AE导体棒受拉力F和安培力F作用，做匀加速直线运B动，其加速度恒定。其合力不随时间t变化，并考 虑初始状态F = 0，因而F的大小为F = 0.1/BB再由牛顿第二定律：B联立可得：ma = 1又因为：F = BidB,E而： I = E = BLv R联立式得：F = B2L2vb R而v = at，故F = 竺 B R由得： a = 0.1R =.1 m )。用两根质量和电阻 均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合 回路，并悬挂于水平、光滑、不导电的圆棒两侧， 两金属导体棒都处于水平位置，整个装置处在一与 回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B, 若金属导体棒ab正好匀速向下运动，求运动的速 度.【解析】此题主要用来考查考生对力学中的受力分 析、力的平衡、电磁感应、欧姆定律和安培力公式 的掌握，此题也可用多种方法去解答.解法一:采用隔离法，假设磁场B的方向是垂直纸 面向里，ab棒向下匀速运动的速度为v，则ab棒 切割磁感线产生的感应电动势大小：=BLv，方1向由a f b，cd棒以速度v向上切割磁感线运动产生感应电动 势，其大小为：=BLv，方向由d f c .回路中的 电流方向由a f b f d f c，大小为：丫 + 2 BLv BLv gI = 1 T =2 R2 RRab棒受到的安培力向上，cd棒受到安培力向下，大小均为：F BIL 邑凹bR当ab棒匀速下滑时，设棒受到的导线拉力为T，则 对ab棒有：T + F mgB对cd棒有：T F + mgB由解得：2F (M -m)gB再由可得：2B2旦(M -m)gR故 v (M 二 m) gR .2 B 2 L2解法二:米用整体法，把ab、cd柔软导线视为一个 整体，因为M m，整体动力为(M -m)g，ab棒向 下，cd棒向上，整体所受安培力与整体动力相等时 正好做匀速向下运动，则有：(M -m)g 2B型,R所以得：v (M 一m)gR2 B 2 L2解法三:采用能量守恒法，将整个回路视为一个整 体系统，因其速度大小不变，故动能不变。ab棒向 下，cd棒在向上运动的过程中，因Mg mg，系统 的重力势能减少，将转化为回路的电能，由能量守恒定律得：Mgv - mgv 2R2 BLv0联立可得：v （M 一 m）gR2 B 2 L2（M 一 m） gRv 2 B 2 L2回路而言，相当于电池组的串联，整个回路中有电 流流过，两棒都受安培力，在末达到稳定速度前，片1卜詛+TUBm ,L图 3-9-17两棒组则有： mv = 2mv01 1小、八mv 2 =(2 m)v 2 + Q2 0 21=mv 240(2)设ab棒的速度变为初速的色时，cd棒的速度为43v，则再次由动量守恒定律可知： mv = m 一 v + mv 04 0再根据能量守恒有:联立两式得：QI =旦2 RF = BIL B图 3-9-18A.B.D.卩与v1大小的关系为卩=空殛图 3-9-19B = B sin()，一光滑导体棒AB与短边平行且与 0 21长边接触良好，电阻也是R开始时导体棒处于 x = 0处，从t = 0时刻起，导体棒AB在沿x方向的 F作用下做速度为v的匀速运动，求:导体棒AB从 x = 0运动到x = 21的过程中F随时间t变化的规 律.3如图3-9-20所示，在水平面上本专题共6页第4页图 3-9-20X X M2 X XX XX XX X! X XX XX X tX尸X XX XX X两棒均做变加速运动，当加速度减为零时，速度为 最大。从以上三种解法来看，解法三更显简便，思 维灵活.【例13】如图3-9-17所示，两根足够长的固定的 平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间距为L 导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回 路。两根导体棒的质量皆为 电阻皆为R，回路中其余部分的 电阻可不计。在整个导轨平面内 都有竖直向上的匀强磁场，磁感 应强度为B，这两根导体棒可沿 导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有 指向棒cd的初速度v0，若两导体棒在运动中始终 不接触，求：(1) 在运动中产生的焦耳热最多是多少？(2) 当ab棒的速度变为初速度的3时，cd棒的加速4度是多少？【解析】此题主要用来考查考生对双导体棒运动的 动态分析和终态推理以及两个守恒定律的熟练掌 握情况。此题是一道层次较高的典型水平面双导体 棒试题。ab棒向cd棒运动时，ab棒产生感应电动势，由于 通过导轨和cd棒组成回路，于是回路中便产生感应 电流，ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减 速运动，而cd棒则在安培力作用下作加速运动。在 ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路中总有感应 电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速，两棒速度 达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化， 即不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速直 线运动.(1)从初始至两棒达到速度相同的过程中， 成的系统动量守恒，此时回路中的感应电动势和感应电流分别是:3 E = BL(- v v)4 0 此时cd棒所受安培力：cd棒的加速度：a = Bm联立得：a =.4mR【答案】(1)Q =丄mv2(2) a =04 04mR点评:此题将分析双棒的初态、过渡态、终态以及整 个过程的运动情况，各个物理量的变化情况和动量 守恒、能量守恒仍然联系在一起，确实达到了命题 人综合考查考生分析问题能力和解决问题能力的 目的。充分体现了命题专家以综合见能力的命题意 图，即着眼综合，立足基础，突出能力”此题的 确是一道经典考题。通过对以上例题的分类处理、 解析，从中发现，电磁学中的导体棒问题内涵的确 丰富、灵活、新颖，涉及面广，易于拓展和延伸， 的确不愧为电磁学中的精华部 分。【活学巧练】1两根相距为L的足够长的金 属直角导轨如图3-9-18所示 放置，它们各有一边在同一水 平面内，另一边垂直于水平面， 质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形 成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为卩， 导轨电阻不计，回路总电阻为2R，整个装置处于 磁感应强度大小为B .方向竖直向上的匀强磁场中, 当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度 v沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速度v向下1 2 匀速运动重力加速度为g,以下说法正确的是 (ab杆所受拉力F的大小为卩mg +2 R cd杆所受摩擦力为零C.回路中的电流为BL(vi+v)2 RB2 L v12如图3-9-19所示，矩形裸导线框长边的长度为 21，短边的长度为1，在两个 短边上均接有电阻R，其余部分 电阻不计，导线框一长边与x轴 重合，左边的坐标x = 0，线框 内有一垂直于线框平面的磁场， 磁场的磁感应强度满足关系 兀x图 3-9-22B2 R卩=如，所以，A、D正确 B 2 L v1D有两条平行导电导轨MN、PQ，导轨间距离为l, 匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感 应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上， 与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m、m和1 2R、R，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦1 2因数均为R，己知杆1被外力拖动，以恒定的速度V 沿导轨运动;达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿 导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩 擦力做功的功率.4. 一个边长为L、质量为m、电阻为R的金属丝方框，竖直放置，以-莒 初速度v水平抛出，框在重力场中计*辱：运动，并且总是位于垂直于框面（即 水平方向的磁场中，如图3-9-21所.示，己知磁感应强度的大小随方框图3-9-21下降高度y的变化规律是B = B + ky，式中k为恒定0系数，同一水平面上磁感应强度相同，设重力加速 度为g.（1）试分析方框水平方向和竖直方向的运动情况；（2）试确定方框的最终运动状态.5.如图3-9-22所示，竖直平面内 有一半径为r、内阻为R、粗细均1匀的光滑半圆形金属球，在M、N 处与相距为2r、电阻不计的平行 光滑金属轨道ME、NF相接，EF 之间接有电阻R，已知R = 12R，2 一 1R = 4R，在MN上方及CD下方有2水平方向的匀强磁场I和II，磁感 应强度大小均为B。现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处 由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平， 与半圆形金属环及轨道接触良好，平行轨道足够长。已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v，下落到1 MN处的速度大小为v。2（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小。（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终 不变，求磁场I和II之间的距离h和R上的电功率2P .2（3）若将磁场II的CD边界略微下移，导体棒ab刚 进入磁场II时速度大小为v，要使其在外力F作用3下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外 力F随时间变化的关系式。【参考答案】1.【解析】cd杆的速度方向与磁场方向平行，只有 ab杆运动时使回路内的磁通量发生变化，根据法拉 第电磁感应定律。回路中的电动势：E = BLv 1根据闭合电路的欧姆定律：I =2 Rab杆所受安培力：F = BIL Bab杆匀速运动有：F = F + f B 1又f =卩mg 1由得： F =卩mg + BLv12 R回路中的电流：I=BLv12 Rcd杆匀速运动：f = mg 2B2 L2 v乂 ： f =卩F =卩 12由得：【答案】A2【解析】由于磁感应强度随空间坐标变化，导体 棒虽做匀速运动，其电动势仍是变化的，t时刻AB 棒的坐标为x = vt感应电动势：E = Blv = Blv sin（竺）o 21回路总电阻为R = R + - R = 1.5 R 总2回路感应电流：I =一 伦、棒做匀速运动，F =尸宀=BIl女2 B 2l 2 v sin2（空）2联立解得：F = 02J （o t 2-）3Rv兀x2 B 212 v sin2（）【答案】F =02（0 t 色）3Rv3. 【解析】设杆2的运动速度为v，由于两杆运动 时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化, 产生感应电动势E = Bl （v - v）感应电流0I=R + R1 2杆2做匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩 擦力，即BIl = rm g2故导体杆2克服摩擦力做功的功率P =卩m gv，2 解得：p = ymgv 上雲（R + R ）20 B 2l 2 12【答案】P =pmgv 上竺&（R + R ）2 0 B 2l 2 124. 【解析】（1）方框水平方向的合力为零，做初速 度为v的匀速直线运动；竖直方向受重力和安培力0作用，由于安培力是逐渐增大，故竖直方向上做初 速度为零，加速度逐渐减小的加速运动.（2）最终当竖直方向上加速度为零时，方框运动 达到稳定状态，此时有：BIL = BIL + mg2 1回路中的电动势为：E = BLv BLv 2 丄1 丄回路电流为：I =E R由已知条件得：B B = ky ky = kL 2 12 1联立得方框在竖直方向上的最大速度为：v = mgR 丄 k 2 L所以方框最终做匀速直线运动，其速度大小为：V =、,:V 2 + (mgR )20 k 2 L4速度方向与水平方向(x轴正方向)的夹角为：/ mgR、 a = arctan( )v k2L40【答案】(1)水平方向上匀速直线运动；竖直方向 上做初速度为零，加速度逐渐减小的加速运动.4B 2 r 2 a 4 B2 r 2v=t +3 + ma 一 mg3R3R【答案】(1) a=g-(2) P =4mR24B2 r 2 a 4 B 2 r 2v3) F =t +3 + ma-mg9m2 g 2 R16B2r23R3RV 2 +( mgR )20 k 2 L5.【解析】(1)以导体棒为研究对象，棒在磁场I 中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒 ab从A下落r/2时，导体棒在策略与安培力作用下 做加速运动，由牛顿第二定律，得：mg - BIL = ma，Blv=1R总(2)最终做匀速直线运动v =式 中 L = d3r,式中R = 8R x(4r+4r)= 4 r 总 8R + (4R+4R)由以上各式可得到a = g3B 2 r 2 v4mR(2)当导体棒 ab 通过磁场 II 时，若安培力恰好 等于重力，棒中电流大小始终不变，即:B x 2r x v c 4 B 2 r 2vmg = BI x 2r = B x厂 x 2r =厂RR 并并 式中 R J2Rx4R =3R，解得 v = mgR并 = 3mgR并 12R+4Rt 4B2r 2 4B2r 2导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运 动，有：v2 -v2 = 2gh，得：h =沁-Mt 232B4r 4 2g此时导体棒重力的功率为：P = mgv = 3mG t 4B2r2根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转 化为电路中的电功率，即:P = P +P = P = 3m电 12 G 4B2r2所以：p = 3 p = 9m应24 G 16B2r2(3) 设导体棒ab进入磁场II后经过时间t的速度 大小为，此时安培力大小为F = 如Xt3 R由于导体棒ab做匀加速直线运动，有v = v + att3根据牛顿第二定律，有：F + mg - F = ma即：f + mg - 4B2 rW + at)= ma3R由以上各式解得：厂 4B 2 r 2、/、F =(at + v ) - m(g - a)3R3