八个无敌模型

八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球文：付雨楼、段永建今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群（群号：545423319）成员段永建老师进步作图编辑优化分享。类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2二a2 + b2 + c 2,即2 R =.a2 + b2 + c2 ,求出R例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）A. 16兀B. 20kc. 24兀D. 32兀（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积 9k解：（1） V = a2h = 16, a = 2 , 4R2 = a2 + a2 + h2 = 4 + 4 +16 = 24 , S = 24k，选 c；（2）4R2 = 3 + 3 + 3 = 9 , S = 4kR2 = 9k（3）在正三棱锥S - ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM丄MN，若侧棱SA二2J3，则正三棱锥S -ABC外接球的表面积是。36k解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1,取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH丄平面ABC , SH丄AB ,/ AC 二 BC , AD 二 BD, . CD 丄 AB , . AB 丄平面SCD ,. AB 丄 SC ，同理： BC 丄 SA ， AC 丄 SB ，即正三棱锥的对棱互垂直本题图如图(3) -2, AM 丄MN , SB/MN ,ABC(3)题-1.AM 丄 SB , AC 丄 SB , . SB 丄平面SAC ,SB 丄 SA, SB 丄 SC , SB 丄 SA, BC 丄 SA,SA 丄平面 SBC , . SA 丄 SC ,故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直,.（2R）2 二（2.3）2 + （2；3）2 + （2打）2 二 36，即 4R2 = 36 , 正三棱锥S - ABC外接球的表面积是36兀C题-2ZBAC = 120, SA = AC = 2, AB = 1,则该四面体的外接球的表面积为(D ）A.lhiB.7兀(4 ) 在四面体S ABC 中，SA丄平面ABC ，C10D 40C.兀兀33(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是.(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，贝y该几 何体外接球的体积为析：（4）在 AABC 中，BC2 = AC2 + AB2 2AB BC cos 120 = 7，BC .訂 2訂BC =、：7 , AABC的外接球直径为2r =sin ZBAC 羽 3 r（2R）2 = （2r）2 + SA2 = （2；Z）2 + 4 = 40，S =迥，选 D333(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a, b, c ( a, b, c G R + )，则ab = 12 bc = 8 ， abc 二 24， /. a = 3， b 二 4， c 二 2， （2R）2 = a2 + b2 + c2 = 29， S = 4兀R2 = 29兀，ac = 63（2r）2 = a2 + b2 + c2 = 3，R2 = 4，R = 丁V = 4 衣 3 = 4 K.空=3 3382类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设：如图5, PA丄平面ABC解题步骤：第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心0 ；第二步：O为AABC的外心，所以00丄平面ABC，算出小圆O的半1 1 1径OD =r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理得sim=snB 二 sine=2r），00广 2PA第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2二PA2 + (2r)2 o 2R =PA2 + (2r)2 ； R2 = r2 + 002 o R =、：r2 + 00 2 i%12.题设：如图6, 7, 8, P的射影是AABC的外心o三棱锥P- ABC的三条侧棱相等o 三棱锥P - ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点第一步：确定球心0的位置,取AABC的外心%则PQ, 0i三点共线;第二步：先算出小圆01的半径A01 = r，再算出棱锥的高P01 = h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：0A2 二 0 A2 + 0 02 n R2 二(h R)2 + r2，解出 R1 1方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()C1鼠A. 3兀B. 2兀CD.以上都不对解：选 C, (v 3 R)2 +1 R2, 3 2y 3R + R2 +1 R2, 4 2:3R 0,R = 2 , S = 4兀R2 =16 兀 衬331. 题设：如图9-1,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC = 2r ； abc第二步：在APAC中，可根据正弦定理=2R，求出Rsin A sin B sin C2. 如图9-2，平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC为小圆的直径）OC2 = O C2 + O O2 o R2 = r2 + O O2 o AC = 2.:R2 O O21 1 1 13. 如图9-3,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是AABC的 外心O三棱锥P ABC的三条侧棱相等O三棱P ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是 圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心O，则P, O, O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1 = r，再算出棱锥的高PO1 = h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2 = O A2 + OO2 n R2 = （h R）2 + r2，解出 R114. 如图9-3,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC为小圆的直径），且PA丄AC，贝y利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 = PA2 + （2r）2 o 2R = JPA2 + （2r）2 ；* R2 = r2 + OO2 o R = 1 r2 + OO 21 、 1例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2月，则该球的表面积为。（2）正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为m2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为一 解：（1）由正弦定理或找球心都可得2R二7，S = 4kR2 = 49兀，4兀 （2）方法一：找球心的位置，易知r = 1，h = 1，h = r，故球心在正方形的中心ABCD处，R = 1，V = 丁 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，RtASAC的斜边是球半径，4兀2 R 二 2，R 二 1，V =3（3）在三棱锥P- ABC中，PA = PB = PC = ：3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A.兀兀B. 1 C. 4714nD.刁解：选D,圆锥A, B, C在以r 的圆上,R1D.（4）已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球O的求面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC 2，则此棱锥的体积为（）A迈3A 6B 6：八 3、。、玩26：1 （丁）2 = “ =丁题设：如图10-1，图10-2，图10-3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形） 第一步：确定球心0的位置，01是AABC的外心，则00丄平面ABC；第二步：算出小圆0的半径A0 r ,（AA1=h也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：OA2二O A2 + OO2 n R2 =11r 2 + (2)例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上9且该六棱柱的体积为6，底面周长为3，则这个球的体积为81解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则a =，底面积为 s 二 6 -（2）2 二 一，匕主Sh -8 h 二 8，二 h 二 丫3， R2 （_）2 + （2）2 二1，球的体积为V =（2）直三棱柱ABC - ABC的各顶点都在同一球面上，若AB二AC二AA二2 , ABAC二120。，则此1 1 1 1球的表面积等于。解：BC = 2：3， 2r = 4， r 二 2， R = 5， S 二 20sinl20（3）已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA EB = 3, AD 2, AAEB = 60。，则多面体 E ABCD 的外接球的表面积为。16兀解析：折叠型，法一：AEAB的外接圆半径为ri -訂，OO 1，. 你R ：1 + 3 2 ；法二：O M ， 1 213313r2 O2D二工，R24+T 4，R 2，s 161兀(4)在直三棱柱ABC ABC中，AB 4,AC 6,A = ,AA 4则直三棱柱ABC ABC的外接球31111111的表面积为160兀31 解析：BC2 16 + 36 2 - 4 - 6 - 28，BC 2胡，2R2 r2 +AA 28(寸)2市160兀3类型五、折叠模型第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上，找出ABCD和AABD的外心H和H ；12第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC ；12第三步：解AOEH，算出OH，在RtAOCH中，勾股定理：OH2 + CH2二OC21 1 1 1 1例5三棱锥P - ABC中，平面PAC丄平面ABC， PAC和ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P - ABC外接球的半径为.解析：2r = 2r122sin 60r =r12R2 = O H2 + r2 = + = 3 , R 二二213 3 33法二：OH =丄，OH =丄，AH = 1,23 13例如，正四面体的外接球半径可用此法。5. 15r 2=ao 2=ah 2+oih 2+oio 2=3，r r类型六、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ AB = CD ，AD = BC ，AC = BD ） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD = BC = x，AB = CD = y，AC = BD = z，列方程组,a 2 + b2 = x2 b2 + c2 = y2 = (2R)2 = a2 + b2 + c2 =c2 + a2 = z 2补充： V = abc 一 abc x 4 = abcA-BCD63第三步：根据墙角模型，2R = 丫 a2 + b2 + c2R2 = x2 + y2 + z2，R = JX2 + y2 + Z2，求出R,8例 6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，其中底面的三个顶点D.竺12个截面如图，贝惬中三角形(正四面体的截面)的面积是 (2) 个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，题解答图在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是(A.竺B.曲C.叵434解：(1)截面为APCO,面积是心2 ；(2)高h = R = 1,底面外接圆的半径为R = 1，直径为2 R = 2,设底面边长为a，则2R =侖=2，虫，S呼2二罟1.3三棱锥的体积为卩二3 Sh二于(3)在三棱锥A-BCD中，AB = CD = 2, AD = BC = 3, AC = BD = 4,则三棱锥A-BCD外接球的表29面积为O 兀解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2 + b2 = 9， b2 + c2 = 4， c2 + a2 = 16 2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29， 2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29，292929a 2 + b 2 + c 2 =， 4 R 2 =， S = n222(4)如图所示三棱锥A一BCD，其中AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的 表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，2(a2 + b2 + c2) = 25 + 36 + 49 = 110， a2 + b2 + c2 = 55， 4R2 = 55， S = 55n【55n ；对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为卞2，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R =訂，类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图13题设：ZAPB = ZACB = 90。，求三棱锥P - ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O，连接)125C.兀6544 125解：(1) 2R二 AC二5 , R = , V = -nR3 =兀_23386(2)在矩形ABCD中，AB = 2, BC = 3,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥A BCD 的外接球的表面积为.125D.兀3125兀，选C1.题设：如图14,三棱锥P - ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图， E,H 分别是两个三角形的外心；第二步：求 DH = *BD , PO 二 PH r , PD 是侧面 AABP 的高;第三步：OE PO由APOE相似于APDH，建立等式：= ，解出rDH PDACB图14OP,OC，则OA = OB = OC = OP = AB , a O为三棱锥P ABC外接球球心，然后在OCP中求出半径） 当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关 只要不是平角球半径都为定 值。例7 （1）在矩形ABCD中,AB = 4, BC = 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D , 则四面体ABCD的外接球的体积为（125125A.兀B.兀1295解析：（2） BD的中点是球心O , 2R = BD = 13 , S = 4兀R2 = 13兀；类型八、锥体的内切球问题2.题设：如图15,四棱锥P - ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图， P,O,H 三点共线；第二步：求 FH = BC , PO = PH r , PF 是侧面 APCD 的高; 2第三步：OG PO由APOG相似于APFH，建立等式：= ，解出HF PF图153.题设：三棱锥P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；+ VO-PBC第二步：设内切球的半径为r，建立等式：V 二V +V +VP ABCOABCOPABOPACV = - S - r + - S - r + - S - r + - S - r = -(S + S + S + S ) - rP ABC3 AABC3 PAB3 PAC3 PBC3 AABCAPABPACAPBC第三步：解出r =3VP ABCS + S + S + SO 一 ABCO 一 PABO 一 PACO 一 PBC习题：1.若三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直，且SA二2 , SB二SC二4，则该三棱锥的外接球半径为（ A. 3B. 6C.36D. 9解：【A】(2R)2 =+16 +16 = 6 , R = 3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】_棱锥的外接球体积等于2.三棱锥S - ABC中，侧棱SA丄平面ABC，底面ABC是边长为寿的正三角形，SA = 2*3，则该三 32兀3-(3432兀解析：2r = 2 , (2R)2 = 4 +12 = 16 , R2二4 , R = 2，外接球体积一兀 8 =sin 60。33【外心法(加中垂线)找球心；正弦定理求球小圆半径】3.正三棱锥S - ABC中，底面ABC是边长为审3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等 于.242解析：AABC外接圆的半径为，三棱锥S - ABC的直径为2R =，外接球半径R = ，sm 60。 J33244832 13或R2 = (R ：3)2 +1， R =，外接球体积V =兀R3 =兀*=(333 3石 274.三棱锥P ABC中，平面PAC丄平面ABC， PAC边长为2的正三角形，AB丄BC，则三棱锥 P ABC外接球的半径为.2 4 2解析：APAC的外接圆是大圆，2R =， R =；=，sin 60。羽35.三棱锥P ABC中，平面PAC丄平面ABC， AC = 2， PA = PC = 3， AB丄BC，则三棱锥 P ABC外接球的半径为.卄 /D PA2 + PC 2 AC2 9 + 9 4 7 /D 1 昇、16 - 2.4 迈解析：cos ZP = ， sm2 ZP = 1 ()2 =， sin ZP =2 PA - PC2 - 3 - 3998192 R亠=2 =疸，R =密4j2 2J24896.三棱锥P ABC中，平面PAC丄平面ABC，AC = 2，PA丄PC，AB丄BC，则三棱锥P ABC 夕卜接球的半径为.解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为R = 1