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第二讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 ( 选择、填空题型 ) 椭 圆 考 点 圆锥曲线的综合问题 抛 物 线 双 曲 线 考 情 1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象， 有时也考查椭圆定义的应用，尤其要熟记椭圆中参数 a， b， c之间 的内在联系及其几何意义 2.对于双曲线的考查主要有两种形式：一是求双曲线方程；二 是通过方程研究双曲线的性质，如 2013年新课标全国卷 T4, 2013年浙江 T9. 3.高考对抛物线定义的考查主要体现在抛物线的标准方程、焦 点等问题上，考查方程主要有两个方面，一是用定义或待定系数 法求抛物线方程；二是利用抛物线方程研究几何性质，如 2013年 新课标全国卷 T11. 4.圆锥曲线综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，如 2013年天津 T5. 1 ( 2013 新课标全国卷 ) 已知双曲线 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为 ( ) A y 1 4 x B y 1 3 x C y 1 2 x D y x 解析： 因为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 的焦点在 x 轴上，所以双曲线的 渐近线方程为 y b a x . 又离心率为 e c a a 2 b 2 a 1 b a 2 5 2 ，所以 b a 1 2 ，所以双曲线的渐近线方程为 y 1 2 x . 答案： C 2 ( 2013 浙江高考 ) 如图， F 1 ， F 2 是椭圆 C 1 ： x 2 4 y 2 1 与双曲 线 C 2 的公共焦点， A ， B 分别是 C 1 ， C 2 在第二、四象限的 公共点若四边形 AF 1 BF 2 为矩形，则 C 2 的离心率是 ( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 6 2 解析： 设双曲线方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) ，点 A 的坐标为 ( x 0 ， y 0 ) 由题意得 a 2 b 2 3 c 2 ，则 | OA | c 3 ， 所以 x 2 0 y 2 0 3 ， x 2 0 4 y 2 0 4 ， 解得 x 2 0 8 3 ， y 2 0 1 3 ，又点 A 在双曲线上， 代入 得， 8 3 b 2 1 3 a 2 a 2 b 2 ，联立 解得 a 2 ，所以 e c a 6 2 . 答案： D 3 ( 2013 新课标全国卷 ) 设抛物线 C ： y 2 2 px ( p 0) 的焦点为 F ，点 M 在 C 上， | MF | 5. 若以 MF 为直径的圆过点 ( 0,2) ， 则 C 的方程为 ( ) A y 2 4 x 或 y 2 8 x B y 2 2 x 或 y 2 8 x C y 2 4 x 或 y 2 16 x D y 2 2 x 或 y 2 16 x 解析： 由已知得抛物线的焦点 F p 2 ， 0 ，设点 A ( 0,2) ，抛物线 上点 M ( x 0 ， y 0 ) ，则 AF p 2 ， 2 ， AM y 2 0 2 p ， y 0 2 . 由已 知得， AF AM 0 ，即 y 2 0 8 y 0 16 0 ，因而 y 0 4 ， M 8 p ， 4 . 由 | MF | 5 得， 8 p p 2 2 16 5 ，又 p 0 ，解得 p 2 或 p 8. 答案： C 4 ( 2013 天津高考 ) 已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的两条 渐近线与抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的准线分别交于 A, B 两点， O 为坐标原点 . 若双曲线的离心率为 2, AO B 的面积为 3 ， 则 p ( ) A 1 B. 3 2 C 2 D 3 解析： 因为双曲线的离心率 e c a 2 ，所以 b 3 a ，所以双 曲线的渐近线方程为 y b a x 3 x ，与抛物线的准线 x p 2 相交于 A p 2 ， 3 2 p ， B p 2 ， 3 2 p ，所以 AOB 的面积为 1 2 p 2 3 p 3 ，又 p 0 ，所以 p 2. 答案： C 1 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 y2 2px(p 0) 标准 方程 |PF| |PM|点 F 不在直线 l上， PM l于 M |PF1| |PF2| 2a(2a |F1F2|) |PF1| |PF2| 2a(2a |F1F2|) 定义 抛物线 双曲线 椭圆 名称 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 渐近线 e 1 离心率 几何 性质 图像 抛物线 双曲线 椭圆 名称 e c a 1 b 2 a 2 (0 e 1) e ca 1 b 2 a 2 ( e 1) y ba x 2. 直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求，根据韦达定理，进行整体代入即当直线与圆 锥曲线交于点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 时， | AB | 1 k 2 | x 1 x 2 | 1 1 k 2 | y 1 y 2 |，而 | x 1 x 2 | x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 . 3 抛物线的过焦点的弦长 抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的过焦点 F p 2 ， 0 的弦 AB ，若 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 x 2 p 2 4 ， y 1 y 2 p 2 ，弦长 | AB | x 1 x 2 p . 同样可得抛物线 y 2 2 px ， x 2 2 py ， x 2 2 py 类似的性质 圆锥曲线定义及标准方程 例 1 ( 1) ( 2013 广东高考 ) 已知中心在原点的双曲线 C 的 右焦点为 F ( 3,0) ，离心率等于 3 2 ，则 C 的方程是 ( ) A. x 2 4 y 2 5 1 B. x 2 4 y 2 5 1 C. x 2 2 y 2 5 1 D. x 2 2 y 2 5 1 (2) 设 F 1 ， F 2 分别为双曲线 x 2 9 y 2 16 1 的左、 右焦点，过 F 1 引圆 x 2 y 2 9 的切线 F 1 P 交双 曲线的右支于点 P ， T 为切点， M 为线段 F 1 P 的中点， O 为坐标原点，则 | MO | | MT |等于 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 (3) 已知直线 l 1 ： 4 x 3 y 6 0 和直线 l 2 ： x 1 ，抛物线 y 2 4 x 上一动点 P 到直线 l 1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是 _ 自主解答 ( 1) 由题意可知 c 3 ， a 2 ， b c 2 a 2 3 2 2 2 5 ，故双曲线的方程为 x 2 4 y 2 5 1. ( 2) 连接 PF 2 、 OT ，则有 | MO | 1 2 | PF 2 | 1 2 (| PF 1 | 2 a ) 1 2 (| PF 1 | 6) ， | MT | 1 2 | PF 1 | | F 1 T | 1 2 | PF 1 | c 2 a 2 1 2 | PF 1 | 4 ，于是 有 | MO | | MT | 1 2 | PF 1 | 3 1 2 | PF 1 | 4 1. ( 3) 直线 l 2 ： x 1 为抛物线 y 2 4 x 的 准线，由抛物线的定义知， P 到 l 2 的距离等 于 P 到抛物线的焦点 F ( 1,0) 的距离故本题 可化为在抛物线 y 2 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点 F ( 1,0) 和直线 l 1 的距离之和最小如图所示，距离之和的 最小值为焦点 F ( 1,0) 到直线 l 1 ： 4 x 3 y 6 0 的距离，即 d m in |4 0 6| 5 2. 答案 ( 1) B ( 2) D ( 3) 2 本例 ( 3) 中把直线 l 1 换成点 A ( 2,3) ，如何求点 P 到点 A 和 直线 l 2 的距离之和的最小值？ 解析： 直线 l 2 ： x 1 为抛物线 y 2 4 x 的准线，由抛物 线定义知， P 到 l 2 的距离等于 P 到抛物线焦点 F ( 1,0) 的距离故 本题可以转化为在抛物线上找一个点 P ，使得 | PA | | PF |最小， 即 | AF |为所求， A ( 2,3) ， F ( 1,0) ， | AF | 2 1 2 3 2 10 . 答案： 10 规律 总 结 圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是 “ 先定型，后计算 ” ( 1) 定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置， 从而设出标准方程 ( 2) 计算即利用待定系数法求出方程中的 a 2 ， b 2 或 p .另 外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为 y 2 2 ax 或 x 2 2 ay ( a 0) ，椭圆常设 mx 2 ny 2 1( m 0 ， n 0) ，双曲线常设 为 mx 2 ny 2 1( mn 0) 1 已知 F 1 ， F 2 为双曲线 C ： x 2 y 2 2 的左、右焦点，点 P 在 C 上， | PF 1 | 2| PF 2 |，则 c os F 1 PF 2 ( ) A. 1 4 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 5 解析： 因为 c 2 2 2 4 ，所以 c 2,2 c | F 1 F 2 | 4 ，由题 意可知 | PF 1 | | PF 2 | 2 a 2 2 ， | PF 1 | 2| PF 2 | ，所以 | PF 2 | 2 2 ， | PF 1 | 4 2 ，由余弦定理可知 c os F 1 PF 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 3 4 . 答案： C 2 已知抛物线 y 2 8 x 的准线过双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的一 个焦点， 且双曲线的离心率为 2 ，则该双曲线的方程为 _ 解析： 抛物线 y 2 8 x 的准线 x 2 过双曲线的一个焦点， 所以 c 2 ，又离心率为 2 ，所以 a 1 ， b c 2 a 2 3 ， 所以该双曲线的方程为 x 2 y 2 3 1. 答案： x 2 y 2 3 1 例 2 ( 1) ( 2013 山东高考 ) 抛物线 C 1 ： y 1 2 p x 2 ( p 0) 的焦点与 双曲线 C 2 ： x 2 3 y 2 1 的右焦点的连线交 C 1 于第一象限的点 M .若 C 1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线，则 p ( ) A. 3 16 B. 3 8 C. 2 3 3 D. 4 3 3 圆锥曲线的几何性质 ( 2) ( 2013 福建高考 ) 椭圆 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的左、右焦 点分别为 F 1 ， F 2 ，焦距为 2 c ，若直线 y 3 ( x c ) 与椭圆 的 一个交点 M 满足 MF 1 F 2 2 MF 2 F 1 ，则该椭圆的离心率等 于 _ 自主解答 (1) 抛物线的焦点坐标为 0 ， p 2 ，双曲线的右焦 点坐标为 (2,0) ，所以上述两点连线的方程为 x 2 2 y p 1. 双曲线的 渐近线方程为 y 3 3 x . 对函数 y 1 2 p x 2 求导，得 y 1 p x . 设 M ( x 0 ， y 0 ) ，则 1 p x 0 3 3 ，即 x 0 3 3 p ，代入抛物线方程得， y 0 1 6 p . 由于点 M 在直线 x 2 2 y p 1 上，所以 3 6 p 2 p p 6 1 ，解得 p 4 3 4 3 3 . ( 2) 直线 y 3 ( x c ) 过点 F 1 ，且倾斜角为 60 ，所以 MF 1 F 2 60 ，从而 MF 2 F 1 30 ，所以 MF 1 MF 2 . 在 Rt MF 1 F 2 中， | MF 1 | c ， | MF 2 | 3 c ，所以该椭圆的离心率 e 2 c 2 a 2 c c 3 c 3 1. 答案 ( 1) D ( 2) 3 1 规律 总 结 两类离心率问题 ( 1) 椭圆的离心率： e 2 c 2 a 2 1 b 2 a 2 ， b a 1 e 2 ； ( 2) 双曲线的离心率： e 2 c 2 a 2 1 b 2 a 2 ， b a e 2 1 . 3 已知双曲线 C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的离心率为 2. 若抛物 线 C 2 ： x 2 2 py ( p 0) 的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2 ， 则抛物线 C 2 的方程为 ( ) A x 2 8 3 3 y B x 2 16 3 3 y C x 2 8 y D x 2 16 y 解析： 双曲线 C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的离心率为 2 ， c a a 2 b 2 a 2 ， b 3 a ， 双曲线的渐近线方程为 3 x y 0 ， 抛物线 C 2 ： x 2 2 py ( p 0) 的焦点 0 ， p 2 到双曲线的渐近线的距 离为 3 0 p 2 2 2 ， p 8. 所求的抛物线方程为 x 2 16 y . 答案： D 4 已知椭圆 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的左焦点为 F ， C 与过原点的 直线相交于 A ， B 两点，连接 AF ， BF . 若 | AB | 10 ， | AF | 6 ， c os ABF 4 5 ，则 C 的离心率 e _. 解析： 设椭圆的右焦点为 F 1 ，在 AB F 中，由余弦定理可 解得 | BF | 8 ，所以 A BF 为直角三角形，又因为斜边 AB 的中点为 O ，所以 | OF | c 5. 连接 AF 1 ，因为 A ， B 关于原 点对称，所以 | BF | | AF 1 | 8 ，所以 2 a 14 ， a 7 ，所以离 心率 e 5 7 . 答案： 57 直线与圆锥曲线的位置关系 例 3 ( 1) ( 2013 安徽高考 ) 已知直线 y a 交抛物线 y x 2 于 A ， B 两点若该抛物线上存在点 C ，使得 AC B 为直角， 则 a 的取值范围为 _ _ ( 2) ( 2013 东城模拟 ) 已知抛物线 y 2 2 px 的焦点 F 与双曲线 x 2 7 y 2 9 1 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ，点 A 在抛物线上且 | AK | 2 | AF |，则 AFK 的面积为 ( ) A 4 B 8 C 16 D 32 自主解答 ( 1) 法一： 设直线 y a 与 y 轴交于点 M ，抛物 线 y x 2 上要存在点 C ，只要以 | AB |为直径的圆与抛物线 y x 2 有交点即可，也就是使 | AM | | MO |，即 a a ( a 0 ) ，所以 a 1. 法二： 易知 a 0 ，设 C ( m ， m 2 ) ，由已知可令 A ( a ， a ) ， B ( a ， a ) ，则 AC ( m a ， m 2 a ) ， BC ( m a ， m 2 a ) ，因为 AC BC ，所以 m 2 a m 4 2 am 2 a 2 0 ，可得 ( m 2 a )( m 2 1 a ) 0. 因为由题易知 m 2 a ，所以 m 2 a 1 0 ， 故 a 1 ， ) ( 2) 由题意知，抛物线焦点坐标为 ( 4,0) 作 AA 垂直于抛 物线的准线，垂足为 A ，根据抛物线定义知 | AA | | AF |， 所以在 AA K 中， | AK | 2 | AA |，故 KAA 45 . 此时 不妨认为直线 AK 的倾斜角为 45 ，则直线 AK 的方程为 y x 4 ，代入抛物线方程 y 2 16 x 中，得 y 2 16( y 4) ，即 y 2 16 y 64 0 ，解得 y 8 ，点 A 的坐标为 ( 4,8) ，故 AFK 的面积为 1 2 8 8 32. 答案 ( 1) 1 ， ) ( 2) D 规律 总 结 求解直线与圆锥曲线的位置关系的方法 在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这 两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线 方程联立后所得方程的根的情况，使用根与系数的关系进行整体 代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相 交问题的最基本方法 5 已知点 A (1,0) ，椭圆 C ： x 2 4 y 2 3 1 ，过点 A 作直线交椭圆 C 于 P ， Q 两点， AP 2 QA ，则直线 PQ 的斜率为 ( ) A. 5 2 B. 2 5 2 C 2 5 5 D 5 2 解析： 设点 P ， Q 坐标分别为 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ，则 AP ( x 1 1 ， y 1 ) ， QA (1 x 2 ， y 2 ) 因为 AP 2 QA ，所以 x 1 1 2( 1 x 2 ) ，整理得 x 1 2 x 2 3 . 设直线 PQ 的斜率为 k ，则其 方程为 y k ( x 1) ，代入椭圆方程，得 (4 k 2 3) x 2 8 k 2 x 4 k 2 12 0. 于是 x 1 x 2 8 k 2 4 k 2 3 ， x 1 x 2 4 k 2 12 4 k 2 3 . 联立 ， 解得 k 5 2 . 答案： D 6 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F ( 1,0) ，直线 l 与 抛物线 C 相交于 A ， B 两点若 AB 的中点坐标为 ( 2,2) ，则 直线 l 的方程为 _ _ 解析： 由已知得抛物线的方程为 y 2 4 x .当直线 l 的斜率不存 在时，根据抛物线的对称性，点 (2,2) 不可能是 AB 的中点， 故直线 l 的斜率存在，设其为 k ，则直线 l 的方程为 y 2 k ( x 2) 且 k 0 ，与抛物线方程联立得 y 2 4 y 2 k 2 0 ， 即 y 2 4 k y 8 k 8 0. 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 y 1 y 2 4 k ， 又因为 y 1 y 2 2 2 ，即 2 k 2 ，解得 k 1 ，故所求的直线方程 是 y 2 x 2 ，即 y x . 答案： y x 课题 17 方程思想求解圆锥曲线离心率 典例 ( 2013 湖南高考 ) 设 F 1 ， F 2 是双曲线 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的两个焦点， P 是 C 上一点若 | PF 1 | | PF 2 | 6 a ， 且 PF 1 F 2 的最小内角为 30 ，则 C 的离心率为 _ 考题揭秘 本题主要考查双曲线的定义及其几何性质、 余弦定理，考查方程思想与数形结合思想 审题过程 第一步：审条件已知双曲线的两个焦点 F 1 ， F 2 ，点 P 是双曲线上的点，且 PF 1 F 2 的最小内角为 30 . 第二步：审结论求双曲线的离心率 第三步：建联系由点 P 是双曲线上的点，假设在右支上， 由 | PF 1 | | PF 2 | 2 a 与条件 | PF 1 | | PF 2 | 6 a 得到 | PF 1 | ， | PF 2 | 的 值又易知 PF 1 F 2 3 0 ，在 PF 1 F 2 中由余弦定理得到 a ， c 关 系式进而得到 e 的一元二次方程，求出结果 规范解答 设 F 1 ， F 2 分别为双曲线的左、右焦点，不妨设 点 P 在双曲线的右支上，由双曲线定义得 | PF 1 | | PF 2 | 2 a ，又 | PF 1 | | PF 2 | 6 a ，联立解得 | PF 1 | 4 a ， | PF 2 | 2 a . 而 | F 1 F 2 | 2 c ， 则 PF 1 F 2 最小为 30 .在 PF 1 F 2 中，由余弦定理，得 | PF 2 | 2 | PF 1 | 2 | F 1 F 2 | 2 2| PF 1 | | F 1 F 2 | c os PF 1 F 2 ，所以 4 a 2 16 a 2 4 c 2 2 4 a 2 c c os 30 ，即 3 a 2 2 3 ac c 2 0. 因此， e 2 2 3 e 3 0 ， 即 ( e 3 ) 2 0 ， e 3 . 故双曲线的离心率为 3 . 答案 3 模型归纳 方程思想求圆锥曲线离心率 ( 范围 ) 的模型示意图如下： 变式训练 1 已知双曲线 C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，抛物线 C 2 ： y 2 2 px ( p 0) 的焦点与双曲线 C 1 的一 个焦点重合 C 1 与 C 2 在第一象限相交于点 P ，且 | F 1 F 2 | | PF 1 |，则双曲线的离心率为 _ 解析： 设点 P ( x 0 ， y 0 ) ， F 2 ( c, 0) ，过点 P 作抛物线 C 2 准线的垂线， 垂足为 A ，连接 PF 2 . 由双曲线的定义及 | F 1 F 2 | | PF 1 | 2 c ，得 | PF 2 | 2 c 2 a ，由抛物线的定义得 | PA | x 0 c 2 c 2 a ， x 0 c 2 a . 由题意知 p 2 c ， y 2 0 2 px 0 4 c ( c 2 a ) 在 Rt F 1 AP 中， | F 1 A | 2 (2 c ) 2 (2 c 2 a ) 2 8 ac 4 a 2 ，即 y 2 0 8 ac 4 a 2 . 8 ac 4 a 2 4 c ( c 2 a ) ，化简得 c 2 4 ac a 2 0 ，即 e 2 4 e 1 0( e 1) ，解得 e 2 3 . 答案： 2 3 2. ( 2013 乌鲁木齐模拟 ) 如图，椭圆的中心在坐标原点 O ，顶点 分别是 A 1 ， A 2 ， B 1 ， B 2 ，焦点分别是 F 1 ， F 2 ，延长 B 1 F 2 与 A 2 B 2 交于 P 点， 若 B 1 PA 2 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 _ 解析： 设椭圆的方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) ， B 1 PA 2 为 钝角可转化为 22 BA ， 21 FB 所夹的角为钝角，则 ( a ， b ) ( c ， b ) 0 ，得 b 2 ac ，即 a 2 c 2 ac ，故 c a 2 c a 1 0 ，即 e 2 e 1 0 ，解得 e 5 1 2 或 e 5 1 2 . 又 0 e 1 ， 5 1 2 e 1. 答案： 5 1 2 ， 1
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