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定理定理1 1 若曲线若曲线,),(),(:),(ttytxBAC是光滑的，即在连续，且不是光滑的，即在连续，且不)(),(tt ,同时为零，函数在同时为零，函数在C C连续，则函数连续，则函数),(yxf在在C(A,B)C(A,B)存在第一型曲线积分，且存在第一型曲线积分，且),(yxfdtttttfdsyxfBAC)()()(),(),(22),(;一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限一一.第一型曲线积分第一型曲线积分推广推广1 1 若三维欧氏空间若三维欧氏空间 中光滑曲线中光滑曲线dtttttttfdszyxfC )()()()(),(),(),(222)().(),(),(:ttztytxC3RC的参数方程是的参数方程是则第一型曲线积分为则第一型曲线积分为连续，且连续，且则则f(x,y)d xf(x,y)d x与与f(x,y)d yf(x,y)d y在在C(A,B)C(A,B)的第二型的第二型定理定理2 2 如果函数如果函数f(x,y)f(x,y)在有向光滑曲线在有向光滑曲线,),(),(:),(ttyytxxBAC),(),(),(),(yxByxA曲线积分都存在，且曲线积分都存在，且dttxtytxfdxyxfBAC)()(),(),(),(dttytytxfdyyxfBAC)()(),(),(),(二、第二型曲线积分二、第二型曲线积分对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标,上限是终点的上限是终点的坐标坐标.特殊情形特殊情形)(:xyyL,ax起起点点为为 LyyxQxyxPd),(d),(1)b终终点点为为则则xxyxyxQxyxPbad)()(,)(,)(:yxxL LyyxQxyxPd),(d),(,cy起点为起点为(2)d终终点点为为yyyxQyxyyxPdcd),()(),(则则,)()()(:tztytx (3)推广推广,起点起点t 终点终点 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()()(),(),(ttttP)()(),(),(ttttQ tttttRd)()(),(),(三三.格林公式格林公式定理定理3 若函数若函数 及其偏导数及其偏导数),(),(yxQyxPyPxQ ,在有界闭区域在有界闭区域D上连续，则有上连续，则有 .QdyPdxdxdyyPxQD其中是围成闭区域其中是围成闭区域D的边界封闭曲线，的边界封闭曲线，取正向取正向格林公式格林公式格林公式有两个等式组成：格林公式有两个等式组成：,PdxdxdyyPD .QdydxdyxQD四、曲线积分与路径无关的条件四、曲线积分与路径无关的条件定理定理4 4若函数若函数 ,以及以及yPxQ ,在单连通区域在单连通区域G G连续，下列四个断语是等价的：连续，下列四个断语是等价的：),(BACQdyPdx与路线与路线C C无关无关，1.1.曲线积分曲线积分即只与始点即只与始点A A与终点与终点B B有关；有关；),(yxP),(yxQ2.2.在在G G中存在一个函数中存在一个函数 ,使使;QdyPdxdu ),(yxu4.4.对对G G内的任意光滑闭曲线内的任意光滑闭曲线.0 QdyPdx;,),(xQyPGyx 3.3.,1.计算积分计算积分,)(22dsyxC 其中其中C为曲线为曲线).20(),cos(sin),sin(cos ttttaytttax2.计算积分计算积分,)(3434dsyxC 其中其中C为内摆线为内摆线323232ayx 的弧的弧3.计算积分计算积分,22dseCyx 其中其中C为由曲线为由曲线4,0,ar所界的凸围线所界的凸围线4.计算积分计算积分,22dsyxC 其中其中C为圆周为圆周.22axyx 5.,)()(dyyxdxyxC 其中其中C为依反时针为依反时针方向通过的椭圆方向通过的椭圆.12222 byax6.,)()(22 Cyxdyyxdxyx其中其中C为依反时针为依反时针方向通过的圆周方向通过的圆周.222ayx 7.ABxdyydx,sinsin其中其中AB为界于点为界于点),0(A和点之间的直线段和点之间的直线段)0,(B8.计算积分计算积分 )3,2()1,0(.)()()1(dyyxdxyx )2,1()1,2(2)2(xxdyydx沿着不与沿着不与oy轴相交的路轴相交的路径径 )0,3()1,2(42234.)56()4()3(dyyyxdxxyx )0,1()1,0(2)()4(yxydxxdy沿着不与沿着不与y=x相交的路径相交的路径9.计算下列曲线积分计算下列曲线积分 Cydxxdyxy,)1(22其中其中C为为.222ayx ,)sin()cos1()2(Cxdyyydxye其中其中C为为域域xyxsin0,0 的正方向的围线的正方向的围线.)2sin2(cos)3()(22 Cyxxydyxydxe10.求原函数求原函数.1)()2(dyyxeedxyyxeedzyxyx 11.计算计算 其中其中L 为圆周为圆周 在第一象限部分从点在第一象限部分从点A(0,1)到到B(1,0)的弧段的弧段.22,LIxy dyx ydx 221xy12.积分积分 AmBdyyxdxyxI221)()(和和 AnBdyyxdxyxI222)()(（其中（其中AmB为连接点为连接点A(1,1)和点和点B(2,6)的的直线段，直线段，AnB是其轴为垂直的抛物线，并通过是其轴为垂直的抛物线，并通过A,B及坐标原点）相差多少？及坐标原点）相差多少？
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