二章波函数和Schrodinger方程ppt课件

第二章第二章 波函数波函数和和 Schrodinger Schrodinger 方程方程l1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释 l2 2 态叠加原理态叠加原理 l3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 l4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程 l5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 l6 6 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释一波函数一波函数 二波函数的解释二波函数的解释三波函数的性质三波函数的性质 3 3个问题？个问题？描写自在粒子的描写自在粒子的平平 面面 波波),(tr 假设粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能假设粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量或不同时为常量粒子的形状就不能用平面波量不再是常量或不同时为常量粒子的形状就不能用平面波描写，而必需用较复杂的波描写，普通记为：描写，而必需用较复杂的波描写，普通记为：描写粒子形状的描写粒子形状的波函数，它通常波函数，它通常是一个复函数。是一个复函数。称为称为 dedeBroglie Broglie 波。此式称为自在粒子的波函数。波。此式称为自在粒子的波函数。(1)(1)是怎样描画粒子的形状呢？是怎样描画粒子的形状呢？(2)(2)如何表达波粒二象性的？如何表达波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？一波函数一波函数 )(expEtrpiA电子源电子源感感光光屏屏两种错误的看法两种错误的看法1.1.波由粒子组成波由粒子组成 如水波，声波，由分子密度疏密变化而构成的一种分布。如水波，声波，由分子密度疏密变化而构成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的经过小孔，但只需时间足够长，底片上添加呈电子一个一个的经过小孔，但只需时间足够长，底片上添加呈现出衍射花纹。这阐明电子的动摇性并不是许多电子在空间聚集在现出衍射花纹。这阐明电子的动摇性并不是许多电子在空间聚集在一同时才有的景象，单个电子就具有动摇性。一同时才有的景象，单个电子就具有动摇性。PPOQQO 现实上，正是由于单个电子具有动摇性，才干了解氢原子现实上，正是由于单个电子具有动摇性，才干了解氢原子只含一个电子！中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一只含一个电子！中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子景象。些量子景象。波由粒子组成的看法夸张了粒子性的一面，而抹杀了粒波由粒子组成的看法夸张了粒子性的一面，而抹杀了粒子的动摇性的一面，具有片面性。子的动摇性的一面，具有片面性。2.2.粒子由波组成粒子由波组成l电子是波包。把电子波看成是电子的某种实践构造，是三维空电子是波包。把电子波看成是电子的某种实践构造，是三维空间中延续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等动摇间中延续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等动摇景象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动景象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。速度。l什么是波包？波包是各种波数长平面波的迭加。什么是波包？波包是各种波数长平面波的迭加。平面波描写自在粒子，其特点是充溢整个空间，这是由于平面波描写自在粒子，其特点是充溢整个空间，这是由于平面波振幅与位置无关。假设粒子由波组成，那么自在粒子将平面波振幅与位置无关。假设粒子由波组成，那么自在粒子将充溢整个空间，这是没有意义的，与实验现实相矛盾。充溢整个空间，这是没有意义的，与实验现实相矛盾。l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超越原子大小子内，其广延不会超越原子大小1 1 。l电子终究是什么东西呢？是粒子？还是波？电子终究是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒电子既不是粒子也不是波子也不是波 ，既不是经典的粒子也不是经典的波，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们但是我们也可以说，也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和动摇二重性矛电子既是粒子也是波，它是粒子和动摇二重性矛盾的一致。盾的一致。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性的属性颗粒性的属性;粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时辰有一定有确定的运动轨道，每一时辰有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1.1.真实的物理量的空间分布作周期性的变化真实的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着波意味着 2 2干涉、衍射景象，即相关叠加性。干涉、衍射景象，即相关叠加性。1.1.入射电子流强度小，开场显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样入射电子流强度小，开场显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;QQOPP我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验2.2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样.电子源电子源感感光光屏屏二波函数的解释二波函数的解释 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出如今正比于电子出如今 r r 点附近的几点附近的几 率。率。l结论：衍射实验所提示的电子的动摇性是：结论：衍射实验所提示的电子的动摇性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次一样实验中的统计结果。电子在许多次一样实验中的统计结果。l波函数正是为了描画粒子的这种行为而引进的，在此根波函数正是为了描画粒子的这种行为而引进的，在此根底上，底上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。在电子衍射实验中，照相底片上在电子衍射实验中，照相底片上 据此，描写粒子的波可以以为是几率波，反映微据此，描写粒子的波可以以为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数观客体运动的一种统计规律性，波函数(r)(r)有时也称有时也称为几率幅。为几率幅。这就是首先由这就是首先由 Born Born 提出的波函数的几率解释，提出的波函数的几率解释，它是量子力学的根本原理。它是量子力学的根本原理。假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用(r)(r)描画，与光学类似，描画，与光学类似，衍射花纹的强度那么用衍射花纹的强度那么用|(r)|2|(r)|2 描画，但意义与描画，但意义与经典波不同。经典波不同。|(r)|2|(r)|2 的意义是代表电子出如今的意义是代表电子出如今 r r 点附近点附近几率的大小，确切的说，几率的大小，确切的说，|(r)|2 x y z|(r)|2 x y z 表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元xyzxyz中找到粒子的几中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度振幅绝对值的平方率。波函数在空间某点的强度振幅绝对值的平方和在这点找到粒子的几率成比例，和在这点找到粒子的几率成比例，三波函数的性质三波函数的性质在在t t时辰，时辰，r r点，点，d=dxdydzd=dxdydz体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：d W(r,t)=C|(r,t)|2 dd W(r,t)=C|(r,t)|2 d，其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：1 1几率和几率密度几率和几率密度在在t t时辰时辰r r点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是：w(r,t)=dW(r,t)/d =C|(r,t)|2 w(r,t)=dW(r,t)/d =C|(r,t)|2 称为几率密度。称为几率密度。在体积在体积 V V 内，内，t t 时辰找到粒子的几率为：时辰找到粒子的几率为：W(t)=V dW=Vw(r,t)d=CV|(r,t)|2 dW(t)=V dW=Vw(r,t)d=CV|(r,t)|2 d2 2 平方可积平方可积由于粒子在空间总要出现不讨论粒子产生和湮灭由于粒子在空间总要出现不讨论粒子产生和湮灭情况，所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：情况，所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：C|(r,t)|2 d=1,C|(r,t)|2 d=1,从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为：C=1/|(r,t)|2 d C=1/|(r,t)|2 d这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子形状的波函数形状的波函数 必需是绝必需是绝对值平方可积的函数。对值平方可积的函数。假假设设|(r,t)|2 d|(r,t)|2 d ,那么那么 C C 0,0,这是没有意义的。这是没有意义的。)(exp),(EtrpiAtr留意：自在粒子波函数留意：自在粒子波函数 不满足这一要求。关于自在粒子波函数如何归一化问题，不满足这一要求。关于自在粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。以后再予以讨论。3 3归一化波函数归一化波函数 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍原来的 2 2 倍，那么倍，那么相应的动摇能量将为原来的相应的动摇能量将为原来的 4 4 倍，因此代表完全不同的动摇形状。倍，因此代表完全不同的动摇形状。经典波无归一化问题。经典波无归一化问题。(r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)所描写形状的相对几率是一样的，这里的所描写形状的相对几率是一样的，这里的 C C 是常数。是常数。由于在由于在 t t 时辰，空间恣意两点时辰，空间恣意两点 r1 r1 和和 r2 r2 处找到粒子处找到粒子的相对几率之比是：的相对几率之比是：由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因此，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子形状不变，即小，因此，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子形状不变，即 (r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)描画同一形状描画同一形状221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可见，可见，(r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)描画的是同一几率波，描画的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。所以波函数有一常数因子不定性。归一化常数l假设假设 (r,t)(r,t)没有归一化，没有归一化，|(r,t)|2 d=A|(r,t)|2 d=A A A 是大于零的常是大于零的常数，那么有数，那么有 l|(A)-1/2(r,t)|2 d=1|(A)-1/2(r,t)|2 d=1 也就是说，也就是说，(A)-1/2(r,t)(A)-1/2(r,t)是归一化的波函数，是归一化的波函数，与与(r,t)(r,t)描写同一几率波，描写同一几率波，(A)-1/2 (A)-1/2 称为归称为归一化因子。一化因子。留意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。留意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。假设假设(r,t)(r,t)是归一化波函数，那末，是归一化波函数，那末，expi(r,t)expi(r,t)也是归一化波函数其中也是归一化波函数其中是是实数，与前者描画同一几率波。实数，与前者描画同一几率波。4 4平面波归一化平面波归一化I Dirac I Dirac 函数函数 定义：定义：0000)(xxxxxx)0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=x0 x=x0 邻域邻域延续的任何函数延续的任何函数 f fx x有：有：)()()(00 xfdxxxxf 函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分方式：积分方式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=px/k=px/,dk=dpx/,dk=dpx/,那么那么xxxpidpexxx)(0021)(性质：性质：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)(，则则，作作代代换换：II II 平面波平面波 归一化归一化EtipEtrpiperAetr )(),(写成分量方式写成分量方式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 时的平面波时的平面波)(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx 思索一维积分思索一维积分dxxxexxxxpptEEi)()(*dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)()(*)(221xxppA 假设取假设取 A12 2A12 2=1=1，那么，那么 A1=2A1=2-1/2,1/2,于是于是xpipxxex 21)()(xxpp 平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数)(xxpp dxtxtxxxpp),(),(*)(xxpp dxeAxppixx21 dxeppxppixxxx)(21)()()()()(000 xxxfxxxf 三维情况：三维情况：EtipEtrpiperetr )(21),(2/3 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(*)()()()()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 留意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，留意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的形状在空间各点找到粒子的几率依然只是表示平面波所描写的形状在空间各点找到粒子的几率一样。一样。作作 业业 补补 充充 题题波波函函数数是是否否等等价价？两两种种情情况况，得得到到的的两两个个取取、对对是是否否等等价价？和和、波波函函数数请请问问：已已知知下下列列两两个个波波函函数数：2)()()(,3,2,1|0|)(2sin)(,3,2,1|0|)(2sin)()2(12121 nxIIxxInaxaxaxanAxnaxaxaxanAx .)24(,3,)1(/26/)2(5/24/33/22/211xixixixixixieieeeee 描描写写同同一一状状态态？些些与与请请问问下下列列波波函函数数中中，哪哪2 2 态叠加原理态叠加原理l一一态叠加原理态叠加原理l二二动量空间表象的波函数动量空间表象的波函数一态叠加原理l微观粒子具有动摇性，会产生衍射图样。而干微观粒子具有动摇性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。由于量子力学中的波，即波函数波叠加原理。由于量子力学中的波，即波函数决议体系的形状，称波函数为形状波函数，所决议体系的形状，称波函数为形状波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。思索电子双缝衍射思索电子双缝衍射 l=C11+C22 =C11+C22 也是电子的能够形状。也是电子的能够形状。l空间找到电子的几率那么是：空间找到电子的几率那么是：l|2=|C11+C22|2|2=|C11+C22|2 l =(C1 =(C1*11*+C2+C2*22*)(C11+C22)(C11+C22)l =|C1 1|2+|C22|2+C1 =|C1 1|2+|C22|2+C1*C21C21*2+C1C22+C1C2*1212*P1 122S1S2电子源电子源感感光光屏屏电子穿过狭缝电子穿过狭缝出如今点出如今点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出如今点出如今点的几率密度的几率密度相关项相关项 正是由于相关项的正是由于相关项的出现，才产生了衍出现，才产生了衍射花纹。射花纹。一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种能够的形两种能够的形状，状，是这两种形是这两种形状的叠加。状的叠加。态叠加原理普通表述：态叠加原理普通表述：假设假设1 1，2,.,n,.2,.,n,.是体系的一系是体系的一系列能够的形状，那么这些态的线性叠加列能够的形状，那么这些态的线性叠加 =C11+=C11+C22+.+Cnn+.C22+.+Cnn+.(其中其中 C1,C2,.,Cn,.C1,C2,.,Cn,.为复常数为复常数)。也是体系的一个能够形状。也是体系的一个能够形状。处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于22态态.，部分的处于，部分的处于nn，.普通情况下，假设1和2 是体系的能够形状，那末它们的线性叠加=C11+C22 也是该体系的一个能够形状.其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。例：例：)(expEtrpiAp(,)()(,)(,)()(,)pppxyzr tc pr tr tc pr t dpdpdp dp dpp，其 中 由 于是 连 续 变 化 的，所 以 后 式 应 用 积 分 代 替 了 求 和。电子在晶体外表反射后，电子电子在晶体外表反射后，电子能够以各种不同的动量能够以各种不同的动量 p p 运运动。具有确定动量的运动形状动。具有确定动量的运动形状用用dedeBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根据叠加原理，在晶体外表反射后，电子的形状根据叠加原理，在晶体外表反射后，电子的形状可表示可表示成成 p p 取各种能够值的平面波的线性叠加，即取各种能够值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dpp二动量空间表象的波函数二动量空间表象的波函数l(r,t)(r,t)是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；坐标空间波函数，坐标表象波函数；lC(p,t)C(p,t)是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；动量空间波函数，动量表象波函数；l二者描写同一量子形状。二者描写同一量子形状。exp21)(2/3rpirp ）（波函数波函数(r,t)(r,t)可用各种不同动量的平面波表示，可用各种不同动量的平面波表示，下面我们给出简单证明。下面我们给出简单证明。rdtrrtpcp),()(),(同同描描述述方方式式。是是同同一一量量子子态态的的两两种种不不一一一一对对应应，与与所所以以的的。变变换换式式，故故而而总总是是成成立立显显然然，二二式式互互为为),(),(tpctrFourier 展开展开系数系数pdrtpctrp)(),(),(令令那么那么 可按可按p p 展开展开dxdydzrpitrexp),(212/3 ）（zyxdpdpdprpitpcexp),()2(12/3 假设假设(r,t)(r,t)已归一化，那么已归一化，那么 C(p,t)C(p,t)也是归一化的。也是归一化的。pdtpctpcpdtpc),(),(|),(|2 证证明明：pdrdrtrrdrtrpp)(),()(),(pdrrrdrdtrtrpp)()(),(),()(),(),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函数数的的目目的的。平平面面波波归归一一化化为为由由此此我我们们也也可可以以看看出出把把关关系系式式其其中中使使用用了了 )()()(rrpdrrpprdtrrtpcp),()(),(体体积积元元内内的的几几率率；点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在rdrtrdtrtrdW 2|),(|),(具具有有类类似似的的物物理理含含义义与与),(),(trtrc 体体积积元元内内的的几几率率。点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在动动量量pdptpdtrctpdW 2|),(|),(3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 一力学量平均值一力学量平均值 1 1坐标平均值坐标平均值 2 2动量平均值动量平均值 二力学量算符二力学量算符 1 1动量算符动量算符 2 2动能算符动能算符 3 3角动量算符角动量算符 4 4Hamilton Hamilton 算符算符一一力学量平均值力学量平均值在统计物理中知道：在统计物理中知道：l当能够值为离散值时当能够值为离散值时:一个物理量的平均值等于物理一个物理量的平均值等于物理量出现的各种能够值乘上相应的几率求和；量出现的各种能够值乘上相应的几率求和；当能够值当能够值为延续取值时：一个物理量出现的各种能够值乘上相为延续取值时：一个物理量出现的各种能够值乘上相应的几率密度求积分。应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义，我们基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先思索一维马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先思索一维情况，然后再推行至三维。情况，然后再推行至三维。1 1坐标平均值坐标平均值 dxxxxx2|)(|drxxx2|)(|为简单计，剩去时间变量或者说，先不思索随时间的变化为简单计，剩去时间变量或者说，先不思索随时间的变化 设设(x)(x)是归一化波函数，是归一化波函数，|(x)|2|(x)|2 是粒子出如今是粒子出如今x x点的几率密点的几率密度，那么度，那么对三维情况，设对三维情况，设(r)(r)是归一化波函数，是归一化波函数，|(r)|2|(r)|2是粒子出如是粒子出如今今 r r 点的几率密度，那么点的几率密度，那么x x的平均值为的平均值为2 2动量平均值动量平均值一维情况：令一维情况：令(x)(x)是归一化波函是归一化波函数，相应动量表象波函数为数，相应动量表象波函数为xxxxxxxxxdppcpppppcdxxipxpc222/1|)(|)(|)/exp()()2(1)(的的几几率率密密度度，则则粒粒子子动动量量为为 既然既然(x)(x)是归一化波函数，相应动量表是归一化波函数，相应动量表象波函数为象波函数为c(px)c(px)一一 一一 对应，相互等价的描对应，相互等价的描画粒子的同一形状，那末动量的平均值也应可画粒子的同一形状，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用以在坐标表象用(x)(x)表示出来。但是表示出来。但是(x)(x)不不含含pxpx变量，为了能由变量，为了能由(x)(x)来确定动量平均值，来确定动量平均值，动量动量 px px必需改呵斥只含自变量必需改呵斥只含自变量 x x 的方式，这的方式，这种方式称为动量种方式称为动量 px px的算符方式，记为的算符方式，记为二力学量算符二力学量算符简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写形状，所以力学量也必需改呵斥与经典力学不同的算符描写形状，所以力学量也必需改呵斥与经典力学不同的算符方式称为第一次量子化。方式称为第一次量子化。xp 1 1动量算符动量算符一维情况：一维情况：xxxxxxxxxdppcppcdppcppp)()(|)(|2 xxxxpidppcpdxexx)()(21 xxxxpidxdppcpexx)()(21 xxxpidxdppcedxdixx)()(21 )(21)(xxxpidppcedxdixdxx dxxpxdxxdxdixx)()()()(比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论：izkyjxiiprrxx 体系形状用坐标表象中的波函数体系形状用坐标表象中的波函数(r)(r)描写时，描写时，坐标坐标 x x 的算符就是其本身，即的算符就是其本身，即阐明力学量在本身表象中的算符方式最简单。阐明力学量在本身表象中的算符方式最简单。dxdipx 而动量而动量 px px 在坐标表象非本身表象中的方式必在坐标表象非本身表象中的方式必需改呵斥动量算符方式：需改呵斥动量算符方式：三维情况：三维情况：由归一化波函数由归一化波函数(r)(r)求求 力学量平均值时，必需把该力学量平均值时，必需把该力学量的算符夹在力学量的算符夹在*(r)(r)和和(r)(r)之间之间,对全空间积分，即对全空间积分，即()()()()()()xxxxxxxxd xppxpxd xFFxFxd x 一 维 情 况：rdrrrdrFrFF)()()()(若若波波函函数数未未归归一一化化，则则F F 是任一是任一 力学量算符力学量算符 rdrFrFFrdrprpprdrxrxxxxx)()()()()()(三三维维情情况况：2 2动能算符动能算符rdrTrTTmpTmpT)()(2222 则则所所以以动动能能算算符符在在经经典典力力学学中中，3 3角动量算符角动量算符prLprL )()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 三三个个分分量量：rdrLrL)()(四四章章中中讨讨论论。将将在在第第算算符符之之间间更更深深刻刻的的关关系系学学量量与与相相应应算算符符的的写写法法以以及及力力量量，对对于于有有经经典典对对应应的的力力学学的的粒粒子子在在势势场场中中)(2)()(22rVmrVTHVTHrV 4 4Hamilton Hamilton 算符算符作作 业业 补充题补充题、动动能能平平均均值值。；、归归一一化化系系数数为为实实常常量量，求求：其其中中状状态态中中，一一维维谐谐振振子子处处于于实实数数，则则）证证明明：如如果果波波函函数数是是（IIAIAexpxx 2/22)()2(.01 4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程一一引引 二二引进方程的根本思索引进方程的根本思索 三三自在粒子满足的方程自在粒子满足的方程 四四势场势场V(r)V(r)中运动的粒子中运动的粒子 五五多粒子体系的多粒子体系的SchrodingerSchrodinger方程方程这些问题在这些问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了动摇方程之后提出了动摇方程之后得到了圆满处理。得到了圆满处理。微观粒子量子形状用波函数完全描画，波函数微观粒子量子形状用波函数完全描画，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其丈确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其丈量的能够值和相应的几率分布也都被完全确定，波量的能够值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的形状。因此量子力学最中函数完全描写微观粒子的形状。因此量子力学最中心的问题就是要处理以下两个问题：心的问题就是要处理以下两个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描画系统的各种能够的波函数在各种情况下，找出描画系统的各种能够的波函数:(2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。一一引引二二引进方程的根本思索引进方程的根本思索 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时辰从牛顿方程，人们可以确定以后任何时辰 t t 粒子的粒子的形状形状 r r 和和 p p。由于初条件知道的是坐标及其对时。由于初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回想一下经典粒子运动方程，看能否能给我们以启发。让我们先回想一下经典粒子运动方程，看能否能给我们以启发。1 1经典情况经典情况0000,ttdtrdmprtt 时时刻刻，已已知知初初态态是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子满满足足的的方方程程是是牛牛顿顿2 2量子情况量子情况 3 3第三方面，方程不能包含形状参量，如第三方面，方程不能包含形状参量，如 p,Ep,E等，否那么等，否那么方程只能被粒子特定的形状所满足，而不能为各种能够的形状方程只能被粒子特定的形状所满足，而不能为各种能够的形状所满足。所满足。1 1由于，由于，t=t0 t=t0 时辰，知的初态是时辰，知的初态是(r,t0)(r,t0)且只知道这且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子形状的波函数所满足的方程样一个初条件，所以，描写粒子形状的波函数所满足的方程只能含只能含对时间对时间 的一阶导数。的一阶导数。2 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理，即，假设要满足态叠加原理，即，假设1(r,t)1(r,t)和和2(r,t)2(r,t)是方程的解，那末。是方程的解，那末。(r,t)=C11(r,t)+C22(r,t)(r,t)=C11(r,t)+C22(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含中只能包含,对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。项，不能含它们的平方或开方项。三三自在粒子满足的方程自在粒子满足的方程 这不是所要寻觅的方程，由于它包含形状这不是所要寻觅的方程，由于它包含形状参量参量 E E。将。将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：）（1 EtiEit )(expEtrpiA描写自在粒子波函数描写自在粒子波函数:应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：，2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或 )2()2(222 pEti满足上述构造方程满足上述构造方程的三个条件的三个条件讨论：讨论：经过引出自在粒子动摇方程的过程可以经过引出自在粒子动摇方程的过程可以看出，假设能量关系式看出，假设能量关系式 E=p2/2 E=p2/2 写成如下方程方式：写成如下方程方式：22224ppipptiE）（做算符交换做算符交换4 4即得自在即得自在粒子满足的方程粒子满足的方程3 3。）（所所以以3222 ti 22pE 对对自自由由粒粒子子，0)2(2 pE(1)(2)(1)(2)式式四势场四势场 V(r)V(r)中运动的粒子中运动的粒子该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为动摇方程。方程，也常称为动摇方程。量量。算算符符，亦亦常常称称为为是是体体系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti),(),()(2),(22 假设粒子处于势场假设粒子处于势场 V(r)V(r)中运动，那么能动量关系变为：中运动，那么能动量关系变为：HrVpE )(22 )(22rVpE 将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：做做4 4式的算符交换得：式的算符交换得：(五五)多粒子体系的多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程 设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成，质量分别为质量分别为 i(i=1,2,.,N)i(i=1,2,.,N)体系波函数记为体系波函数记为 (r1,r2,.,rN;t)(r1,r2,.,rN;t)第第i i个粒子所遭到的外场个粒子所遭到的外场 Ui(ri)Ui(ri)粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(r1,r2,.,rN)V(r1,r2,.,rN)那么多粒子体系的那么多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 多粒子体系多粒子体系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)(对有对有 Z Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb Coulomb 排排斥作用：斥作用：而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 Coulomb Coulomb 吸引能为：吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律一定域几率守恒一定域几率守恒 二再论波函数的性质二再论波函数的性质一一 定域几率守恒定域几率守恒 思索低能非相对论实物粒子情况，因没有思索低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数坚持不变。对粒子的产生和湮灭问题，粒子数坚持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改动，即不随时间改动，即2(,)(,)(,)|(,)|w r tr tr tr t (,)0dwrtdd t 在讨论了形状或波函数随时间变化的规律后，在讨论了形状或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在率将怎样随时间变化。粒子在 t t 时辰时辰 r r 点周围点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：证：思索思索 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：)5(222 Vti)6(222 Vti 式式得得：将将)6()5(2222 titi22 ）（ti取共轭取共轭 dddtdi22 ）（在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，那么有：中将上式积分，那么有：闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量J J是几率流密度，是几率流密度，是一矢量。是一矢量。所以所以(7)(7)式是几率粒子数式是几率粒子数守恒的积分表示式。守恒的积分表示式。令令 Eq.Eq.7 7趋于趋于 ，即让积分对全空间进展，即让积分对全空间进展，思索到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函思索到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，那么式右面积分趋于零，于是数在无穷远处为零，那么式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.7 7变为：变为：(,)0dw rt dd t0wJt 其微分方式与其微分方式与流膂力学中延流膂力学中延续性方程的方续性方程的方式一样式一样 diddtd2 ）（(,)dw r t dJddt (,)7(,)Sdw r t dJdSdtw r tS （）是 体 积的 表 面。运用运用 Gauss Gauss 定理定理单位时间内经过单位时间内经过的封锁外表的封锁外表 S S 流入面积分前面的负号流入面积分前面的负号内内的几率的几率2 iJSdS(,)0dw r t ddt讨论：阐明，波函数归一化不随阐明，波函数归一化不随时间改动，其物理意义是时间改动，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。粒子既未产生也未消灭。1 1 这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率添加，使总几率几率减少了，必然另外一些地方几率添加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。不变，并伴随着某种流来实现这种变化。2 2 以以乘延续性乘延续性方程等号两边，得到：方程等号两边，得到：0wJt 量子力学的质量量子力学的质量守恒定律守恒定律同理可得量子力学同理可得量子力学的电荷守恒定律：的电荷守恒定律：0eewJt 阐明电荷总量阐明电荷总量不随时间改动不随时间改动2|(,)|()2wwr tiJJ 质量密度和质量流密度矢量质量密度和质量流密度矢量2|(,)|()2eewewer tiJeJe 电荷密度和电流密度矢量电荷密度和电流密度矢量二再论波函数的性质二再论波函数的性质1.1.由由 Born Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数知后，就知的统计解释可知，描写粒子的波函数知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即道了粒子在空间的几率分布，即 d W(r,t)=|(r,t)|2 d d W(r,t)=|(r,t)|2 d 2.2.知知(r,t)(r,t)，那么恣意力学量的平均值、能够值及相应那么恣意力学量的平均值、能够值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子形状的一切力学量的几率就都知道了，也就是说，描写粒子形状的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为形状波函数或态函数。就都知道了。所以波函数又称为形状波函数或态函数。3.3.知道体系所受力场和相互作用及初始时辰体系的形状后，由知道体系所受力场和相互作用及初始时辰体系的形状后，由SchrodingerSchrodinger方程即可确定以后时辰的形状。方程即可确定以后时辰的形状。1 1波函数完全描画粒子的形状波函数完全描画粒子的形状l式右含有式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是是恣意选取的，所以恣意选取的，所以S S是恣意闭合面。要使积分有意义，是恣意闭合面。要使积分有意义，必必需在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、延续且需在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、延续且其一阶导数亦延续。其一阶导数亦延续。l概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、延概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、延续三个条件，该条件称为波函数的规范条件。续三个条件，该条件称为波函数的规范条件。(,)2SSdw r t dJdSdtidS 2.2.根据粒子数守恒定律根据粒子数守恒定律 :1.1.根据根据BornBorn统计解释统计解释 w(r,t)=w(r,t)=*(r,t)(r,t)(r,t)(r,t)是粒是粒子在子在t t时辰出如今时辰出如今 r r点的几率，这是一个确定的数，所以要点的几率，这是一个确定的数，所以要求求(r,t)(r,t)应是应是 r,t r,t的单值函数且有限。的单值函数且有限。2 2波函数规范条件波函数规范条件3 3量子力学根本假定量子力学根本假定 I I、IIII量子力学根本假定量子力学根本假定 I I 波函数完全描画粒子的形状波函数完全描画粒子的形状量子力学根本假定量子力学根本假定 II II 波函数随时间的演化服从波函数随时间的演化服从 Schrodinger Schrodinger 方程方程6 6 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 一定态Schrodinger方程 二Hamilton算符和能量本征值方程 三求解定态问题的步骤 四定态的性质 一定态一定态SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr )(2)()()(22rVtftfdtdri 如今让我们讨论如今让我们讨论 有外场情况下有外场情况下的定态的定态 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：E )()(2)()(22rErVtEftfdtdi 令：令：/)(iEtetf Etiertr )(),(于是：于是：V(r)V(r)与与t t无关时，可以无关时，可以分别变量分别变量代代入入)(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi )()(tfr 两两边边同同除除等式两边是相互等式两边是相互无关的物理量，无关的物理量，故应等于与故应等于与 t,t,r r 无关的常数无关的常数 该方程称为定态该方程称为定态 Schrodinger Schrodinger 方程，方程，(r)(r)也也可称为定态波函数，或可看作是可称为定态波函数，或可看作是t=0t=0时辰时辰(r,0)(r,0)的定的定态波函数。态波函数。此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角频的关系是正弦型的，其角频率率=2E/h=2E/h。由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知：E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的形所描写的形状时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的状时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种形状称为定态，波函数值，所以这种形状称为定态，波函数(r,t)(r,t)称为称为定态波函数。定态波函数。Etiertr )(),()()(222rErV 空间波函数空间波函数(r)(r)可由方程可由方程和详细问题和详细问题(r)(r)应满足的边境条件得出。应满足的边境条件得出。二二HamiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程1 1Hamilton Hamilton 算符算符),()(2),(22trrVtrti 算算符符。亦亦称称量量，称称为为与与经经典典力力学学相相同同，HamiltonHamiltonH )()(2)()(22rErVtEftfdtdi EVEti22 二方程的特点：都是以一个算符作用于二方程的特点：都是以一个算符作用于(r,t)(r,t)等于等于E(r,t)E(r,t)。所以这两个算符是完全相当的作用于波函数上的效果一样。所以这两个算符是完全相当的作用于波函数上的效果一样。HVti222 是相当的。这是相当的。这两个算符都称两个算符都称为能量算符。为能量算符。也可看出，作用于任一波函数也可看出，作用于任一波函数上的二算符上的二算符)(r ，得得：注注意意到到/expiEt /expiEt 再由再由 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：2 2能量本征值方程能量本征值方程 1 1一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程类似。这与数学物理方法中的本征值方程类似。数学物理方法中：微分方程数学物理方法中：微分方程 +边境条件构本钱征值问题；边境条件构本钱征值问题；EH EV 22 将将改写成改写成 2 2量子力学中：波函数要满足三个规范条件，对应数学物量子力学中：波函数要满足三个规范条件，对应数学物理方法中的边境条件，称为波函数的自然边境条件。理方法中的边境条件，称为波函数的自然边境条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量常量 E E 称为算符称为算符 H H 的本征值；的本征值；称为算符称为算符 H H 的本征函的本征函数。数。3 3由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的形状简称能量本征态时，粒子能量有确定的数值，这个数的形状简称能量本征态时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。三求解定态问题的步骤三求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系能够有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系能够有的定态波函数(r,t)(r,t)和在这些态中的能量和在这些态中的能量 E E。其详细步骤如下：。其详细步骤如下：)()(222rErV ,2121nnEEE ，本本征征函函数数本本征征值值：/exp)(),(tiErtrnnn 1|)(|2 drCnn1 1列出定态列出定态 SchrodingerSchrodinger方程方程2 2根据波函数三个规范根据波函数三个规范条件求解能量条件求解能量 E E 的的本征值问题，得：本征值问题，得：3 3写出定态波函数即得写出定态波函数即得到对应第到对应第 n n 个本征值个本征值 En En 的定态波函数的定态波函数4 4经过归一化确定归一化系数经过归一化确定归一化系数 CnCn四定态的性质四定态的性质2 2几率流密度与时间无关几率流密度与时间无关(,)nnnwr t 2),(nnnnnitrJ 1 1粒子在空间几率密度与时间无关粒子在空间几率密度与时间无关)/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )()(rrnn )/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn )(rJn 综上所述，当综上所述，当满足以下三个等价条件中的任何一个时，满足以下三个等价条件中的任何一个时，就是定态波函数：就是定态波函数：1.1.描画的形状其能量有确定的值；描画的形状其能量有确定的值；2.2.满足定态满足定态SchrodingerSchrodinger方程；方程；3.|2 3.|2 与与 t t无关。无关。dtrFtrFnn),(),(3 3任何不显含任何不显含t t的力学量平均值与的力学量平均值与t t无关无关 dtiErFtiErnnnn)/exp()()/exp()(drFrnn)()(作作 业业 周世勋周世勋 2.2 2.2 题题 曾谨言曾谨言 2.12.1、2.3 2.3 题题一维定态问题 在继续论述量子力学根本原理之前，先用在继续论述量子力学根本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方程方程来处置一类简单的问题来处置一类简单的问题一维定态问题。其益处有四：一维定态问题。其益处有四：1 1有助于详细了解已学过的根本原理；有助于详细了解已学过的根本原理；2 2有助于进一步阐明其他根本原理；有助于进一步阐明其他根本原理；3 3处置一维问题，数学简单，从而能对结果进展细致讨论，处置一维问题，数学简单，从而能对结果进展细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；4 4一维问题还是处置各种复杂问题的根底。一维问题还是处置各种复杂问题的根底。7 7 一维无限深势阱一维无限深势阱 8 8 线性谐振子线性谐振子9 9 一维势散射问题一维势散射问题7 7 一维无限深势阱一维无限深势阱 一一维运动一一维运动 二一维无限深势阱二一维无限深势阱 三宇称三宇称 四讨论四讨论一一 一维运动一维运动所谓一维运动所谓一维运动就是指在某一就是指在某一方向上的运动。方向上的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。假设势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。假设势可写成：V(x,y,z)=V1(x)+V2(y)+V3(z)V(x,y,z)=V1(x)+V2(y)+V3(z)方式，那么方式，那么 S-S-方程可在直角坐标系中分别变量。方程可在直角坐标系中分别变量。令令 (x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)E=Ex+Ey+Ez E=Ex+Ey+Ez于是于是S-S-方程化为三个常微分方程：方程化为三个常微分方程：当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z)V(x,y,z)中运动时，其中运动时，其 Schrodinger Schrodinger 方程为：方程为：),(),(),(222zyxEzyxzyxVH )()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx ),(),(),(222zyxEzyxzyxV),()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ ),(),()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxd EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21322222221222 )()()(),(321zVyVxVzyxV 设设：)()()(),zZyYxXzyx（等等式式两两边边除除以以)()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 其中其中zyxEEEE )()()(),(zZyYxX