立体几何地动态问题翻折问题

立体几何的动态问题之二翻折问题立体几何动态问题的基本类型:点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等、面动问题（翻折问题）：（一）学生用草稿纸演示翻折过程 ：（二）翻折问题的一线五结论一线：垂直于折痕的线即 DF AE. 五结论：1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变；2）DHF是二面角D -H-F的平面角;3）D在底面上的投影一定射线 DF 上;4）点D的轨迹是以H为圆心，DH为半径的圆;5）面ADE绕AE翻折形成两个同底的圆锥.二、翻折问题题目呈现：（一）翻折过程中的范围与最值问题1、（ 2016年联考试题）平面四边形 ABCD中，AD=AB= . 2，CD=CB= 5 ,且AD AB，现将ABD沿对角线BD翻折成 ABD，则在 ABD折起至转到平面 BCD的过程中，直线AC与平面BCD所成最大角的正切值为运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan ACB解：由题意知点 A运动的轨迹是以E为圆心，EA为半径的圆，当点 A【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误1进行分析，找出错误的原因。22、2015年10月浙江省学业水平考试 18 ).如图，在菱形 ABCD中，/ BAD=60 ，线段AD , BD的中点分别为E, F。现将AABD沿对角线BD翻折，则异面直线 BE与CF所成角的取值范围是2 叫冷)B.(6,2 C. (3,2D. (3,3)分析：这是一道非常经典的学考试题，多，很好的考查了空间立体几何线线角C本题的解法非常的求法。方法一：特殊值法(可过F作FH平行BE,找两个极端情形) 方法二：定义法：利用余弦定理:cos FHCFH 2 FC2 CH 22FH gC5 4 CH 2，有 3 CH434214cos CFH1,1异面直线BE与CF所成角的取值范围是（3,2方法三：向量基底法：uju uuu 1 uur uur uuu 1 uun uuu 1 uuu ulu iur BEg=C -(BA BD)gFC - BAgFC -(BF FA)g=Cuuu uuur 1 uuu uur 11 cos BE, FC cos FC, FA,-2 2 2方法四：建系:3、（2015 年浙江理8）如图，已知 ABC , 线CD将 ACD折成 ACD，所成二面角A 则 （B ）A. ADB B. ADB C. ACBD是AB的中点，沿直方法一：特殊值方法二：定义法作出二面角，在进行比较。方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题4、（ 14年1月浙江省学业学考试题） 如图在RtABC中，AC = 1，BC=x，D是斜边AB的中点，将 BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 CB丄AD，则x的取值范围是（A ）DAA. (0，. 3 B. -y，2c .，2：3 D . (2，4方法一：利用特殊确定极端值方法二：在DAB中利用余弦定理转化为BDA的函数求解。方法三：取BC的中点E连接EA,ED在DEA中利用两边之和大于第三边求解。（二）翻折之后的求值问题5、（2016届丽水一模13）已知正方形 ABCD，E是边AB的中点，将 ADE沿DE折起至ADE，如图所示，若 A CD为正三角形，则 ED与平面A DC所成角的余弦值是6、（ 2016届温州一模 8）如图，在矩形 ABCD中，AB 2，AD 4，点E在线段AD上且AE3，现分别沿BE,CE将 ABE, DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D EC B的余弦值为 （D ）AC与直线BD垂直.AB与直线CD垂直.AD与直线BC垂直.A三、课后练习1、（2012年浙江10 ）已知矩形 ABCD , AB=1 , BC= .2。将 ABD沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（B ）A. 存在某个位置，使得直线B. 存在某个位置，使得直线C. 存在某个位置，使得直线D.对任意位置，三对直线AC与BD”，“ AB与CD ”，“ AD与BC ”均不垂直2（ 2009年浙江17）如图，在长方形 ABCD中，AB=2,BC=1,E 为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将 VAFD沿AF折起，使平面 ABD丄平面ABC,在平面ABD内1过点D作DK丄AB,K为垂足，设 AK=t,则t的取值范围是_（一，1）.23、（16年浙江六校联考） 如图，在边长为2的正方形 ABCD中，E为正方形边上的动点，； C 现将ADE所在平面沿AE折起，使点D在平面ABC上的射/影H在直线AE上，当E从点D运动到C，再从C运动到B，/AB则点H所形成轨迹的长度为B4、（ 2010年浙江19改编）如图，在矩形 ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE EB AF 2 FD 4 沿直线EF将 AEF翻3折成 A EF ,使平面AEF 平面BEF 点M , N分别在线段FD, BC上，若沿直线 MN将四边形MNCD向上翻折，使 C与A重合，则线段FM的长为5、（16届金华十校一模 17 ）如图，在矩形 ABCD中，已知 AB=2 , AD =4，点E、F分别 在AD、BC上，且AE=1 , BF=3，将四边形 AEFB沿EF折起，使点 B在平面CDEF上的 射影H在直线DE上.（I ）求证：CD丄BE;（n ）求线段BH的长度；(川)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值D17.解：（1）由于 BH 平面 CDEF , BH CD，又由于 CD DE , BH DE H , CD 平面DBE , CD BE .法一：（2）设BH h , EH k，过F作FG垂直ED于点G，因为线段BE , BF在 翻折过程中长度不变，根据勾股定理：BE2 BH 2 EH 25 h2 k2h 2222222222，可解得，BF2 BH 2 FH 2 BH 2 FG2 GH 29 22 h2 （2 k）2k 1线段BH的长度为2.(2)延长BA交EF于点M，因为AE : BF MA : MB 1:3，点A到平面EFCD的12距离为点B到平面EFCD距离的，点A到平面EFCD的距离为 ，而AF 13，直33F线AF与平面EFCD所成角的正弦值为 一.39法二：(2)如图，过点E作ER / DC，过点E作ES平面EFCD，分别以ER、ED、ES为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点B(0, y, z)(y 0,z 0),BF22 zy4 (y2)25,2 z解得911 于是 B(0,1,2)2,所以线段BH的长度为2 .(3)从而FB(2,1,2)，故 EA 1 FB3(21 2-87 23,3 fa fe ea (丽)，设平面EFCD的一个法向量为n (0,0,1)设直线AF与平面EFCD所成角的大小为，frfcFAn39FA2 13n则sin立体几何的动态问题之三最值、范围问题1、(2006年浙江理14 )正四面体 ABCD的棱长为1，棱AB / 面a,则正四面体上的所有点在平面a内的射影构成的图形面积的取 值范围是2、(2008年浙江理10 )如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足， 若点P在平面a内运动使得 ABP的面积为定值，则动点 P的轨迹是()(A )圆(B)椭圆(C) 一条直线 (D)两条平行直线3、（15届高考模拟卷文）如图，已知球 0是棱长为1的正方体ABCD的内切球，则平面 ACD1截球0的截面面积为 4、（ 2014年金华高二十校联考文10 ）圆柱的轴截面 ABCD是边长为2的C正方形，M为正方形ABCD对角线的交点，动点 P在圆柱下底面内（包括圆周），若直线BM与直线MP所成角为45。，则点P形成的轨迹为（A 椭圆的一部分B.抛物线的一部分C.双曲线的一部分D.圆的一部分5 （2014 浙江卷理科17 ）某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点 A处进行射击训练.已A .直线B .抛物线C.椭圆D .双曲线的一支知点A到墙面的距离为 AB，某目标点P沿墙面上的射线 CM移动，此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点 A观察点P的仰角B的大小若 AB = 15 m , AC = 25 m，/BCM = 30则tan B的最大值是 （仰角B为直线AP与平面ABC所成角）6 （2015 浙江卷8）如图11-10，斜线段 AB与平面a所成的角为60 ,B为斜足，平面a上的动点P满足/ PAB= 30 ，则点P的轨迹式题 （1 ）如图，平面a的斜线AB交a于B点，且与a所成的角为0,n平面a内有一动点C满足/BAC = 一，若动点C的轨迹为椭圆，贝U 0的取6（2）在正四面体 ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点， 若直线MN与BD所成的角为a，则cos a的取值范围是7、（2014年7月浙江学考第25题）在棱长为1的正方体ABCD-A .BQ.D,中，E、F 分别是棱 AQ,、C.D,的中 点，N为线段B,C的中点，若P、 M分别为D,B、EF的动 点，则PM+PN的最小值为8、（16届嘉兴一模文15 ）边长为1的正方体ABCD A1 B1C1 D1将其对角线 AC1与平面 垂直，则正方体 ABCDA1B1C1D1在平面上的投影面积为9、（16届高考模拟卷理）正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面a内，则正方体在平面a内的投影构成的图形面积的取值范围是 10、（ 16届高考模拟卷理）将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动,则a的最大值为（）2 262 362 32 2322.3A B C.D 663311、（ 16届宁波一模理14 ）在 ABC中，BAC 10 , ACB 30 ，将直线BC绕AC旋转得到BQ，直线AC绕AB旋转得到AC1,则在所有旋转过程中， 直线B1C与直线AG所成角的取值范围为.12、（16届金华十校一模理14 ）在四面体 ABCD中，已知 AD丄BC, AD =6 , BC=2，且A = A =2，贝U V四面体ABCD的最大值为BD CDA. 6B.2 11C.2 15D.813、（15年上海高考题改编） 在四面体ABCD中，已知AD BC , AD 6,BC 2 ,AB BD AC CD t(t 7,)，则V四面体abcd最大值的取值范围是B. 3,C. 2.2,D. 2,【答案】B.【解析】试题分析：设ADC，设AB 2 ,则由题意AD BD1,在空间图形中，设AB t，在A CB中,cos ADB AD2 DB2 AB212 12在空间图形中,2A D DB过 A作AN DC ,过B作BMDC垂足分别为N，过 N 作 NP/ /MB，连结 AP，二 NP DC ,则 ANP就是二面角A CD B的平面角在 Rt AND 中，DNA D cos A DC同理，BM PN sin,DM cos ,显然BP 面ANP，故BPAP，在 Rt A BP 中，AP2AB2 BP2 t2在 ANP中,2 2 2AN NP A P cos cos A NP2A N NPANPcos ,ANA DsinA DC sin ,故BPMN2cos ,(2cos)2 t24cos2.2.2八2, 2 、sinsin(t4cos )2si nsin