多元函数微分学习题课

2021/8/141 多元函数微分学的知识要点多元函数微分学的知识要点首页 上页 下页 返回 结束 多元函数微分学的例题选讲多元函数微分学的例题选讲2021/8/142首页 上页 下页 返回 结束 1 1、了解空间直角坐标系，熟悉常见空间曲面的方了解空间直角坐标系，熟悉常见空间曲面的方程和程和图形图形 之间，),(1111zyxM),(2222zyxM空间中两点的距离公式：21MM212212212)()()(zzyyxx2021/8/143首页 上页 下页 返回 结束 本章的概念都是先从二元函数给出，然后进行推广所以一定要熟悉常见空间曲面的方程和图形例如，.0DCzByAx 表示以定点为球心，R为半径的球面),(0000zyxM2202020)()()(Rzzyyxx表示空间中的平面（DCBA,全为常数，且 CBA,不全为零）xyzoM0M2021/8/144首页 上页 下页 返回 结束 222Ryx 表示以xOy面上的圆222Ryx为母线，以平行于z轴的直线为准线的圆柱面xyzoo222Ryx2021/8/145首页 上页 下页 返回 结束 表示旋转抛物面，22yxz 而222yxz 表示圆锥面.xyzo22yxzoxzy222yxz2021/8/146首页 上页 下页 返回 结束 2 2、理解多元函数极限、连续的概念，了解二元理解多元函数极限、连续的概念，了解二元 理解好多元函数极限与一元函数极限的区别，会以二元函数为切入点，理解好多元函数概念，会 连续函数在有界闭区域上的性质连续函数在有界闭区域上的性质 求其定义域 证明二元函数在某点极限不存在 A是一个常数 设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个去心邻域 有定义)(00PU如果对任意给定的正数，总存在正数，使得当 200)()(0yyxx 时，2021/8/147首页 上页 下页 返回 结束 都有，Ayxf),(则称常数A是二元函数z=f(x,y)当),(),(000yxPyxP 时的极限，记作 Ayxfyyxx),(lim00如果我们发现点P(x,y)以不同方式趋近于P0(x0,y0)时，函数值趋于不同的值，那么就可以断定这个函数当),(),(00yxyx时极限不存在 我们经常利用这一点来证明二元函数在某点处极限不存在 2021/8/148首页 上页 下页 返回 结束 以计算一些简单的二元函数极限多元函数的连续也可以用“连续极限值=函数利用以前学过的求极限方法，通过变量替换，可值”来理解 3 3、理解多元函数偏导数的概念，会求多元函数的、理解多元函数偏导数的概念，会求多元函数的偏导数和高阶偏导数偏导数和高阶偏导数固定y=y0，当x在x0有增量x时，相应地函数有增量设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义 2021/8/149首页 上页 下页 返回 结束，),(),(0000yxfyxxf 如果xyxfyxxfx),(),(lim00000 存在，则称此极限为，记为，00yyxxxz，00yyxxxf 或，00yyxxxz).,(00yxfx，类似可定义 记为，00yyxxyz，00yyxxyf 或，00yyxxyz).,(00yxfy2021/8/1410首页 上页 下页 返回 结束 多元函数求偏导数的实质仍是一元函数求导 例如求z=f(x,y)对某一个自变量的偏导数时，只需把另一个自变量看成常数，这就是一元函数的求导问题，并没有引进新的方法也就是说，求看作常数，对x求导即可；xz 时，只要把 y作常数，对y求导即可 同理，求yz 时，只要把 x看 4 4、理解全微分的概念，会求多元函数的全微分、理解全微分的概念，会求多元函数的全微分设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域有定义，2021/8/1411首页 上页 下页 返回 结束 若z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增量z可以表示为，)(oyBxAz其中A，B是不依赖于x，y，仅与x0，y0有关的常 数，则称则称，22)()(yx，且称且称Ax+By为为，记作dz，即.yBxAdz此外，要理解全微分、偏导数、连续之间的关系 以二元函数z=f(x,y)为例：两个偏导数连续 可微 两个偏导数存在 连续 2021/8/1412首页 上页 下页 返回 结束 5 5、掌握多元复合函数的微分法、掌握多元复合函数的微分法掌握多元复合函数的求导法关键在于对复合函数多个变量之间的关系进行正确的分析，分清哪一个是自变量，哪一个是中间变量，它们之间具有什么关系避免求导步骤的遗漏或增添 21,ff 抽象的多元复合函数求二阶偏导数是本章的难点2021/8/1413首页 上页 下页 返回 结束 6 6、熟练掌握隐函数的微分法、熟练掌握隐函数的微分法偏导数，0),(00yxF.0),(00yxFy则方程F(x,y)=0 在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续导数的函数y=f(x)，它满足y0=f(x0)，并且.yxFFdxdy设函数F(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有连续的本章的两个定理将求隐函数所确定函数的导数或偏导数公式化2021/8/1414首页 上页 下页 返回 结束 的偏导数，F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续偏导数的函数z=f(x,y)，它满足z0=f(x0,y0)，且,0),(000zyxF.0),(000zyxFz 则方程,zxFFxz.zyFFyz设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续 6 6、熟练掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法、熟练掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法多元函数极值 无条件极值 条件极值 2021/8/1415首页 上页 下页 返回 结束 具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值求法：第一步 解方程组，0),(yxfx.0),(yxfy求得一切实数解，即可求出一切驻点第二步 对于每个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A，B和C第三步 定出的符号，按定理6-9的结论ACB 2判定f(x0,y0)是不是极值，是极大值还是极小值 2021/8/1416首页 上页 下页 返回 结束,arcsinxdxxn拉格朗日乘数法具体求解步骤如下：首先，构造拉格朗日函数 接着，求拉格朗日函数关于自变量一阶偏导数，并使之为零，然后与约束条件联立成方程组解出 最后，判别求出的可疑极值点是否为真的极值点，通常由实际问题的具体意义来判定 可疑极值点 2021/8/1417首页 上页 下页 返回 结束 在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等 距离的点.设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB|,即222222)2()05()03()7()01()04(zz解得，914z即所求点为.)914,0,0(M2021/8/1418首页 上页 下页 返回 结束 求222222001 cos()lim.()x yxyxyxye22)()cos(1lim222200yxyxeyxyx2200222200lim)cos(1limyxyxyxeyxyx1)cos(1lim2222022yxyxyx22220)(21lim22yxyxyx.212021/8/1419首页 上页 下页 返回 结束 证明),(yxf)0,0(),(,22yxyxyx)0,0(),(,0yx在(0,0)连续.因为220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0,0(f由夹逼准则得所以f(x,y)在(0,0)连续.2021/8/1420首页 上页 下页 返回 结束 求 设，zyxu)(.,zuyuxuyyxzxuz1)(1，1)(zyxyz)()(21yxyxzyuz，12)(zyxyxzzu).ln()(yxyxz2021/8/1421首页 上页 下页 返回 结束 求函数 12323xyxyyxz的二阶偏导数，22xz，22yz，yxz2.2xyzxz，yyyx32223yz.6223xxyyx22xz，26xy22yz，xyx1223yxz2，16622yyxxyz2.16622yyx2021/8/1422首页 上页 下页 返回 结束 设二元函数 求全微分 dz.，)arctan(xyz 因为 yxyxz2)(11，2)(1xyyxxyyz2)(11，2)(1xyx由全微分定义得dyyzdxxzdz.)(1)(122dyxyxdxxyy2021/8/1423首页 上页 下页 返回 结束 设求，uvzarcsin，yxeu，2yv xz及.yz如图z u x v y xuuzxzyeuvv2)(1yeyxey242221dydvvzyuuzyzyxeuvv2)(1yuvu2)(12yyeyxxyey2421)2(2021/8/1424首页 上页 下页 返回 结束 设如图，求全导数,sin),(tuvtvufz,teu,costv.dtdzz u v t 则tfdtdvvfdtduufdtdzttuvetcos)sin(tetttcos)sin(cos2021/8/1425首页 上页 下页 返回 结束 令设),(yxxyfz其中f 可微，求 xz及.yz,xyu,yxv则，),(vufz 于是 xvvfxuufxz,21fyfyvvfyuufyz.21fxf2021/8/1426首页 上页 下页 返回 结束 设 设02zxyeze确定了函数),(yxfz 求 xz及.yz),(zyxF,2zxyeze则zxFFxzzxyeye2,2zxyeyezyFFyzzxyexe2.2zxyexe2021/8/1427首页 上页 下页 返回 结束 求函数xyyxyxf3),(33的极值解方程组,033),(,033),(22xyyxfyxyxfyx求得驻点为(0,0)、(1,1)再求出二阶偏导数：，xyxfxx6),(，3),(yxfxy.6),(yyxfyy 在点(0,0)处，A=0，B=3，C=0，B2AC=90，2021/8/1428首页 上页 下页 返回 结束 所以函数在(0,0)处无极值 在点(1,1)处，A=6，B=3，C=6，B2AC=270，所以函数在(1,1)处有极小值f(1,1)=1 某企业在雇用x名技术工人、y名非技术工人时，产品的产量为：.312822yxyxQ若企业只能雇用230人，那么该雇用多少技术工人、多少非技术工人才能使产量Q最大？构造拉格朗日函数为 )230(3128),(22yxyxyxyxF2021/8/1429首页 上页 下页 返回 结束 令 230061201216yxyxFyxFyx解得 x=90，y=140由实际情况知所求最大值一定存在，且只有一个驻点(90,140)，所以该点即为最大值点，即x=90，y=140时，产量最大 个人观点供参考，欢迎讨论部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！