第12讲 和倍与差倍问题

第 12 讲 和倍与差倍问题种花和种瓜 苹果和梨姐姐王小华， 一篮苹果一篮梨，弟弟王小瓜， 两篮相差二十一.姐姐小华栽花， 四篮苹果换篮梨，弟弟小瓜种瓜. 数量才是一样的.小华每栽三棵花， 聪明一休请算算，小瓜就种一棵瓜， 多少苹果多少梨？ 两人共种八十八.请你算算：小华栽了多少花？小瓜种了多少瓜？同学们，你们可知这两首绕口令似的儿歌，分别包含着什么数学 问题吗？如略去其趣味化的情节，就分别改编为“和倍”与“差倍” 问题的应用题了.小华和小瓜分别栽花和种瓜，一共88 棵，小华栽花的棵数是小 瓜种瓜棵数的3 倍.小华栽了多少花？小瓜种了多少瓜？一篮苹果比一篮梨少21 个，梨的数量是苹果的4倍.苹果和梨各 多少个？类似问题 12.1，已知几个数的和，及相互间的倍数关系，分别求 这几个数的问题称为和倍问题.类似问题 12.2，已知几个数的差，及相互间的倍数关系.分别求这几个数的问题称为差倍问题.解答基本的（只含两数间关系）和倍、差倍问题，先确定其中一数 （通常定较小数比较方便）作为标准数（1倍数），再找出两数的和（或差）， 及与其相对应的倍数关系，这样就可以求出这个标准数，随之即可求 出另一数（较大数）.对应关系：较小数？ 1倍，较大数？几倍，（和） （和）两数倍数（差） （差）数量关系式较小数X倍数=较大数,或者数量;聖:;较小数二较大数问题12.1、问题12.2 的分析与题解如下 问题 12.1对应关系：种瓜的棵数？1 倍栽花的棵数？3 倍棵数和 88 棵（31）倍解 88m（3 + l）=22（棵），22x3=66（棵）.答：小华栽花66棵，小瓜种瓜22棵.问题 12.2对应关系：苹果的数量？1 倍梨的数量？4 倍数量差 21 个（41）倍解 21m（41）=7（个），7x4= 28（个）.答：一篮苹果7个，一篮梨28个.和倍、差倍问题，及小学数学课本中的几倍求和、几倍求差问题， 是可以相互沟通的.同学们可以试举一例，找一找它们之间的区别和 联系.开各版本“数学竞赛题集”，和倍、差倍问题类，实在变化多端 令人眼花瞭乱.其实，都是编题者从此类问题基本数量关系出发，综 合运用不同的数学知识点，经情节性、扩展性或逆向性变换精心编制 的.无论数学题的复杂程度如何，分析数量关系时，我们可以运用“变 换”与“对应”的数学思想，善于抓住题中几个数的“和”或“差”，及其对 应的倍数关系的直接或间接表述的语句，且借助于线段分析图或对应 关系式，便可剥“伪”装，识“基本”，还其庐山真面目，解题也将化难 为易了.1. 变换表述语甲数是乙数的10 倍，两数相差72，求这两数.大数比小数多 72，把大数个位上的 0 去掉，则与小数同样多， 大、小数各是多少？一个数的小数点向左移动一位，比原数小 72，原数是多少？提示：仔细观察各题“差”与“倍”的表述是怎样变换的？实质 一样吗？你可根据“相差数”的概念，数位上的数的意义及小数点移 动规律的有关知识，认识该组题的联系与区别.请自己解题.2. 隐蔽性表述两数相除，商 3 余 4；被除数、除数、商及余数的和是 43.求被 除数和除数.提示：根据被除数+除数=四数之和一（商+余数）这一关系式，你知道：被除数与除数的和是多少？两数间的倍数关系是多少？在一个等腰三角形中，顶角的度数是一个底角的2 倍，顶角和底 角各多少度？提示：求顶角和底角的度数，那它们的度数和是多少？根据是什 么？3. 增加情节大、小两数之差为羽，大数的等于小数的、求这两数.一个体育队，男队员的与女队员的士相等，男队员比女队员多45人.男、女队员各多少人？分析 该组题间的联系是什么？仅增加情节，变文字题为应用题.从线段图1.2 - 1可以看出：把女队员人数的占看作1份（标准数）， 那么女队员人数就是2份，男队员人数就是3份.进而可知，男 队员人数比女队员多（32）份.图 12-1解 45-（32）=45（人），45x2=90（人）,45x3 = 135（人）. 答：男队员有135人，女队员有90人.4. 变换情节 一块长方形的地，长是宽的2倍，周长是108米，它的面积是多 少平方米？两个物体的平均重量是 27 千克，甲物体重量是乙物体重量的 2 倍，两物体各重多少千克？修一条 1.08 千米长的隧道，甲、乙两队同时从两头向中间开凿，20 天开通，甲队每天凿进的米数是乙队的2 倍，甲、乙两队每天各 开凿多少米？观察与思考： 以上三道题的数量关系是否一样？是一样的，仅“和”间接告诉 而已.两量之和均为“54”.你知道是怎样分别求得的吗？以上三道题的变化是什么？数量关系一致，只是题目内容运用的数学知识点不同.你能运用你所学的有关数学内容，自编几道和倍、差倍数学题 吗？问题11.10、 11.11、 11. 12留给同学们自己去解答.5. 扩展情节问题 12.13 甲水池有水100 立方米，乙水池有水20立方米.现在以每 分钟 15 立方米的速度，把甲池的水抽入乙水池，使乙水池水的体积 是甲池水的2 倍，需抽多少分钟？引导你思考：说出该题综合算式每步的意义：(100+200)(2+1)x220三15(2) 根据综合算式的前三步，你知道该题的主要情节是什么？现 叙述如下：甲、乙两池水共 120 立方米.乙水池水的体积是甲池水的 2 倍， 乙池有水多少立方米？(3) 现在你明白了该题的情节是怎样扩展的吗？解答复杂的数学问题，关键应抓住基本情节 .在此基础上，理清其情节的发展与变化.这样，你就不会在复杂问题面前束手无策了.6. 增加数量关系今年爸爸的年龄是小强的5 倍，爷爷的年龄比小强多9 倍，比爸爸大 35 岁.小强今年几岁？分析 该题虽然含三数间的数量关系，但仍可以小强的年龄为1 倍数. 题中已告诉两数间相差数，关键是找出与其对应的倍数差：爸爸的年 龄是小强的5 倍，爷爷的年龄是小强的(91)倍.那么可知，爷爷的年 龄比爸爸多(91)5倍.请你列综合算式解答.三个同学共挖了一条长20 米的排水沟.乙同学再多挖1 米，将是 甲同学挖的长度的2 倍，甲同学比丙同学少挖5米，三个同学各挖几 米？分析 据题意，乙、丙同学挖渠沟的米数都与甲有直接的数量关 系，所以应以甲挖的米数作 1 倍数.那么，乙挖的米数加上 1 米就是 甲的 2 倍；同理，丙挖的米数减去 5 米就与甲同样多.经转化，你能 填写如下对应关系吗？甲挖的米数？()倍，乙挖的米数？()倍,丙挖的米数？()倍，三量之和()一一倍.)现在，你列式并解答该题没问题了吧？请试一试！同学们，学会掌握“变换”与“对应”的数学思维方法，可以提 高你们对数学问题的观察、分析能力.如能灵活选择，或综合运用其 它的数学思维方法，那么，你一定会在浩渺繁纷的数学题海中，尽情 地遨游.练 习 121.10 元一张与 5 元一张的钱共 175 元，10 元的张数是 5 元张数 的 3 倍 . 求两种票面额的钱各有多少元？2. 有两根绳子，长的比短的长1 倍，现在把每根绳子都剪掉6分 米，那长的一根就比短的一根长两倍 .问这两根绳子原来的长各是多 少？3. 机床厂原有专用机床 108 台，普通机床 60 台，如果把专用机 床数调整到普通机床的5 倍，应将多少台普通机床改为专用机床？4. 甲、乙两车间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调 24 人 到乙车间.这时乙车间人数是甲车间的 4 倍.甲、乙两个车间原来各有 多少人？5. 水果商店有5 筐等重量的苹果，如果从每筐里取出30 千克，5 筐里剩下的苹果重量正好等于原来两筐苹果的重量 .原来每个筐里苹 果重多少千克？6. 甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2 倍多4，乙数是丙 数的 3 倍少 2，求三数.