矿大高数81多元函数的基本概念ppt课件

设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点，是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，（1邻域邻域0P),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用（2区域区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE.EE 的的内内点点属属于于EP.为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo0|),(yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则则称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切即即，不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE 41|),(22 yxyx（3聚点聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点.1 内点一定是聚点；内点一定是聚点；2 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10|),(22 yxyx例例(0,0)既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点3 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10|),(22 yxyx例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1|),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4n维空间维空间 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称 n元数组元数组),(21nxxx的全体为的全体为 n维空间，而每个维空间，而每个n元元数组数组),(21nxxx称为称为 n维空间中的一个点，维空间中的一个点，数数ix称为该点的第称为该点的第 i个坐标个坐标.1 n维空间的记号为维空间的记号为;nR2 n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 3 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3,2,1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为（5二元函数的定义二元函数的定义:长方形面积长方形面积xySxyS 00yx,:上半单位球面方程上半单位球面方程221yxzxyzo),(),(122yxyxDyx 设设D是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量，变量z按照一定的法则总有确定的值按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称和它对应，则称z是变量是变量yx,的二元函数，记为的二元函数，记为),(yxfz （或记为（或记为)(Pfz ）.当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数:定义定义;会会求求函函数数的的定定义义域域xyz 0 xyD:xyoyxz111 yxD:xy例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.的的图图形形二二元元函函数数),()(yxfz 6xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:图形图形)(221yxzxyzo221yxzxyz二、多元函数的极限:一一元元函函数数Axfxx)(lim0语言）语言）(为为一一常常数数，点点某某去去心心邻邻域域内内有有定定义义在在设设Axxf0)(,0 恒恒有有时时使使当当总总,0,00 xx.)(Axf的的极极限限，当当叫叫做做则则称称0)(xxxfA:类类似似),(yxfz 对对,),(,),(),(AyxfyxPyxP点点时时如如果果当当000为为极极限限以以时时则则称称当当Ayxfyyxx),(,00),(yxfz ),(,000yxPD 20200)()(|0yyxxPP|),(|Ayxf),(yxfz 0 xx 0yy Ayxfyyxx),(lim00 设函数设函数的定义域为的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式的一切点的一切点 P(x,y)P(x,y)，都有，都有成立，则称成立，则称A A为函数为函数当当，时的极限，记为时的极限，记为 APfPP)(lim0或或:多多元元函函数数的的极极限限定义定义1 1)(语言语言 说明：说明：（1定义中定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxxAPfPPAPfPP)(,)(lim)(时时以以任任意意方方式式趋趋于于0030P例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx012222yxyxsin)(22221sinyxyx 22yx ,0 ,取取当当 时，时，22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立 012222yxyxsin)(要使要使,22yx只要只要;)(法求二元函数的极限法求二元函数的极限用一元函数求极限的方用一元函数求极限的方411300 xyxyyxlim例例xyxyxyyx)(lim11002yxxyxx21140)(lim例例yxxxyxx)(lim110e例例5 5 求极求极限限 .)sin(lim22200yxyxyx解解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 APfAPfPPPP)(lim,)(,)(005不不能能断断定定时时只只取取某某些些特特殊殊路路径径趋趋于于如如果果点点:由此可知由此可知.,则则函函数数极极限限不不存存在在若若存存在在两两路路径径极极限限不不同同在的方法在的方法判别多元函数极限不存判别多元函数极限不存.lim不存在不存在证明证明例例2222006yxyxyx000yoxyxP此时此时轴趋于轴趋于沿沿当点当点解解),(),(:222200yxyxyxlim220 xxx lim1000 xoyyxP此此时时轴轴趋趋于于沿沿当当点点),(),(222200yxyxyxlim220yyylim1极限不存在极限不存在例例7 7 证明证明 不存不存在在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而不同，的不同而不同，故极限不存在故极限不存在8例例?)ln(lim是否存在是否存在yxxyxyx100:解解xxy 取取yxxyxyx)ln(lim100yxyxyx200lim xxxx320lim)(lim 320 xxx3,30,03,1.极限不存在极限不存在三、多元函数的连续性)(xfy 对对:连续连续)()(lim00 xfxfxx)()(lim00PfPfPP或或),(yxfz 对对:连续连续)()(lim00PfPfPP或或),(),(lim0000yxfyxfyyxx 设设n元元函函数数)(Pf的的定定义义域域为为点点集集0,PD是是其其聚聚点点且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 则则称称n元元函函数数)(Pf在在点点0P处处连连续续.设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.定义定义3 3:说明说明下下三三条条同同时时成成立立点点连连续续在在),(),()(0001yxPyxfz点点有有定定义义。在在),(),()0001yxPyxfz 存在存在),(lim)yxfyyxx002),(),(lim)00003yxfyxfyyxx上三条至少有一不成立上三条至少有一不成立点不连续点不连续在在),(),()2(000yxPyxfz.),(,),()(内内的的连连续续函函数数是是称称内内各各点点都都连连续续在在如如果果DyxfzDyxfz3无无裂裂缝缝的的曲曲面面。一一个个无无孔孔洞洞、二二元元连连续续函函数数的的图图形形是是)(4)(221yxz如如例例9 9讨论函数讨论函数 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解,),(),(点有定义点有定义在在00yxf),(limyxfyx00223300yxyxyxlim)sin(coslimsincos 330rrryrx0),(),(lim0000fyxfyx即连续即连续例例9 9 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2介值定理介值定理 多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域)cos(1xyz如如1322yxxyz6219P习题7),5()3()2(6,)(4()2()1(52、并作图）、，