15平面直角坐标系中的距离公式精编版

1.5 平面直角坐标系中的距离公式 第1课时 两点间的距离公式 在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式；在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式；如果把这个问题拓展到平面直角坐标系内又如何来如果把这个问题拓展到平面直角坐标系内又如何来求两点间的距离呢？求两点间的距离呢？xAA0ABxB-xAxBB(x(x1 1,y,y2 2)1.1.掌握两点间距离公式的推导过程掌握两点间距离公式的推导过程.（重点）（重点）2.2.会利用两点间的距离公式解决简单的几何问题会利用两点间的距离公式解决简单的几何问题.（难点）（难点）探究点探究点 两点间的距离公式两点间的距离公式 思考：思考：A A（-2-2，0 0），），B B（3 3，0 0）两点间的距离是多）两点间的距离是多少？我们能得到什么结论？少？我们能得到什么结论？y 3 2 1 如图，如图，A,BA,B两点间的距两点间的距离为离为5 5 B 0 1 2 3 A A-2-1-1-2 x 结论：结论：y|x2 x1|P1(x1,y)P2(x2,y)|x2 x1|P1(x1,0)O P2(x2,0)x(x2?x1)?x2?x1当当y1=y2时时,|PP1 2|?2思考：思考：A A（0 0，2 2），），B B（0 0，-2-2）两点间的距离是）两点间的距离是多少？我们能得到什么结论？多少？我们能得到什么结论？y 3 2 1-2-1-1-2 B A 如图，如图，A,BA,B两点间的距两点间的距离为离为4 4 2 3 0 1 x 结论：结论：y|y2 y1|P1(0,y1)P1(x1,y1)|y2 y1|O x P2(0,y2)P2(x1,y2)2当当x1=x2时时,|PP1 2|?(y2?y1)?y2?y1思考：思考：已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1，y y1 1)和和P P2 2(x(x2 2，y y2 2)，如，如何求点何求点P P1 1和和P P2 2的距离的距离|P|P1 1P P2 2|？y P2(x2,y2)P1(x1,y1)O x y y2 P2(x2,y2)|P2Q|?|y2?y1|y1 P1(x1,y1)Q(x2,y1)x2 x O x1|P1Q|?|x2?x1|已知：已知：P1?x1，y1?和和P2?x2，y2?，试求：试求：P1，P2两点间的距离两点间的距离.P1P2?(x2?x1)?(y2?y1)22y P1?x1，y1?o x Q?x1，y2?当当y1=y2时，时，P1P2?|x2?x1|当当x1=x2时，时，P1P2?|y2?y1|P2?x2，y2?两点间距离公式 y y2 2)，则，则A,BA,B两点间的距离公式为两点间的距离公式为 一般地，若两点一般地，若两点A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为(x(x1 1，y y1 1)，(x(x2 2，|AB|?(x2?x1)?(y2?y1)22特别地，点特别地，点A A（x x，y y）到原点（）到原点（0 0，0 0）的距离为）的距离为|OA|?x?y22例例1 1 求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：（1 1）A (-1,0),B(2,3)直接利用公直接利用公式式 A-1)（2 2）(4,3),B (7,解解:(1)AB?2?1?3?0?222?3 2.2?2?AB?7?4?1?3?5.【变式练习】【变式练习】求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1(1）A(-3,0),B(2,0)A(-3,0),B(2,0)(2)C(2,1),D(-5,1)(2)C(2,1),D(-5,1)3(3)(3)E(,-22),3F(2,-)26答案：答案：(1(1）5 (2)7 (3)2-5 (2)7 (3)2-213),例例2.已知已知DABC的三个顶点是的三个顶点是A(-1,0),B(1,0),C(,22试判断试判断DABC的形状的形状.解：解：如图如图,因为因为|BC|=1232(1-)+()=1，223,y 13C(,)2 2|AB|=2,|AC|=23232()+()=2222 O A(-1,0)B(1,0)x 有有|AC|+|BC|=|AB|，所以所以DABC是直角三角形是直角三角形.根据边的根据边的关系判断关系判断.【变式练习】【变式练习】已知已知DABC的三个顶点是的三个顶点是A(1,2),B(3,4),C(5,0),试判断试判断DABC的形状的形状.解：解：因为因为|BC|=|AB|=|AC|=2(3-5)+(4-0)=2 5，222(1-3)+(2-4)=2 2,(1-5)+(2-0)=2 5,22 有有|AC|=|BC|,所以所以DABC是等腰三角形是等腰三角形.例例 3.3.DABC中，中，D D 是是 BCBC 边上任意一点（边上任意一点（D D 与与 B B，C C 不重合）不重合），且且|AB|=|AD|+|BD|?|DC|，22求证：求证：DABC为等腰三角形为等腰三角形.解：解：作作AO BC，垂足为，垂足为O，以，以 BC 所在直线为所在直线为x轴，轴，以以OA所在直线为所在直线为y轴，建立直角坐标系如图轴，建立直角坐标系如图.设设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).因为因为|AB|=|AD|+|BD|?|DC|,所以，由距离公式可得所以，由距离公式可得 22b+a=d+a+(d-b)(c-d),即即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).又又d-b?0,故故-b-d=c-d,即即-b=c.根据图形特点，建立适当根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标的直角坐标系，利用坐标解决有关问题，这种方法解决有关问题，这种方法叫坐标法也称为解析法叫坐标法也称为解析法.2222所以所以|AB|=|AC|,即即DABC为等腰三角形为等腰三角形.【提升总结】【提升总结】用用“坐标法坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：解决有关几何问题的基本步骤：第一步第一步:建立坐标系，建立坐标系，用坐标系表示有关的量用坐标系表示有关的量 第二步：进行第二步：进行 有关代数运算有关代数运算 第三步：把代数运算结果第三步：把代数运算结果 “翻译翻译”成几何关系成几何关系 1.1.已知点已知点A A（-2,-1-2,-1），），B B（a a，3 3）且）且AB=5AB=5，则，则a a的值的值 是（是（）C C A.1 B.-5 C.1A.1 B.-5 C.1 或或-5 D.-1-5 D.-1或或5 5 2.2.已知点已知点M M（-1,3-1,3），），N N（5,15,1），点），点P P（x x，y y）到）到M,N M,N 的距离相等，则点的距离相等，则点P P（x x，y y）所满足的方程是（）所满足的方程是（）B B A.x+3y-8=0 B.3x-y-4=0 A.x+3y-8=0 B.3x-y-4=0 C.x-3y+9=0 D.x-3y+8=0 C.x-3y+9=0 D.x-3y+8=0 3.3.判定下列两点间的距离判定下列两点间的距离:(1)A(1)A（-3-3，1 1），B B（5 5，1 1）.(2)A(2)A（1,-21,-2）,B(1,7).,B(1,7).(3)A(3,2),B(-1,5).(3)A(3,2),B(-1,5).|AB|=8|AB|=8|AB|=9|AB|=9|AB|=5|AB|=5 4.4.已知已知DABC的三个顶点是的三个顶点是A(1,1),B(4,5),C(5,3),A(1,1),B(4,5),C(5,3),试判断试判断DABC的形状的形状.:|AB|=5,|BC|=,|AC|=,|AB|=5,|BC|=,|AC|=,2 55解解DABC是直角是直角满足满足|AB|AB|2 2=|AC|=|AC|2 2+|BC|+|BC|2 2，所以，所以 三角形三角形.1.x1.x轴上轴上A A，B B两点间的距离公式两点间的距离公式 AB?xB?xA2.2.平面直角坐标系中，平面直角坐标系中，A A（x x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)两点间两点间的距离公式的距离公式 AB?(x2?x1)?(y2?y1)22不同的品格导致不同的兴趣爱好.