线性代数向量讲义、例题

第三章向量1向量的概念及运算一、维向量的概念定义1：个数Q卫，Q组成的有序数组称为维向量，其中12na/ = 1,2,)称为维向量的第i个分量。分量是实数的向量称为维 实向量，分量是复数的向量称为维复向量。维向量可写成一行，称为行向量；即ut,a).12n(a )1也可写成一列，称为列向量，即Q = $ n用小写的黑体希腊字母匕卩,丫,来代表向量。每一个分量都是0的向量称为n维零向量。记为o ,即o = (0,0, ,()向量(。a。)称为向量a = (a aa )的负向量，12n12n记为-a o在维向量中，两个向量a = （a ,a，a ）, P =（b ,b，,b ）相12n12n等，是指它们的各个分量对应相等，即。=b（i = l,2,.“）这时，记为i iOL =卩.如干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量 组.二、维向量的线性运算定义2：设向量组a,a，:a ）, B =（b，,b ）,则oc + 卩=12n12n（a +b ,a +b，+b ）称为向量a,卩的和，记为丫 =oc +卩.1122n n加法满足下列运算规律：1）交换律：01 +卩=卩+0L2）结合律：a + （卩 +y）=（ol + 卩）+丫3）存在零向量0,对一切向量使a + 0 = 0 + a=a4）对第一向量Q ,存在-a ,使0L + （0L）=。向量减法：0L -卩=0L + （-卩）定义3 :向量OC=（d,d,.,d ）与数k的数量乘积为向量12n（ka ,ka，总x ）,记为M .数量乘法满足的运算规律。12n1）结合律：k（la） = （kl）a2）分配律：k（oc +卩）=kd + k卩3）分配律：伙 +/）oc = Axx +/oc4）对任何向量cc ,恒有lcc=cc2向量组的线性关系一、线性表示出定义1：若oc,a,.oc是加个维向量，k ,k是一组数，则向12m12m量ka +ka + + a1122m称为这加个向量的线性组合.对于维向量oc ,oc，匕 及3,若存在一组数k ,k ,k使得12m12mp = +k a + + a1122m m那么卩称为a ,a，a的线性组合，或称卩可由a,a，a线性表12m12m示.定理1：如果有两个向量组I ： oc ,oc，a、n : p ,p，3 ,向量12m12n组I中的每个向量均可由向量组II线性表示，向量组II中的每个向量也 均可由向量组I线性表示，则称两个向量组等价.二、线性相关与线性无关定义2：设a,a，a是加个维向量，如果存在不全为零的数12mk ,kk使得12mka +k a + + a =01122m m那么oc ,a，oc称为线性相关，否则称为线性无关.12m所谓线性无关，即只有k =k =-= k = 0时，才有12mka +k a + k a = 0 .1122m m三、向量组线性关系的判定1) .仅含一个零向量的向量总是线性相关的，与此相反，任意一个非零向 量总是线性无关的.任何含有零向量的向量组线性相关.2) .向量组a ,oc，oc线性相关的充分必要条件是它构成的矩阵12mA = (oc,oc，oc )的秩小于向量个数加；向量组线性无关的充分必要12m条件是R(4) = m(n个n维向量线性无关的充分必要条件是以n个向量作为行的n阶行列式I A IH 0).例研究下列向量组是线性相关还是线性无关r i)(0r-n(1) a =-2a =2a 二1U J23 2 7 0 =(2,1,1,1，0 =6,3,2,0，卩=(2,4,3,123分析 给出一个维向量组oc ,oc ,.oc ,就有一个相应的矩阵12mA = (a ,a，-a ),首先求出 R(A),若 R(A) = m ,则a ,a，a 线12m12m则oc ,oc，a线性相关.12mr i)(0)解因为a =-2ot =21U J2性无关，若(A) m ,a31)o得到矩阵2丿A = (a ,a ,a )=123(1-2、302-5r i01)/l0 1)因为A =-2202 -2-52 Jvu oj2丿所以 /?(A) = 2 3故向量组巴巴,=线性相关. 因为 0 =(2,1,1,1，0 =(0,3,2,0，卩=6,4,3,1得到123矩阵r 202 1b = (B,1p ,p2 3)=1 -i3 4-2 -3L-i0-1丿(202 )2 02、因为B =1 -13-24-30 10 0L-i0-1J3 ou丿所以 R(B) = 2l时，不妨设a是a ,01，0C的线性组合，即n1 271-1a =ka +a + k an1122n-1n-1则对IAI=det(o ),由行列式的性质6,将第i行的(-K )倍加到 ij nxni第n行上(7 = 1,2,“-1),即可把第n行元素全部化成0,从而得证IAI=0。充分性：设I A1= det(a )= 0 ,证明它的n个行向量线性相关，当21ij nxn时，结论显然成立，假设结论对ml时成立，现在证明结论对n也成立。 若=0,即知a ,01，0C线性相关。112n若曾0,它必有非零分量，不妨设。Q0,由行列式的性质6,将A的第一行的倍加到第i行(i = 2,3,山)上，于是得到等式aa aii12Inafa0f aa222n222na-:iiffa a0aan2nnI Al=a I B Iiil Q丿 iiy易知 B = （0,a，a） = 01 t4-0l（i=2,3,，n）i12ini q 111由|AI=0, a HO,推知ml阶行列式IBI=O,再由归纳法假设IBI的ml个行11向量线性无关，从而知P ,P，B线性相关，即存在不全为零的数23n,1，便得nE/pii=2工 I (a - 订 a )=a 1 ，二2111aii工/ ai ilz=l2L/aii=2由此式可知巴巴匕线性相关。已知 丁（1，0 丁（0，1，叽(X 3 = (1,3,5” 不能由0 =(1,q,1)t, 0 =(1,2,3)t,1 20 =(1,3,5片线性表示出.3(1) 求a的值；(2) 将P ,P ,P用a ,oc ,oc线性表示.123123解：(I),0L ,0C03 =1hO4又因和笃巴不能由即匕也线性表示。所以誓2也的秩小于巒23的秩,从而有吟卩2,卩严0，(2)设即哄=(a ,a ,a )Ki -101111100210013123=010420115135001-1013由923111100即a23a2 ci3 a1351242 2。= 0.a = 124-1P - 2a + 4a -a1123.v B =a +2a 2 1 2P = OL133推论2: 十1个“维向量一定线性相关.3) 在一个向量组中，如果有部分向量线性相关，那么这一组向量也线性 相关。反之，若向量组线性无关，那么这个向量组的部分组也线性无关证：假设向量组oc ,oc ,.oc中有部分向量组线性相关，比如12moc ,a，a （r m）线性相关，那么就存在不全为零的数k，,k使12r12rk ex + + oc = O11r r当然有 ka + + oc +0a+ + 0a = O11r rr+1m故oc ,oc，0C线性相关.12m若向量组oc ,a，0C线性无关，所以向量组a ,a，oc所组成的12m12m矩阵的秩为加所以任意一个部分组所构成的矩阵的秩等于向量的个数,故向量组的任一个部分组都是线性无关的.4）.向量组a ,a，oc （m2）线性相关的充分必要条件是其中至少12m有一个向量是其余m-1个向量的线性组合。证：=设a ,oc ,.a 线性相关，则必存在一组数（不全为零）12m忖2,，匕,使ka a + + a = 0km-OCk m11122m m、7 Ck不妨设* H。，那么a11 k 21即（X是OC的线性组合，必要性得证。12mu如果0C，-.,a中至少有一个向量（不妨设a ）是其余m-1个向量的2mm线性组合，即a =ka +k ol + k am1222m-1m-1则有 k ot +ot + + ot ot = 01222m-1m-1m因为k ,k ,k ,T是m个不全为零的数，故a ,a ,（!线性相关,12m-112m充分性得证。5）.若oc ,oc，oc ,a 线性相关，而a ,oc，oc线性无关，则可12m m+112mm+1由oc ,oc，oc线性表示出，且表示式唯一.12m6）.设a ,a ,是加维向量，P ,P，B是维向量，令12s12sa ） 仏）Y = ri , Y = r2 ，1 W丿2巴丿a、Y =（V ,其中丫 ,Y，丫是m + n维向量.如果a ,a ,线性$ IP 丿12s12ss y无关，则丫，丫，丫线性无关；若丫，丫，丫线性相关，则12s12soc ,a，,oc线性相关12s3向量组的秩及矩阵的秩、最大线性无关组定义3设a ,oc是一个维向量向量组，如果向量组中有厂个向12s量线性无关，且向量组中任意厂+ 1个向量必线性相关，则称这厂个线性无关的向量为向量组a ,oc ,的一个最大线性无关组，简称最大无12s关组.1) 有非零向量的向量组必存在最大线性无关组.2) 一个向量组的最大无关组未必唯一.3) 设a ,a，a是a ,oc，,oc中的厂个向量，如果：该部分组线12r12s性无关；(ii)向量组中任一向量都能由该部分组线性表示出，则该部分组是向量组的一个最大线性无关组,a ,a，oc是oc ,a，,oc的一个部12r12s分组，所以该向量组与其最大无关组等价.4) 向量组的任意两个最大线性无关组等价.5) 一向量组的任意两个最大线性无关组所含向量个数相同(因为两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同)O二、向量组的秩与矩阵的秩定义4：向量组的最大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。定义5：矩阵A的行向量组的秩与列向量组的秩相等，称为矩阵A的秩, 记作r(A),对于任意两个同型的矩阵A与3,必有r(A + B) r(A) + r(B).三、向量组线性表示与向量组秩的关系定理 向量组I： P ,P，能由向量组II： a ,oc，oc线性表示，12s12m则 r(a ,a，a )=12mr(a ,a，a ,p ,P，),若向量组I能有向量组II线性表示，则12m 12sr(I) 0,当且仅当时（X工0, |a,OL0. Joc,oc称为向量a的 长度（或范数或模），记作|卜|当|卜| = 1时，称a为单位向量. = arccos-_（a h 0,卩丰0,0 兀）称为oc、卩之间的夹角.hll IIPII一个非零向量组oc ,oc，,oc ,当其中向量两两正交时，称之为正12r交向量组.有定义易得正交向量组必是线性无关向量组.设维向量* ,0，疋是向量组V的一组基，如果12r则称* ,0，疋为向量组V的一组标准正交基（或规范正交基）.12r施密特（Schmidt）正交化法:给定一个线性无关的向量组a ,a，,oc ,12r由其生成等价的一个正交向量组的方法，公式如下：P = a1 102=oc2p,pPioc ,p R OC ,P R OC ,P R p ,p 1 p ,p 2 p ,p 1122r-1r-1再将0 （心1,2,，厂）单位化，即取耳ii诂呐12”即可得一单位正交向量组.定义10 阶实方阵A,若满足At A = E（或AAt=E）,则称A为正 交矩阵.正交矩阵的性质： 若A为正交阵，则|4| = 1或-1. 若A为正交阵，则A可逆，贝Ij A-i = At ,于是A* = Ar . 若4,3均为阶正交矩阵，则AB或B4也是阶正交矩阵. 若A为正交阵，则At , A-i, A,本仏为正整数）均为正交矩阵. 阶方阵A为正交矩阵，则A的个行（列）向量可构成的一组规 范正交基. 4、E分别为加阶、阶正交矩阵，贝ijo gj为m + n阶正交矩 阵. 单位矩阵是正交矩阵.习题三0、r qr-n0,0L =21,0L =3-i,0L =4ikJbjbj)，其中c,c2，c3，c4为任1.设 a 二1意常数，则下列向量组相关是（A ot ,ot ,ot B a Q O123124C a ,01 ,01134a .a .a234(10 0)(10 0)行与第3行得单位矩阵记尸=1 1 0,p =0 0 1,则 A =_11 0 !j21 1 ojA PPB P-iP C PPDpp-l1 2 1 22 12 13.设向量组I：oc ,a ,.,oc可由向量组口：12rB ,P ,1 2线性表不.下列s2.设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵$ ,再交换3的第2B 若向量组I线性相关，则D 若向量组口线性相关，命题正确的是（）A若向量组I线性无关，则rsC若向量组口线性无关，则rs